Точка перегиба графика функции

Точка перегиба функции — точка, в которой функция меняет направление выпуклости.

Определение

Точка <math>x_0 \in \mathbb{R}</math> называется точкой перегиба функции <math>f(x)</math>, если функция в ней непрерывна, её график имеет касательную (которая может быть параллельна оси <math>Oy</math>) и при переходе через <math>x_0</math> функция <math>f</math>(x) меняет направление выпуклости. В этом случае точка графика <math>(x_0, f(x_0))</math> называется точкой перегиба графика функции. Некоторые источники опускают требование наличия касательной или требуют того, чтобы функция <math>f</math> была определена в окрестности <math>x_0</math>.

Равносильное определение

Для функций, дифференцируемых в точке и непрерывных в её окрестности, можно дать эквивалентное определение. Пусть функция <math>f</math>, непрерывна в окрестности <math>x_0</math> и дифференцируема в точке <math>x_0</math>. Точка <math>(x_0; f(x_0))</math> называется точкой перегиба графика функции <math>f</math> <math>\leftrightharpoons</math> существует окрестность точки <math>x_0</math> такая, что при <math>x<x_0</math> верно неравенство <math>f(x) < f(x_0)+f'(x_0)(x - x_0)</math> (касательная лежит над графиком), а при <math>x>x_0</math> верно неравенство <math>f(x) > f(x_0)+f'(x_0)(x - x_0)</math> (касательная лежит под графиком), или наоборот. Образно выражаясь, график функции <math>f</math> в точке <math>(x_0; f(x_0))</math> «перегибается» через касательную к нему в этой точке.

Условия существования

Необходимое условие точки перегиба функции

Если функция <math>f(x)</math> дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки <math>x_0</math> и точка <math>x_0</math> является точкой перегиба функции <math>f(x)</math>, то <math>f^{}(x_0) = 0</math>.

Достаточные условия точки перегиба

Если функция <math>f(x)</math> дважды дифференцируема в некоторой выколотой окрестности точки <math>x_0</math> и <math>f^{}</math> меняет знак при переходе через <math>x_0</math>, то точка <math>x_0</math> является точкой перегиба функции <math>f(x)</math>.

Если функция <math>f(x)</math> в некоторой окрестности точки <math>x_0</math> <math>k</math> раз непрерывно дифференцируема, причем <math>k</math> нечётно и <math>k\ge3</math>, и <math>f^{(n)}=0</math> при <math>n=2, 3, \dots, k-1</math>, а <math>f^{(k)}\not=0</math>, то точка <math>x_0</math> является точкой перегиба функции <math>f(x)</math>.

Литература

• Кудрявцев Л.Д. Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одного переменного // Математический анализ. Т. 1. С. 190—195.
• Фихтенгольц Г. М. Гл. IV. Исследование функций с помощью производных // Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 8-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — Т. 1. — С. 294—305. — 5000 экз. — ISBN 5-9221-0156-0

Отрывок, характеризующий Точка перегиба графика функции

Несколько купцов столпилось около офицера.
– Э! попусту брехать то! – сказал один из них, худощавый, с строгим лицом. – Снявши голову, по волосам не плачут. Бери, что кому любо! – И он энергическим жестом махнул рукой и боком повернулся к офицеру.
– Тебе, Иван Сидорыч, хорошо говорить, – сердито заговорил первый купец. – Вы пожалуйте, ваше благородие.
– Что говорить! – крикнул худощавый. – У меня тут в трех лавках на сто тысяч товару. Разве убережешь, когда войско ушло. Эх, народ, божью власть не руками скласть!
– Пожалуйте, ваше благородие, – говорил первый купец, кланяясь. Офицер стоял в недоумении, и на лице его видна была нерешительность.
– Да мне что за дело! – крикнул он вдруг и пошел быстрыми шагами вперед по ряду. В одной отпертой лавке слышались удары и ругательства, и в то время как офицер подходил к ней, из двери выскочил вытолкнутый человек в сером армяке и с бритой головой.
Человек этот, согнувшись, проскочил мимо купцов и офицера. Офицер напустился на солдат, бывших в лавке. Но в это время страшные крики огромной толпы послышались на Москворецком мосту, и офицер выбежал на площадь.
– Что такое? Что такое? – спрашивал он, но товарищ его уже скакал по направлению к крикам, мимо Василия Блаженного. Офицер сел верхом и поехал за ним. Когда он подъехал к мосту, он увидал снятые с передков две пушки, пехоту, идущую по мосту, несколько поваленных телег, несколько испуганных лиц и смеющиеся лица солдат. Подле пушек стояла одна повозка, запряженная парой. За повозкой сзади колес жались четыре борзые собаки в ошейниках. На повозке была гора вещей, и на самом верху, рядом с детским, кверху ножками перевернутым стульчиком сидела баба, пронзительно и отчаянно визжавшая. Товарищи рассказывали офицеру, что крик толпы и визги бабы произошли оттого, что наехавший на эту толпу генерал Ермолов, узнав, что солдаты разбредаются по лавкам, а толпы жителей запружают мост, приказал снять орудия с передков и сделать пример, что он будет стрелять по мосту. Толпа, валя повозки, давя друг друга, отчаянно кричала, теснясь, расчистила мост, и войска двинулись вперед.


В самом городе между тем было пусто. По улицам никого почти не было. Ворота и лавки все были заперты; кое где около кабаков слышались одинокие крики или пьяное пенье. Никто не ездил по улицам, и редко слышались шаги пешеходов. На Поварской было совершенно тихо и пустынно. На огромном дворе дома Ростовых валялись объедки сена, помет съехавшего обоза и не было видно ни одного человека. В оставшемся со всем своим добром доме Ростовых два человека были в большой гостиной. Это были дворник Игнат и казачок Мишка, внук Васильича, оставшийся в Москве с дедом. Мишка, открыв клавикорды, играл на них одним пальцем. Дворник, подбоченившись и радостно улыбаясь, стоял пред большим зеркалом.