Точная верхняя и нижняя границы

Точная верхняя граница (верхняя грань) и точная нижняя граница (нижняя грань) — обобщение понятий максимума и минимума множества соответственно.

Точная верхняя и нижняя грань множества <math>X</math> обычно обозначается <math>\sup X</math> (читается супремум икс) и <math>\inf X</math> (читается инфимум икс) соответственно.

Используемые определения

Мажоранта или верхняя грань (граница) числового множества <math>X</math> — число <math>a</math>, такое что <math>\forall x\in X \Rightarrow x\leqslant a </math>.

Миноранта или нижняя грань (граница) числового множества <math>X</math> — число <math>b</math>, такое что <math>\forall x\in X \Rightarrow x\geqslant b </math>.

Подобным образом вводятся аналогичные понятия для подмножества нечислового упорядоченного множества. Эти понятия будут использованы ниже.

Определения

Точной (наименьшей) верхней гранью (границей), или супре́мумом (лат. supremum — самый высокий) подмножества <math>X</math> упорядоченного множества (или класса) <math>M</math>, называется наименьший элемент <math>M</math>, который равен или больше всех элементов множества <math>X</math>. Другими словами, супремум — это наименьшая из всех верхних граней. Обозначается <math>\sup X</math>.

Более формально:

<math>S_X=\{y\in M\mid\forall x\in X\!:x\leqslant y\}</math> — множество верхних граней <math>X</math>, то есть элементов <math>M</math>, равных или больших всех элементов <math>X</math>

<math>s=\sup(X)\iff s\in S_X\and\forall y\in S_X\!:s\leqslant y.</math>

Точной (наибольшей) нижней гранью (границей), или и́нфимумом (лат. infimum — самый низкий) подмножества <math>X</math> упорядоченного множества (или класса) <math>M</math>, называется наибольший элемент <math>M</math>, который равен или меньше всех элементов множества <math>X</math>. Другими словами, инфимум — это наибольшая из всех нижних граней. Обозначается <math>\inf X</math>.

Замечания

• Эти определения ничего не говорят о том, принадлежит ли <math>\sup X</math> и <math>\inf X</math> множеству <math>X</math> или нет.
  • В случае <math>s=\sup X\in X</math>, говорят, что <math>s</math> является максимумом <math>X</math>, то есть <math>s=\max X</math>.
  • В случае <math>i=\inf X\in X</math>, говорят, что <math>i</math> является минимумом <math>X</math>, то есть <math>i=\min X</math>.

• Приведенные определения являются непредикативными (англ.) (ссылающимися на самих себя), поскольку определяемое понятие в каждом из них является элементом множества, через которое оно определяется. Сторонники конструктивизма в математике выступают против использования таких определений, не допуская либо различными методами устраняя элементы "порочного круга" в рамках своих теорий.

Примеры

• На множестве всех рациональных чисел, больших пяти, не существует минимума, однако существует инфимум. <math>\inf</math> такого множества равен пяти. Инфимум не является минимумом, так как пять не принадлежит этому множеству. Если же определить множество всех натуральных чисел, больших пяти, то у такого множества есть минимум и он равен шести. Вообще говоря, у любого непустого подмножества множества натуральных чисел существует минимум.
• Для множества <math>S=\left\{\frac{1}{k}\mid k\in\Bbb N\right\}=\left\{1,\;\frac{1}{2},\;\frac{1}{3},\;\ldots\right\}</math>

<math>\sup S=1</math>; <math>\inf S=0</math>.

• Множество положительных рациональных чисел <math>\mathbb{Q}_+=\{x\in\mathbb{Q} \mid x>0\}</math> не имеет точной верхней грани в <math>\mathbb{Q}</math>, точная нижняя грань <math>\inf\mathbb{Q}_+=0</math>.
• Множество <math>X=\{x\in\Bbb Q\mid x^2<2\}</math> рациональных чисел, квадрат которых меньше двух, не имеет точных верхней и нижней граней в <math>\Bbb Q</math>, но если его рассматривать как подмножество множества действительных чисел, то

<math>\sup X=\sqrt{2}</math> и <math>\inf X=-\sqrt{2}</math>.

