Трансцендентное число
Трансценде́нтное число́ (от лат. transcendere — переходить, превосходить) — это вещественное или комплексное число, не являющееся алгебраическим — иными словами, число, которое не может быть корнем многочлена с рациональными коэффициентами (не равного тождественно нулю).
Содержание
Свойства
- Множество трансцендентных чисел континуально.
- Каждое трансцендентное вещественное число является иррациональным, но обратное неверно. Например, число <math>\sqrt 2</math> — иррациональное, но не трансцендентное: оно является корнем многочлена <math>x^2-2</math> (и потому является алгебраическим).
- Порядок на множестве вещественных трансцендентных чисел изоморфен порядку на множестве иррациональных чисел.
- Мера иррациональности почти всякого трансцендентного числа равна 2.
Примеры
- Число <math>\pi</math>.
- Число <math>e</math>.
- Десятичный логарифм любого целого числа, кроме чисел вида <math>10^n</math>.[1]
- <math>\sin a</math>, <math>\cos a</math> и <math>\mathrm{tg}\,a</math>, для любого ненулевого алгебраического числа <math>a</math> (по теореме Линдемана — Вейерштрасса).
История
Впервые понятие трансцендентного числа ввёл Ж. Лиувилль в 1844 году, когда доказал теорему о том, что алгебраическое число невозможно слишком хорошо приблизить рациональной дробью.
В 1873 году Ш. Эрмит доказал трансцендентность числа e, основания натуральных логарифмов.
В 1882 году Линдеман доказал теорему о трансцендентности степени числа e с ненулевым алгебраическим показателем, тем самым доказав трансцендентность числа <math>\pi</math> и неразрешимость задачи квадратуры круга.
В 1900 году на II Международном конгрессе математиков Гильберт в числе сформулированных им проблем сформулировал седьмую проблему: «Если <math>a \neq 0, 1</math>, <math>a</math> — алгебраическое число, и <math>b</math> — алгебраическое, но иррациональное, верно ли, что <math>a^b</math> — трансцендентное число?» В частности, является ли трансцендентным число <math>2^\sqrt 2</math>. Эта проблема была решена в 1934 году Гельфондом, который доказал, что все такие числа действительно являются трансцендентными.
Вариации и обобщения
В теории Галуа рассматривается более общее определение: элемент расширения поля P трансцендентный, если он не является корнем многочлена над P.
Некоторые открытые проблемы
- Неизвестно, является ли число <math>\ln \pi</math> рациональным или иррациональным, алгебраическим или трансцендентным[2].
- Неизвестна мера иррациональности для чисел <math>\ln 2, \ln 3</math>.[3].
См. также
Напишите отзыв о статье "Трансцендентное число"
Примечания
Литература
- Фельдман Н. [kvant.mccme.ru/1983/07/algebraicheskie_i_transcendent.htm Алгебраические и трансцендентные числа] // Квант. — 1983. — № 7. — С. 2—7.
| ||||||
и их расширения
|список2=Вещественные (<math>\scriptstyle\mathbb{R}</math>) • Комплексные (<math>\scriptstyle\mathbb{C}</math>) • Кватернионы (<math>\scriptstyle\mathbb{H}</math>) • Числа Кэли (октавы, октонионы) (<math>\scriptstyle\mathbb{O}</math>) • Седенионы (<math>\scriptstyle\mathbb{S}</math>) • Альтернионы • Дуальные • Гиперкомплексные • Супердействительные • Гипервещественные • Сюрреальные[en]
|заголовок3=числовых систем
|список3=Процедура Кэли — Диксона • Теорема Фробениуса • Теорема Гурвица
|заголовок4=
| |||||||||||||||||||||||||||
| <math>1,\;e_1,\;e_2,\;\dots,\;e_{15},\;7e_2 + \frac{2}{5}e_7 - \frac{1}{3}e_{15},\;\dots</math> | Седенионы | ||||||||||||||||||||||||||
числовые системы
|список5=Кардинальные числа • Порядковые числа (трансфинитные, ординал) • p-адические • Супернатуральные числа
|заголовок6=|список6=Двойные числа • Иррациональные числа • Трансцендентные числа • Числовой луч • Бикватернион
}}
Отрывок, характеризующий Трансцендентное число
– Как можно быть здоровой… когда нравственно страдаешь? Разве можно оставаться спокойною в наше время, когда есть у человека чувство? – сказала Анна Павловна. – Вы весь вечер у меня, надеюсь?– А праздник английского посланника? Нынче середа. Мне надо показаться там, – сказал князь. – Дочь заедет за мной и повезет меня.
