Тонкая структура

Не следует путать со сверхтонкой структурой.

В атомной физике тонкая структура (мультиплетное расщепление) описывает расщепление спектральных линий атомов.

Макроскопическая структура спектральных линий — это число линий и их расположение. Она определяется разницей в энергетических уровнях различных атомных орбиталей. Однако при более детальном исследовании каждая линия проявляет свою детальную тонкую структуру. Эта структура объясняется малыми взаимодействиями, которые немного сдвигают и расщепляют энергетические уровни. Их можно анализировать методами теории возмущений. Тонкая структура атома водорода на самом деле представляет собой две независимые поправки к боровским энергиям: одна из-за релятивистского движения электрона, а вторая из-за спин-орбитального взаимодействия.

Релятивистские поправки

В классической теории кинетический член гамильтониана: <math>T=\frac{p^{2}}{2m}</math>

Однако, учитывая СТО, мы должны использовать релятивистское выражение для кинетической энергии, <math>T=\sqrt{p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}-mc^{2}</math>

где первый член — это общая релятивистская энергия, а второй член — это энергия покоя электрона. Раскладывая это в ряд, получаем

<math>T=\frac{p^{2}}{2m}-\frac{p^{4}}{8m^{3}c^{2}}+\dots</math>

Отсюда, поправка первого порядка к гамильтониану равна <math>H'=-\frac{p^{4}}{8m^{3}c^{2}}</math>

Используя это как возмущение, мы можем вычислить релятивистские энергетические поправки первого порядка.

<math>E_{n}^{(1)}=\langle\psi^{0}\vert H'\vert\psi^{0}\rangle=-\frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi^{0}\vert p^{4}\vert\psi^{0}\rangle=-\frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi^{0}\vert p^{2}p^{2}\vert\psi^{0}\rangle</math>

где <math>\psi^{0}</math> — невозмущенная волновая функция. Вспоминая невозмущенный гамильтониан, мы видим

<math>H^{0}\vert\psi^{0}\rangle=E_{n}\vert\psi^{0}\rangle </math>

<math>\left(\frac{p^{2}}{2m}+U\right)\vert\psi^{0}\rangle=E_{n}\vert\psi^{0}\rangle </math>

<math>p^{2}\vert\psi^{0}\rangle=2m(E_{n}-U)\vert\psi^{0}\rangle</math>

Далее, мы можем использовать этот результат для вычисления релятивистской поправки:

<math>E_{n}^{(1)}=-\frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi^{0}\vert p^{2}p^{2}\vert\psi^{0}\rangle</math>

<math>E_{n}^{(1)}=-\frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi^{0}\vert (2m)^{2}(E_{n}-U)^{2}\vert\psi^{0}\rangle </math>

<math>E_{n}^{(1)}=-\frac{1}{2mc^{2}}(E_{n}^{2}-2E_{n}\langle U\rangle +\langle U^{2}\rangle )</math>

Для атома водорода, <math>U=\frac{e^{2}}{r}</math>, <math>\langle U\rangle=\frac{e^{2}}{a_{0}n^{2}}</math> и <math>\langle U^{2}\rangle=\frac{e^{4}}{(l+1/2)n^{3}a_{0}^{2}}</math> где <math>a_{0}</math> — боровский радиус, <math>n</math> — главное квантовое число и <math>l</math> — орбитальное квантовое число. Следовательно, релятивистская поправка для атома водорода равна

<math>E_{n}^{(1)}=-\frac{1}{2mc^{2}}\left(E_{n}^{2}-2E_{n}\frac{e^{2}}{a_{0}n^{2}} +\frac{e^{4}}{(l+1/2)n^{3}a_{0}^{2}}\right)=-\frac{E_{n}^{2}}{2mc^{2}}\left(\frac{4n}{l+1/2}-3\right)</math>

Связь спин-орбита

Поправка спин-орбита появляется, когда мы из стандартной системы отсчёта (где электрон облетает вокруг ядра) переходим в систему, где электрон покоится, а ядро облетает вокруг него. В этом случае движущееся ядро представляет собой эффективную петлю с током, которая в свою очередь создаёт магнитное поле. Однако электрон сам по себе имеет магнитный момент из-за спина. Два магнитных вектора, <math>\vec B</math> и <math>\vec\mu_s</math> сцепляются вместе так, что появляется определённая энергия, зависящая от их относительной ориентации. Так появляется энергетическая поправка вида <math> \Delta E_{SO} = \xi (r)\vec L \cdot \vec S</math>

См. также

• Постоянная тонкой структуры
• Лэмбовский сдвиг

Литература

• Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). — Prentice Hall, 2004. — ISBN ISBN 0-13-805326-X.
• Liboff, Richard L. Introductory Quantum Mechanics. — Addison-Wesley, 2002. — ISBN ISBN 0-8053-8714-5.