Теорема о гранях

Формулировка

Непустое множество, ограниченное сверху, имеет точную верхнюю грань, ограниченное снизу — точную нижнюю грань. То есть существуют <math>a</math> и <math>b</math> такие, что

<math>b = \sup X \begin{cases}

 \forall x, x \in X \Rightarrow x\leqslant b  \\
 \forall b', b' < b \Rightarrow \exists x, x \in X \and x >  b'  

\end{cases} (1.1) </math>

<math>a = \inf X \begin{cases}

 \forall x, x \in X \Rightarrow x\geqslant a\\
 \forall a', a' > a \Rightarrow \exists x, x \in X \and x <  a'

\end{cases} (1.2) </math>

Доказательство

Доказательство проведём для числового множества <math>X</math>.

Для множества ограниченного сверху. Пусть <math>\tilde{b}=\tilde{b}_0, \tilde{b}_1 \dots \tilde{b}_n \dots </math> — мажоранта множества <math>X</math>, представленная в виде бесконечной десятичной дроби. Множество <math>X</math> непусто. Запишем все числа <math>x</math> из <math>X</math> в виде нормальных десятичных дробей,

<math>x=x_0,x_1\dots x_m \dots</math>.

Множество <math>X_0=\{x_0\mid x_0,x_1\dots x_m \dots \in X\}</math> непусто и ограниченно сверху числом <math>\tilde{b_0}</math>, поэтому существует <math>\max X_0=b_0</math>.

Множество <math>X_1</math> десятичных чисел вида <math>b_0, b_1'</math> таких, что среди элементов <math>X</math> есть число, представление которого в виде бесконечной десятичной дроби начинается с выражения <math>b_0, b_1'</math>, непусто и состоит не более чем из десяти элементов, поэтому существует <math>X_1=b_0,b_1</math>.

Допустим, что для некоторого номера <math>m</math> построено десятичное число <math>b_0,b_1\dots b_m</math> такое, что

1. существует элемент <math>x \in X</math>, представление которого в виде бесконечной десятичной дроби начинается с выражения <math>b_0,b_1\dots b_m</math>
2. если x — элемент <math>X</math> с представлением <math>x = x_0,x_1\dots x_m \dots</math>, то

<math>x_0,x_1\dots x_m\leqslant b_0,b_1\dots b_m </math>.

Обозначим <math>X_{m+1}</math> множество десятичных чисел вида <math>b_0,b_1\dots b_m b'_{m+1}</math>, которые служат начальными выражениями для элементов множества <math>X</math>. По определению числа <math>b_0,b_1\dots b_m</math> на основании свойства 1 множество <math>X_{m+1}</math> непусто. Оно конечно, поэтому существует число <math>b_0,b_1\dots b_m b_{m+1}= \max X_{m+1}</math>, обладающее свойствами 1-2 с заменой <math>m</math> на <math>m+1</math>, причем появление <math>(m+1)</math>-ого знака после запятой не влияет на величины предшествующих знаков.

На основании принципа индукции для любого <math>n</math> оказывается определенной цифра <math>b_n</math> и поэтому однозначно определяется бесконечная десятичная дробь

<math>b\equiv b_0,b_1 \dots b_n \dots \in \mathbb R</math>

Возьмем произвольное число <math>x \in X, x=x_0,x_1\dots x_n \dots</math>. По построению числа <math>b</math> для любого номера <math>n</math> выполняется <math>x_0,x_1\dots x_n\leqslant b_0,b_1\dots b_n </math> и поэтому <math>x \leqslant b</math>. Следовательно, выполнена верхняя строчка в правой части соотношения 1.1 (смотри формулировку). Следовательно, <math>b= \sup X</math>.

Для множества <math>X</math>, ограниченного снизу, рассуждения проводятся аналогично.

Свойства

• По теореме о гранях для любого ограниченного сверху подмножества <math>\mathbb{R}</math>, существует <math>\sup</math>.
• По теореме о гранях для любого ограниченного снизу подмножества <math>\mathbb{R}</math>, существует <math>\inf</math>.
• Вещественное число <math>s</math> является <math>\sup X</math> тогда и только тогда, когда
  1. <math>s</math> есть верхняя грань <math>X</math>, то есть для всех элементов <math>x\in X</math>, <math>x\leqslant s</math>.
  2. для любого <math>\varepsilon>0</math> найдётся <math>x\in X</math>, такой, что <math>x+\varepsilon > s</math> (то есть к <math>s</math> можно сколь угодно «близко подобраться» из множества <math>X</math>, а при <math>s\in X</math> очевидно, что <math>s+\varepsilon > s</math>).
• Утверждение, аналогичное последнему, верно и для точной нижней грани.

