Решения уравнений Эйнштейна

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск
   Общая теория относительности
<math>G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = {8\pi G\over c^4} T_{\mu \nu}\,</math>
Гравитация
Математическая формулировка
Космология
См. также: Портал:Физика

Решить уравнение Эйнштейна — значит найти вид метрического тензора gμν пространства-времени. Задача ставится заданием граничных условий, координатных условий и написанием тензора энергии-импульса Tμν, который может описывать как точечный массивный объект, распределённую материю или энергию, так и всю Вселенную целиком. В зависимости от вида тензора энергии-импульса решения уравнения Эйнштейна можно разделить на вакуумные, полевые, распределённые, космологические и волновые. Существуют также чисто математические классификации решений, основанные на топологических или алгебраических свойствах описываемого ими пространства-времени, или, например, на алгебраической симметрии тензора Вейля данного пространства (классификация Петрова).





Классификация по наполнению пространства

Эта классификация основана на виде тензора энергии-импульса <math>T_{\alpha\beta}</math> и здесь можно выделить несколько типов решений:

  • Вакуумные решения — такие решения получаются, если:
<math>T_{\alpha\beta} \, = 0.</math>

Таким образом уравнения Эйнштейна сводятся к:

<math>G_{\alpha\beta}+\Lambda g_{\alpha\beta} \, = 0</math> или <math>R_{\alpha\beta} \, = \Lambda g_{\alpha\beta}.</math>

В математике такие решения носят название пространств Эйнштейна, их исследованиям в рамках римановой и псевдоримановой геометрии посвящено множество работ.

Простейшее из таких решений при <math>\Lambda = 0</math> — пространство-время Минковского, описывающее абсолютно пустое пространство в отсутствие космологической постоянной. Эти решения также могут описывать пространство-время вокруг массивного компактного объекта (вплоть до его поверхности или сингулярностей). К таким относятся метрики Шварцшильда, Шварцшильда — Деситтера, Керра, Райсснера — Нордстрёма, Керра — Ньюмена, Ньюмена — Унти — Тамбурино (НУТ), Тауба — НУТ, Коттлера, Эреца — Розена, Кьюведо и другие.

Важным с физической точки зрения классом таких решений являются также волновые решения, описывающие распространение гравитационных волн через пустое пространство.

  • Полевые решения — иногда в качестве источника гравитационного поля рассматриваются различные поля. В случае безмассового поля чаще всего берут:
  • электромагнитное поле (электровакуумные решения, порождаемые, как говорят, уравнениями Эйнштейна — Максвелла)
<math>T^{\alpha\beta}= \frac{1}{4\pi} \, \left( F^{\alpha}{}_{\lambda}F^{\lambda\beta}-\frac{1}{4}g^{\alpha\beta} \, F^{\mu\nu} \, F_{\mu\nu} \right );</math>
  • безмассовое скалярное поле (скалярные решения)
<math>T^{\alpha\beta}= 8 \pi \left( \phi^{;\alpha} \phi^{;\beta} - \frac{1}{2} \phi_{;\mu} \phi^{;\mu} g^{\alpha\beta} \right).</math>

Из массивных полей используется скалярное поле (обычно с нетривиальным самодействием) — так получают бозонные звёзды, — или классическое дираковское поле (биспинорное).

  • Распределённые решения — такого рода решения описывают разнообразные виды материи, для которой обычно применяется «текучее» приближение: пылевидная, газообразная или жидкая материя. Правомерность приближения связана с тем, что обычно в гравитационных задачах небесной механики и астрофизики материя испытывает очень большие напряжения, так что становится текучей и неизотропностью напряжений в ней можно пренебречь.