Ссылки

• [hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/Hbase/quantum/hydfin.html#c1 Hyperphysics: Fine Structure]

Отрывок, характеризующий Тонкая структура

– Какой рыцарь? Отчего? – краснея, спросил Пьер.
– Ну, полноте, милый граф, c'est la fable de tout Moscou. Je vous admire, ma parole d'honneur. [это вся Москва знает. Право, я вам удивляюсь.]
– Штраф! Штраф! – сказал ополченец.
– Ну, хорошо. Нельзя говорить, как скучно!
– Qu'est ce qui est la fable de tout Moscou? [Что знает вся Москва?] – вставая, сказал сердито Пьер.
– Полноте, граф. Вы знаете!
– Ничего не знаю, – сказал Пьер.
– Я знаю, что вы дружны были с Натали, и потому… Нет, я всегда дружнее с Верой. Cette chere Vera! [Эта милая Вера!]
– Non, madame, [Нет, сударыня.] – продолжал Пьер недовольным тоном. – Я вовсе не взял на себя роль рыцаря Ростовой, и я уже почти месяц не был у них. Но я не понимаю жестокость…
– Qui s'excuse – s'accuse, [Кто извиняется, тот обвиняет себя.] – улыбаясь и махая корпией, говорила Жюли и, чтобы за ней осталось последнее слово, сейчас же переменила разговор. – Каково, я нынче узнала: бедная Мари Волконская приехала вчера в Москву. Вы слышали, она потеряла отца?
– Неужели! Где она? Я бы очень желал увидать ее, – сказал Пьер.
– Я вчера провела с ней вечер. Она нынче или завтра утром едет в подмосковную с племянником.
– Ну что она, как? – сказал Пьер.
– Ничего, грустна. Но знаете, кто ее спас? Это целый роман. Nicolas Ростов. Ее окружили, хотели убить, ранили ее людей. Он бросился и спас ее…
– Еще роман, – сказал ополченец. – Решительно это общее бегство сделано, чтобы все старые невесты шли замуж. Catiche – одна, княжна Болконская – другая.
– Вы знаете, что я в самом деле думаю, что она un petit peu amoureuse du jeune homme. [немножечко влюблена в молодого человека.]
– Штраф! Штраф! Штраф!
– Но как же это по русски сказать?..


Когда Пьер вернулся домой, ему подали две принесенные в этот день афиши Растопчина.
В первой говорилось о том, что слух, будто графом Растопчиным запрещен выезд из Москвы, – несправедлив и что, напротив, граф Растопчин рад, что из Москвы уезжают барыни и купеческие жены. «Меньше страху, меньше новостей, – говорилось в афише, – но я жизнью отвечаю, что злодей в Москве не будет». Эти слова в первый раз ясно ыоказали Пьеру, что французы будут в Москве. Во второй афише говорилось, что главная квартира наша в Вязьме, что граф Витгснштейн победил французов, но что так как многие жители желают вооружиться, то для них есть приготовленное в арсенале оружие: сабли, пистолеты, ружья, которые жители могут получать по дешевой цене. Тон афиш был уже не такой шутливый, как в прежних чигиринских разговорах. Пьер задумался над этими афишами. Очевидно, та страшная грозовая туча, которую он призывал всеми силами своей души и которая вместе с тем возбуждала в нем невольный ужас, – очевидно, туча эта приближалась.
«Поступить в военную службу и ехать в армию или дожидаться? – в сотый раз задавал себе Пьер этот вопрос. Он взял колоду карт, лежавших у него на столе, и стал делать пасьянс.
– Ежели выйдет этот пасьянс, – говорил он сам себе, смешав колоду, держа ее в руке и глядя вверх, – ежели выйдет, то значит… что значит?.. – Он не успел решить, что значит, как за дверью кабинета послышался голос старшей княжны, спрашивающей, можно ли войти.
– Тогда будет значить, что я должен ехать в армию, – договорил себе Пьер. – Войдите, войдите, – прибавил он, обращаясь к княжие.
(Одна старшая княжна, с длинной талией и окаменелым лидом, продолжала жить в доме Пьера; две меньшие вышли замуж.)
– Простите, mon cousin, что я пришла к вам, – сказала она укоризненно взволнованным голосом. – Ведь надо наконец на что нибудь решиться! Что ж это будет такое? Все выехали из Москвы, и народ бунтует. Что ж мы остаемся?
– Напротив, все, кажется, благополучно, ma cousine, – сказал Пьер с тою привычкой шутливости, которую Пьер, всегда конфузно переносивший свою роль благодетеля перед княжною, усвоил себе в отношении к ней.