Вариации и обобщения

• Существенный супремум

Литература

• Богданов Ю. С., Кастрица О. А., Сыроид Ю. Б. Математический анализ: Учебное пособие для вузов. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003.- С. 11-14. ISBN 5-238-00500-8
• Богданов Ю. С. Лекции по математическому анализу. Ч. 1. — Мн.: Издательство БГУ, 1974. — С. 3—8.
• У. Рудин. Основы математического анализа. — М.: Мир, 1976. — 320 с.

Отрывок, характеризующий Точная верхняя и нижняя границы

– Mon ami! [Друг мой!] – сказала мать умоляющим голосом, опять дотрогиваясь до руки сына, как будто это прикосновение могло успокоивать или возбуждать его.
Борис замолчал и, не снимая шинели, вопросительно смотрел на мать.
– Голубчик, – нежным голоском сказала Анна Михайловна, обращаясь к швейцару, – я знаю, что граф Кирилл Владимирович очень болен… я затем и приехала… я родственница… Я не буду беспокоить, голубчик… А мне бы только надо увидать князя Василия Сергеевича: ведь он здесь стоит. Доложи, пожалуйста.
Швейцар угрюмо дернул снурок наверх и отвернулся.
– Княгиня Друбецкая к князю Василию Сергеевичу, – крикнул он сбежавшему сверху и из под выступа лестницы выглядывавшему официанту в чулках, башмаках и фраке.
Мать расправила складки своего крашеного шелкового платья, посмотрелась в цельное венецианское зеркало в стене и бодро в своих стоптанных башмаках пошла вверх по ковру лестницы.
– Mon cher, voue m'avez promis, [Мой друг, ты мне обещал,] – обратилась она опять к Сыну, прикосновением руки возбуждая его.
Сын, опустив глаза, спокойно шел за нею.
Они вошли в залу, из которой одна дверь вела в покои, отведенные князю Василью.
В то время как мать с сыном, выйдя на середину комнаты, намеревались спросить дорогу у вскочившего при их входе старого официанта, у одной из дверей повернулась бронзовая ручка и князь Василий в бархатной шубке, с одною звездой, по домашнему, вышел, провожая красивого черноволосого мужчину. Мужчина этот был знаменитый петербургский доктор Lorrain.
– C'est donc positif? [Итак, это верно?] – говорил князь.
– Mon prince, «errare humanum est», mais… [Князь, человеку ошибаться свойственно.] – отвечал доктор, грассируя и произнося латинские слова французским выговором.
– C'est bien, c'est bien… [Хорошо, хорошо…]
Заметив Анну Михайловну с сыном, князь Василий поклоном отпустил доктора и молча, но с вопросительным видом, подошел к ним. Сын заметил, как вдруг глубокая горесть выразилась в глазах его матери, и слегка улыбнулся.
– Да, в каких грустных обстоятельствах пришлось нам видеться, князь… Ну, что наш дорогой больной? – сказала она, как будто не замечая холодного, оскорбительного, устремленного на нее взгляда.
Князь Василий вопросительно, до недоумения, посмотрел на нее, потом на Бориса. Борис учтиво поклонился. Князь Василий, не отвечая на поклон, отвернулся к Анне Михайловне и на ее вопрос отвечал движением головы и губ, которое означало самую плохую надежду для больного.
– Неужели? – воскликнула Анна Михайловна. – Ах, это ужасно! Страшно подумать… Это мой сын, – прибавила она, указывая на Бориса. – Он сам хотел благодарить вас.
Борис еще раз учтиво поклонился.
– Верьте, князь, что сердце матери никогда не забудет того, что вы сделали для нас.
– Я рад, что мог сделать вам приятное, любезная моя Анна Михайловна, – сказал князь Василий, оправляя жабо и в жесте и голосе проявляя здесь, в Москве, перед покровительствуемою Анною Михайловной еще гораздо большую важность, чем в Петербурге, на вечере у Annette Шерер.
– Старайтесь служить хорошо и быть достойным, – прибавил он, строго обращаясь к Борису. – Я рад… Вы здесь в отпуску? – продиктовал он своим бесстрастным тоном.