Здесь тензор Tμν строится для распределённой массы (поля энергии-массы) и можно выделить два основных используемых представления распределённой материи:

  • идеальная жидкость (жидкостные решения)
<math>T_{\alpha\beta} \, = (\rho + p)u_\alpha u_\beta + p g_{\alpha\beta},</math>

где <math>u^{\alpha}</math> интерпретируется как 4-вектор скорости жидкости в данной точке, <math>u^{\alpha}u_{\alpha} = -1</math>, <math>\rho</math> — плотность энергии жидкости, а <math>p</math> — её давление, которые должны быть связаны уравнением состояния <math>p=f(\rho, T)</math> (<math>T</math> — температура жидкости);

  • невзаимодействующая пыль (пылевые решения) — частный случай предыдущего при <math>p\equiv0</math>
<math>T_{\alpha\beta} \, = \rho u_\alpha u_\beta.</math>

Можно показать, что при движении пыли каждый её элемент двигается по геодезической линии порождаемой метрики.

Вообще можно составить полную алгебраическую классификацию возможных тензоров второй валентности — например, тензора Эйнштейна или энергии-импульса. Варианты таких классификаций: тензорная классификация Сегрэ, разработанная для случая четырёхмерного пространства-времени А. З. Петровым (с ошибкой — пропуском одного из возможных типов — выводимая также в "Теории поля" Ландау и Лифшица), и спинорная классификация Р. Пенроуза. Все перечисленные выше тензоры энергии-импульса являются по этим классификациям алгебраически специальными.

По величине космологической постоянной

  • Решения с <math>\Lambda \, = 0</math> — это решения уравнений Эйнштейна без лямбда-члена.
  • Решения с <math>\Lambda \, \neq 0</math> — это решения уравнений Эйнштейна с лямбда-членом, наличие которого усложняет решение, но позволяет получать стационарные метрики. Простейшее из таких решений — метрика де Ситтера.

Точные и приближённые решения

  • Точные решения
  • Приближённые решения — получаются, например, при нерелятивистском приближении некоторых параметров уравнений Эйнштейна — постньютоновский формализм, или при разложении по малым параметрам.

Классификация по зависимости от времени

  • Статические решения — их поле Киллинга времениподобно и ортогонально по отношению к семейству пространственноподобных поверхностей постоянного времени. К таким решениям относится метрика Шварцшильда.
  • Нестатические решения — описывают изменяющееся гравитационное поле, но для них можно найти группу наблюдателей, которые не отмечают никаких изменений гравитационного поля. К ним относится метрика Керра.
  • Нестационарные решения
  • Волновые решения — описывают гравитационные волны.

Классификация по симметрии пространства

  • Изотропные решения — их кривизна меняется одинаково вдоль любой оси, проведённой из заданной точки.
  • Однородные решения — решения, изотропные по отношению к любой их точке, то есть они имеют одинаковую кривизну в любой точке пространства.
  • Сферически-симметричные решения — кривизна постоянна на поверхностях, имеющих геометрию двумерных сфер. Центр симметрии таких сфер как реальное событие пространства-времени может вообще не существовать, как в случае кротовых нор. Эти решения используются для описания пространства вокруг статичных чёрных дыр, кротовых нор и невращающихся звёзд.
  • Анизотропные решения.
  • Аксиально-симметричные решения — кривизна постоянна на линиях, имеющих геометрию параллельных друг другу окружностей. При существовании событий самой оси симметрии можно выбрать точку на ней и сказать, что кривизна зависит как от расстояния до этой точки, так и от полярного угла (в сферической системе координат). Эти решения могут быть сопоставлены вращающимся чёрным дырам, звёздам, галактикам.
  • Зеркально-симметричные решения — их метрика симметрична относительно трёхмерной плоскости.
  • Несимметричные решения.

Классификация по асимптотике

Эта классификация основана на поведении решения на светоподобной бесконечности .

  • Асимптотически-плоские решения — такие решения возникают обычно при нулевой космологической постоянной и компактном носителе тензора энергии-импульса. На светоподобных бесконечностях (или по крайне мере на их частях) такое пространство-время достаточно быстро стремится к плоскому пространству Минковского. Это решения очень важны с физической точки зрения, так как они с хорошим приближением описывают островны́е системы — уединённые системы астрономических тел, такие как чёрные дыры, планетарные системы, кратные звёзды и даже галактики.

