Трапеция

Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, трапеза») — выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — боковыми сторонами. Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Варианты определения

Существует и другое определение трапеции.

Трапеция — это выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны. Согласно этому определению, параллелограмм и прямоугольник — частные случаи трапеции. Приведённые ниже формулы верны для обоих определений трапеции.

Связанные определения

Элементы трапеции

• Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции.
• Две другие стороны называются боковыми сторонами.
• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

Виды трапеций

• Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной трапецией (реже равнобокой или равнобочной трапецией).
• Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

• Trapezoid2 1.png

  Равнобедренная трапеция

• Trapezoid1.png

  Прямоугольная трапеция

Общие свойства

• Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
• Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен половине разности оснований и лежит на средней линии.
• (Обобщённая теорема Фалеса). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.
• В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон.
• Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен <math>\frac{2xy}{x+y}</math> среднему гармоническому длин оснований трапеции (формула Буракова).
• Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
• Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.
• Треугольники, лежащие на основаниях при пересечении диагоналей, подобные.
• Треугольники, лежащие на боковых сторонах, равновеликие.
• Если отношение оснований равно <math>K</math>, то отношение площадей треугольников, лежащих на основаниях, равно <math>K^2</math>.
• Высота трапеции определяется формулой:

<math> h=\sqrt{c^2-\frac 14 \left ( \frac{c^2-d^2}{b-a}+b-a\right )^2}</math>

где <math> b </math> — большее основание, <math> a </math> — меньшее основание, <math> c </math> и <math> d </math> — боковые стороны.

• Диагонали трапеции <math> d_1</math> и <math> d_2 </math> связаны со сторонами соотношением:

<math>d_1^2+d_2^2=2ab+c^2+d^2 </math>

Их можно выразить в явном виде:

<math> d_1=AC=\sqrt{ab+d^2+\frac{b(c^2-d^2)}{b-a}}</math>

<math> d_2=BD=\sqrt{ab+c^2-\frac{b(c^2-d^2)}{b-a}}</math>

Если же известна высота <math> h </math>, то

<math>d_1=\sqrt{b^2+d^2-2b\sqrt{d^2-h^2}}=\sqrt{h^2+\left (b-\sqrt{d^2-h^2} \right )^2}</math>

<math>d_2=\sqrt{b^2+c^2-2b\sqrt{c^2-h^2}}=\sqrt{h^2+\left (b-\sqrt{c^2-h^2} \right )^2}</math>

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

Трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих эквивалентных условий:

• прямая, которая проходит через середины оснований, перпендикулярна основаниям (то есть является осью симметрии трапеции);
• высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований;
• углы при любом основании равны;
• сумма противоположных углов равна 180°;
• длины диагоналей равны;
• вокруг этой трапеции можно описать окружность;
• вершинами этой трапеции также являются вершины некоторого антипараллелограмма.

Кроме того

• если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная и описанная окружность

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

• Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписать окружность. Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований).
• В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.
• Если трапеция равнобедренная, то около неё можно описать окружность.
• Радиус описанной окружности равнобедренной трапеции:

<math>R=\frac{bcd_1}{4\sqrt{p(p-b)(p-c)(p-d_1)}}=\sqrt{\frac{ab+c^2}{4-\left ( \frac{b-a}{c}\right )^2}}</math>

где <math>p=\frac 12 (b+c+d_1) \, , \, c</math> — боковая сторона, <math>b</math> — бо́льшее основание, <math>a</math> — меньшее основание, <math> d_1=d_2 </math> — диагонали равнобедренной трапеции.

• Если <math>a+b=2c </math>, то в равнобедренную трапецию можно вписать окружность радиуса

<math>r=\frac h2=\frac{\sqrt{ab}}{2}</math>

• Если в трапецию вписана окружность с радиусом <math>r</math>, и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — <math>v</math> и <math>w</math> — то <math>r = \sqrt{vw}</math>.

Площадь

Здесь приведены формулы, свойственные именно трапеции. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников.

• В случае, если <math>a</math> и <math>b</math> — основания и <math>h</math> — высота, формула площади:

<math>S= \frac{(a+b)}{2}h</math>

• В случае, если <math>m</math> — средняя линия и <math>h</math> — высота, формула площади:

<math>S= \displaystyle m h</math>

Примечание: Приведённые выше две формулы эквивалентны, так как полусумма оснований равняется средней линии трапеции:

<math>m= \frac{ (a+b) }{2}</math>

• Формула, где <math>a<b</math> — основания, <math>c</math> и <math>d</math> — боковые стороны трапеции:

<math>S=\frac{a+b}{4(b-a)}\sqrt{(a+c+d-b)(a+d-b-c)(a+c-b-d)(b+c+d-a)}.</math>

или

<math>S=\frac{a+b}{2}\sqrt{c^2-\frac 14 \left ( \frac{c^2-d^2}{b-a}+b-a\right )^2}</math>

• Площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности, равным <math>r</math>, и углом при основании <math>\alpha</math>:

<math>S=\frac{4r^2}{\sin{\alpha}}</math>

• Площадь равнобедренной трапеции:

<math>S=(b-c\cos{\gamma})c\sin{\gamma}=(a+c\cos{\gamma})c\sin{\gamma}</math>

где <math>c</math> — боковая сторона, <math>b</math> — бо́льшее основание, <math>a</math> — меньшее основание, <math>\gamma</math> — угол между бо́льшим основанием и боковой стороной..