– Я думала, что нынешний праздник отменен. Je vous avoue que toutes ces fetes et tous ces feux d'artifice commencent a devenir insipides. [Признаюсь, все эти праздники и фейерверки становятся несносны.]
– Ежели бы знали, что вы этого хотите, праздник бы отменили, – сказал князь, по привычке, как заведенные часы, говоря вещи, которым он и не хотел, чтобы верили.
– Ne me tourmentez pas. Eh bien, qu'a t on decide par rapport a la depeche de Novosiizoff? Vous savez tout. [Не мучьте меня. Ну, что же решили по случаю депеши Новосильцова? Вы все знаете.]
– Как вам сказать? – сказал князь холодным, скучающим тоном. – Qu'a t on decide? On a decide que Buonaparte a brule ses vaisseaux, et je crois que nous sommes en train de bruler les notres. [Что решили? Решили, что Бонапарте сжег свои корабли; и мы тоже, кажется, готовы сжечь наши.] – Князь Василий говорил всегда лениво, как актер говорит роль старой пиесы. Анна Павловна Шерер, напротив, несмотря на свои сорок лет, была преисполнена оживления и порывов.
Быть энтузиасткой сделалось ее общественным положением, и иногда, когда ей даже того не хотелось, она, чтобы не обмануть ожиданий людей, знавших ее, делалась энтузиасткой. Сдержанная улыбка, игравшая постоянно на лице Анны Павловны, хотя и не шла к ее отжившим чертам, выражала, как у избалованных детей, постоянное сознание своего милого недостатка, от которого она не хочет, не может и не находит нужным исправляться.
В середине разговора про политические действия Анна Павловна разгорячилась.
– Ах, не говорите мне про Австрию! Я ничего не понимаю, может быть, но Австрия никогда не хотела и не хочет войны. Она предает нас. Россия одна должна быть спасительницей Европы. Наш благодетель знает свое высокое призвание и будет верен ему. Вот одно, во что я верю. Нашему доброму и чудному государю предстоит величайшая роль в мире, и он так добродетелен и хорош, что Бог не оставит его, и он исполнит свое призвание задавить гидру революции, которая теперь еще ужаснее в лице этого убийцы и злодея. Мы одни должны искупить кровь праведника… На кого нам надеяться, я вас спрашиваю?… Англия с своим коммерческим духом не поймет и не может понять всю высоту души императора Александра. Она отказалась очистить Мальту. Она хочет видеть, ищет заднюю мысль наших действий. Что они сказали Новосильцову?… Ничего. Они не поняли, они не могут понять самоотвержения нашего императора, который ничего не хочет для себя и всё хочет для блага мира. И что они обещали? Ничего. И что обещали, и того не будет! Пруссия уж объявила, что Бонапарте непобедим и что вся Европа ничего не может против него… И я не верю ни в одном слове ни Гарденбергу, ни Гаугвицу. Cette fameuse neutralite prussienne, ce n'est qu'un piege. [Этот пресловутый нейтралитет Пруссии – только западня.] Я верю в одного Бога и в высокую судьбу нашего милого императора. Он спасет Европу!… – Она вдруг остановилась с улыбкою насмешки над своею горячностью.