Для таких решений группа асимптотических симметрий пространства-времени (группа Бонди — Метцнера — Сакса) позволяет определить сохраняющийся 4-вектор энергии-импульса и рассчитать переход энергии системы в гравитационное излучение.

  • Космологические решения — основа физической космологии. Они описывают структуру и эволюцию Вселенной, полагаемой приблизительно однородной и изотропной. Такие решения относятся к распределённым, поскольку обычно для их задания на настоящем этапе эволюции Вселенной рассматривается пылеобразная материя из пылинок-галактик.

Сейчас общепризнанным базовым космологическим решением, описывающим эволюцию Вселенной «в целом», является решение Фридмана — Леметра — Робертсона — Уокера. Ранее рассматривались и другие решения — метрики Эйнштейна, Леметра, Эддингтона.

  • Замкнутые решения — в принципе, уравнения Эйнштейна, как локальные уравнения, слабо ограничивают глобальную топологию решения, которая задаётся начальными условиями. Таким образом, можно построить решения уравнений даже для высокопатологических случаев топологии. Простейшим примером может быть пространство Минковского, свёрнутое в тор отождествлением гиперплоскостей <math>x^\alpha=0</math> и <math>x^\alpha=x^\alpha_0</math> по любому количеству измерений, даже по времени.

Тем не менее, некоторые ограничения уравнения Эйнштейна всё же налагают, например, пространство постоянной положительной скалярной кривизны обязательно должно быть замкнуто.

Классификация по изотропным конгруэнциям (классификация Петрова)

Напишите отзыв о статье "Решения уравнений Эйнштейна"

Литература

  • Точные решения уравнений Эйнштейна. Под ред. Э. Шмутцера М.: Энергоиздат, 1982. - 416с.
  • Хокинг, Эллис Крупномасштабная структура пространства-времени.