– Жду приказа, ваше сиятельство, чтоб отправиться по новому назначению, – отвечал Борис, не выказывая ни досады за резкий тон князя, ни желания вступить в разговор, но так спокойно и почтительно, что князь пристально поглядел на него.
– Вы живете с матушкой?
– Я живу у графини Ростовой, – сказал Борис, опять прибавив: – ваше сиятельство.
– Это тот Илья Ростов, который женился на Nathalie Шиншиной, – сказала Анна Михайловна.
– Знаю, знаю, – сказал князь Василий своим монотонным голосом. – Je n'ai jamais pu concevoir, comment Nathalieie s'est decidee a epouser cet ours mal – leche l Un personnage completement stupide et ridicule.Et joueur a ce qu'on dit. [Я никогда не мог понять, как Натали решилась выйти замуж за этого грязного медведя. Совершенно глупая и смешная особа. К тому же игрок, говорят.]
– Mais tres brave homme, mon prince, [Но добрый человек, князь,] – заметила Анна Михайловна, трогательно улыбаясь, как будто и она знала, что граф Ростов заслуживал такого мнения, но просила пожалеть бедного старика. – Что говорят доктора? – спросила княгиня, помолчав немного и опять выражая большую печаль на своем исплаканном лице.
– Мало надежды, – сказал князь.
– А мне так хотелось еще раз поблагодарить дядю за все его благодеяния и мне и Боре. C'est son filleuil, [Это его крестник,] – прибавила она таким тоном, как будто это известие должно было крайне обрадовать князя Василия.
Князь Василий задумался и поморщился. Анна Михайловна поняла, что он боялся найти в ней соперницу по завещанию графа Безухого. Она поспешила успокоить его.
– Ежели бы не моя истинная любовь и преданность дяде, – сказала она, с особенною уверенностию и небрежностию выговаривая это слово: – я знаю его характер, благородный, прямой, но ведь одни княжны при нем…Они еще молоды… – Она наклонила голову и прибавила шопотом: – исполнил ли он последний долг, князь? Как драгоценны эти последние минуты! Ведь хуже быть не может; его необходимо приготовить ежели он так плох. Мы, женщины, князь, – она нежно улыбнулась, – всегда знаем, как говорить эти вещи. Необходимо видеть его. Как бы тяжело это ни было для меня, но я привыкла уже страдать.
Князь, видимо, понял, и понял, как и на вечере у Annette Шерер, что от Анны Михайловны трудно отделаться.
– Не было бы тяжело ему это свидание, chere Анна Михайловна, – сказал он. – Подождем до вечера, доктора обещали кризис.
– Но нельзя ждать, князь, в эти минуты. Pensez, il у va du salut de son ame… Ah! c'est terrible, les devoirs d'un chretien… [Подумайте, дело идет о спасения его души! Ах! это ужасно, долг христианина…]
Из внутренних комнат отворилась дверь, и вошла одна из княжен племянниц графа, с угрюмым и холодным лицом и поразительно несоразмерною по ногам длинною талией.
Князь Василий обернулся к ней.
– Ну, что он?
– Всё то же. И как вы хотите, этот шум… – сказала княжна, оглядывая Анну Михайловну, как незнакомую.
– Ah, chere, je ne vous reconnaissais pas, [Ах, милая, я не узнала вас,] – с счастливою улыбкой сказала Анна Михайловна, легкою иноходью подходя к племяннице графа. – Je viens d'arriver et je suis a vous pour vous aider a soigner mon oncle . J`imagine, combien vous avez souffert, [Я приехала помогать вам ходить за дядюшкой. Воображаю, как вы настрадались,] – прибавила она, с участием закатывая глаза.
Княжна ничего не ответила, даже не улыбнулась и тотчас же вышла. Анна Михайловна сняла перчатки и в завоеванной позиции расположилась на кресле, пригласив князя Василья сесть подле себя.
– Борис! – сказала она сыну и улыбнулась, – я пройду к графу, к дяде, а ты поди к Пьеру, mon ami, покаместь, да не забудь передать ему приглашение от Ростовых. Они зовут его обедать. Я думаю, он не поедет? – обратилась она к князю.