Трактриса

Трактри́са (линия влечения) — (от лат. trahere — тащить) — плоская трансцендентная кривая, для которой длина отрезка касательной от точки касания до точки пересечения с фиксированной прямой является постоянной величиной.

Такую линию описывает предмет, волочащийся на верёвке длины a за точкой, движущейся по оси абсцисс. Трактриса также является кривой погони.

Уравнения

• Параметрическое описание:

  <math>x = \pm\ a \cdot \left(\ln {\operatorname{tg} {\frac{t}{2}}} + \cos t \right)</math>

  <math>y = a \cdot \sin t</math>

• Уравнение в декартовых координатах:

  <math>x = \pm\ \left(a \ln {{a + \sqrt{a^2-y^2}} \over y}-\sqrt{a^2-y^2}\right)</math>, при <math>y \in (0,a)</math>

Свойства

• Площадь, ограниченная трактрисой и её асимптотой:

  <math>S = {{\pi a^2} \over 2}</math>

• Длина дуги, от точки (0 ; a) до произвольной точки трактрисы:

  <math>s_l = -a \ln \sin t</math>

• Радиус кривизны:

  <math>R = a \; \operatorname{ctg} \; t</math>

• Поверхность вращения трактрисы вокруг своей асимптоты (оси x), является псевдосферой.
• Эволюта (огибающая нормалей): <math>y(x)=a ~ \operatorname{ch}\frac{x}{a}</math> (цепная линия)
• При <math>a > 0,\ 0 < t < {\pi}</math> трактриса имеет отрезок касательной постоянной длины, равный <math>a</math>.
• При <math>x = 0</math> трактриса имеет особую точку типа касп.

История

Открытие и первое исследование трактрисы (1670 год) принадлежит французскому инженеру, врачу и любителю математики Клоду Перро, брату знаменитого сказочника. Новая кривая заинтересовала математиков, её свойства выясняли Ньютон (1676), Гюйгенс (1692) и Лейбниц (1693).

Ссылки

• [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vygodskij1977ru.djvu Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике (12-е изд.). М.: Наука, 1977. С.822.]