Отрывок, характеризующий Решения уравнений Эйнштейна

Княжна Марья испуганно вопросительно смотрела на его лицо, не понимая того, что он говорил ей, не понимая, почему он не отвечал на главный вопрос: что брат? M lle Bourienne сделала этот вопрос за княжну Марью.
– Что князь? – спросила она.
– Их сиятельство с ними в том же доме стоят.
«Стало быть, он жив», – подумала княжна и тихо спросила: что он?
– Люди сказывали, все в том же положении.
Что значило «все в том же положении», княжна не стала спрашивать и мельком только, незаметно взглянув на семилетнего Николушку, сидевшего перед нею и радовавшегося на город, опустила голову и не поднимала ее до тех пор, пока тяжелая карета, гремя, трясясь и колыхаясь, не остановилась где то. Загремели откидываемые подножки.
Отворились дверцы. Слева была вода – река большая, справа было крыльцо; на крыльце были люди, прислуга и какая то румяная, с большой черной косой, девушка, которая неприятно притворно улыбалась, как показалось княжне Марье (это была Соня). Княжна взбежала по лестнице, притворно улыбавшаяся девушка сказала: – Сюда, сюда! – и княжна очутилась в передней перед старой женщиной с восточным типом лица, которая с растроганным выражением быстро шла ей навстречу. Это была графиня. Она обняла княжну Марью и стала целовать ее.
– Mon enfant! – проговорила она, – je vous aime et vous connais depuis longtemps. [Дитя мое! я вас люблю и знаю давно.]
Несмотря на все свое волнение, княжна Марья поняла, что это была графиня и что надо было ей сказать что нибудь. Она, сама не зная как, проговорила какие то учтивые французские слова, в том же тоне, в котором были те, которые ей говорили, и спросила: что он?
– Доктор говорит, что нет опасности, – сказала графиня, но в то время, как она говорила это, она со вздохом подняла глаза кверху, и в этом жесте было выражение, противоречащее ее словам.
– Где он? Можно его видеть, можно? – спросила княжна.
– Сейчас, княжна, сейчас, мой дружок. Это его сын? – сказала она, обращаясь к Николушке, который входил с Десалем. – Мы все поместимся, дом большой. О, какой прелестный мальчик!
Графиня ввела княжну в гостиную. Соня разговаривала с m lle Bourienne. Графиня ласкала мальчика. Старый граф вошел в комнату, приветствуя княжну. Старый граф чрезвычайно переменился с тех пор, как его последний раз видела княжна. Тогда он был бойкий, веселый, самоуверенный старичок, теперь он казался жалким, затерянным человеком. Он, говоря с княжной, беспрестанно оглядывался, как бы спрашивая у всех, то ли он делает, что надобно. После разорения Москвы и его имения, выбитый из привычной колеи, он, видимо, потерял сознание своего значения и чувствовал, что ему уже нет места в жизни.
Несмотря на то волнение, в котором она находилась, несмотря на одно желание поскорее увидать брата и на досаду за то, что в эту минуту, когда ей одного хочется – увидать его, – ее занимают и притворно хвалят ее племянника, княжна замечала все, что делалось вокруг нее, и чувствовала необходимость на время подчиниться этому новому порядку, в который она вступала. Она знала, что все это необходимо, и ей было это трудно, но она не досадовала на них.
– Это моя племянница, – сказал граф, представляя Соню, – вы не знаете ее, княжна?
Княжна повернулась к ней и, стараясь затушить поднявшееся в ее душе враждебное чувство к этой девушке, поцеловала ее. Но ей становилось тяжело оттого, что настроение всех окружающих было так далеко от того, что было в ее душе.
– Где он? – спросила она еще раз, обращаясь ко всем.
– Он внизу, Наташа с ним, – отвечала Соня, краснея. – Пошли узнать. Вы, я думаю, устали, княжна?
У княжны выступили на глаза слезы досады. Она отвернулась и хотела опять спросить у графини, где пройти к нему, как в дверях послышались легкие, стремительные, как будто веселые шаги. Княжна оглянулась и увидела почти вбегающую Наташу, ту Наташу, которая в то давнишнее свидание в Москве так не понравилась ей.
Но не успела княжна взглянуть на лицо этой Наташи, как она поняла, что это был ее искренний товарищ по горю, и потому ее друг. Она бросилась ей навстречу и, обняв ее, заплакала на ее плече.
Как только Наташа, сидевшая у изголовья князя Андрея, узнала о приезде княжны Марьи, она тихо вышла из его комнаты теми быстрыми, как показалось княжне Марье, как будто веселыми шагами и побежала к ней.
На взволнованном лице ее, когда она вбежала в комнату, было только одно выражение – выражение любви, беспредельной любви к нему, к ней, ко всему тому, что было близко любимому человеку, выраженье жалости, страданья за других и страстного желанья отдать себя всю для того, чтобы помочь им. Видно было, что в эту минуту ни одной мысли о себе, о своих отношениях к нему не было в душе Наташи.
Чуткая княжна Марья с первого взгляда на лицо Наташи поняла все это и с горестным наслаждением плакала на ее плече.
– Пойдемте, пойдемте к нему, Мари, – проговорила Наташа, отводя ее в другую комнату.
Княжна Марья подняла лицо, отерла глаза и обратилась к Наташе. Она чувствовала, что от нее она все поймет и узнает.
– Что… – начала она вопрос, но вдруг остановилась. Она почувствовала, что словами нельзя ни спросить, ни ответить. Лицо и глаза Наташи должны были сказать все яснее и глубже.
Наташа смотрела на нее, но, казалось, была в страхе и сомнении – сказать или не сказать все то, что она знала; она как будто почувствовала, что перед этими лучистыми глазами, проникавшими в самую глубь ее сердца, нельзя не сказать всю, всю истину, какою она ее видела. Губа Наташи вдруг дрогнула, уродливые морщины образовались вокруг ее рта, и она, зарыдав, закрыла лицо руками.
Княжна Марья поняла все.
Но она все таки надеялась и спросила словами, в которые она не верила:
– Но как его рана? Вообще в каком он положении?
– Вы, вы… увидите, – только могла сказать Наташа.
Они посидели несколько времени внизу подле его комнаты, с тем чтобы перестать плакать и войти к нему с спокойными лицами.
– Как шла вся болезнь? Давно ли ему стало хуже? Когда это случилось? – спрашивала княжна Марья.
Наташа рассказывала, что первое время была опасность от горячечного состояния и от страданий, но в Троице это прошло, и доктор боялся одного – антонова огня. Но и эта опасность миновалась. Когда приехали в Ярославль, рана стала гноиться (Наташа знала все, что касалось нагноения и т. п.), и доктор говорил, что нагноение может пойти правильно. Сделалась лихорадка. Доктор говорил, что лихорадка эта не так опасна.
– Но два дня тому назад, – начала Наташа, – вдруг это сделалось… – Она удержала рыданья. – Я не знаю отчего, но вы увидите, какой он стал.
– Ослабел? похудел?.. – спрашивала княжна.
– Нет, не то, но хуже. Вы увидите. Ах, Мари, Мари, он слишком хорош, он не может, не может жить… потому что…


Когда Наташа привычным движением отворила его дверь, пропуская вперед себя княжну, княжна Марья чувствовала уже в горле своем готовые рыданья. Сколько она ни готовилась, ни старалась успокоиться, она знала, что не в силах будет без слез увидать его.
Княжна Марья понимала то, что разумела Наташа словами: сним случилось это два дня тому назад. Она понимала, что это означало то, что он вдруг смягчился, и что смягчение, умиление эти были признаками смерти. Она, подходя к двери, уже видела в воображении своем то лицо Андрюши, которое она знала с детства, нежное, кроткое, умиленное, которое так редко бывало у него и потому так сильно всегда на нее действовало. Она знала, что он скажет ей тихие, нежные слова, как те, которые сказал ей отец перед смертью, и что она не вынесет этого и разрыдается над ним. Но, рано ли, поздно ли, это должно было быть, и она вошла в комнату. Рыдания все ближе и ближе подступали ей к горлу, в то время как она своими близорукими глазами яснее и яснее различала его форму и отыскивала его черты, и вот она увидала его лицо и встретилась с ним взглядом.
Он лежал на диване, обложенный подушками, в меховом беличьем халате. Он был худ и бледен. Одна худая, прозрачно белая рука его держала платок, другою он, тихими движениями пальцев, трогал тонкие отросшие усы. Глаза его смотрели на входивших.
Увидав его лицо и встретившись с ним взглядом, княжна Марья вдруг умерила быстроту своего шага и почувствовала, что слезы вдруг пересохли и рыдания остановились. Уловив выражение его лица и взгляда, она вдруг оробела и почувствовала себя виноватой.
«Да в чем же я виновата?» – спросила она себя. «В том, что живешь и думаешь о живом, а я!..» – отвечал его холодный, строгий взгляд.
В глубоком, не из себя, но в себя смотревшем взгляде была почти враждебность, когда он медленно оглянул сестру и Наташу.
Он поцеловался с сестрой рука в руку, по их привычке.
– Здравствуй, Мари, как это ты добралась? – сказал он голосом таким же ровным и чуждым, каким был его взгляд. Ежели бы он завизжал отчаянным криком, то этот крик менее бы ужаснул княжну Марью, чем звук этого голоса.
– И Николушку привезла? – сказал он также ровно и медленно и с очевидным усилием воспоминанья.
– Как твое здоровье теперь? – говорила княжна Марья, сама удивляясь тому, что она говорила.