• Площадь равнобедренной трапеции через её стороны

<math>S=\frac{a+b}{2} \sqrt{c^2-\frac 14 (b-a)^2}</math>

Отрывок, характеризующий Трапеция

В то время как проходил этот Апшеронский батальон, румяный Милорадович, без шинели, в мундире и орденах и со шляпой с огромным султаном, надетой набекрень и с поля, марш марш выскакал вперед и, молодецки салютуя, осадил лошадь перед государем.
– С Богом, генерал, – сказал ему государь.
– Ma foi, sire, nous ferons ce que qui sera dans notre possibilite, sire, [Право, ваше величество, мы сделаем, что будет нам возможно сделать, ваше величество,] – отвечал он весело, тем не менее вызывая насмешливую улыбку у господ свиты государя своим дурным французским выговором.
Милорадович круто повернул свою лошадь и стал несколько позади государя. Апшеронцы, возбуждаемые присутствием государя, молодецким, бойким шагом отбивая ногу, проходили мимо императоров и их свиты.
– Ребята! – крикнул громким, самоуверенным и веселым голосом Милорадович, видимо, до такой степени возбужденный звуками стрельбы, ожиданием сражения и видом молодцов апшеронцев, еще своих суворовских товарищей, бойко проходивших мимо императоров, что забыл о присутствии государя. – Ребята, вам не первую деревню брать! – крикнул он.
– Рады стараться! – прокричали солдаты.
Лошадь государя шарахнулась от неожиданного крика. Лошадь эта, носившая государя еще на смотрах в России, здесь, на Аустерлицком поле, несла своего седока, выдерживая его рассеянные удары левой ногой, настораживала уши от звуков выстрелов, точно так же, как она делала это на Марсовом поле, не понимая значения ни этих слышавшихся выстрелов, ни соседства вороного жеребца императора Франца, ни всего того, что говорил, думал, чувствовал в этот день тот, кто ехал на ней.
Государь с улыбкой обратился к одному из своих приближенных, указывая на молодцов апшеронцев, и что то сказал ему.


Кутузов, сопутствуемый своими адъютантами, поехал шагом за карабинерами.
Проехав с полверсты в хвосте колонны, он остановился у одинокого заброшенного дома (вероятно, бывшего трактира) подле разветвления двух дорог. Обе дороги спускались под гору, и по обеим шли войска.
Туман начинал расходиться, и неопределенно, верстах в двух расстояния, виднелись уже неприятельские войска на противоположных возвышенностях. Налево внизу стрельба становилась слышнее. Кутузов остановился, разговаривая с австрийским генералом. Князь Андрей, стоя несколько позади, вглядывался в них и, желая попросить зрительную трубу у адъютанта, обратился к нему.
– Посмотрите, посмотрите, – говорил этот адъютант, глядя не на дальнее войско, а вниз по горе перед собой. – Это французы!
Два генерала и адъютанты стали хвататься за трубу, вырывая ее один у другого. Все лица вдруг изменились, и на всех выразился ужас. Французов предполагали за две версты от нас, а они явились вдруг, неожиданно перед нами.
– Это неприятель?… Нет!… Да, смотрите, он… наверное… Что ж это? – послышались голоса.
Князь Андрей простым глазом увидал внизу направо поднимавшуюся навстречу апшеронцам густую колонну французов, не дальше пятисот шагов от того места, где стоял Кутузов.
«Вот она, наступила решительная минута! Дошло до меня дело», подумал князь Андрей, и ударив лошадь, подъехал к Кутузову. «Надо остановить апшеронцев, – закричал он, – ваше высокопревосходительство!» Но в тот же миг всё застлалось дымом, раздалась близкая стрельба, и наивно испуганный голос в двух шагах от князя Андрея закричал: «ну, братцы, шабаш!» И как будто голос этот был команда. По этому голосу всё бросилось бежать.
Смешанные, всё увеличивающиеся толпы бежали назад к тому месту, где пять минут тому назад войска проходили мимо императоров. Не только трудно было остановить эту толпу, но невозможно было самим не податься назад вместе с толпой.
Болконский только старался не отставать от нее и оглядывался, недоумевая и не в силах понять того, что делалось перед ним. Несвицкий с озлобленным видом, красный и на себя не похожий, кричал Кутузову, что ежели он не уедет сейчас, он будет взят в плен наверное. Кутузов стоял на том же месте и, не отвечая, доставал платок. Из щеки его текла кровь. Князь Андрей протеснился до него.
– Вы ранены? – спросил он, едва удерживая дрожание нижней челюсти.
– Раны не здесь, а вот где! – сказал Кутузов, прижимая платок к раненой щеке и указывая на бегущих. – Остановите их! – крикнул он и в то же время, вероятно убедясь, что невозможно было их остановить, ударил лошадь и поехал вправо.
Вновь нахлынувшая толпа бегущих захватила его с собой и повлекла назад.
Войска бежали такой густой толпой, что, раз попавши в середину толпы, трудно было из нее выбраться. Кто кричал: «Пошел! что замешкался?» Кто тут же, оборачиваясь, стрелял в воздух; кто бил лошадь, на которой ехал сам Кутузов. С величайшим усилием выбравшись из потока толпы влево, Кутузов со свитой, уменьшенной более чем вдвое, поехал на звуки близких орудийных выстрелов. Выбравшись из толпы бегущих, князь Андрей, стараясь не отставать от Кутузова, увидал на спуске горы, в дыму, еще стрелявшую русскую батарею и подбегающих к ней французов. Повыше стояла русская пехота, не двигаясь ни вперед на помощь батарее, ни назад по одному направлению с бегущими. Генерал верхом отделился от этой пехоты и подъехал к Кутузову. Из свиты Кутузова осталось только четыре человека. Все были бледны и молча переглядывались.
– Остановите этих мерзавцев! – задыхаясь, проговорил Кутузов полковому командиру, указывая на бегущих; но в то же мгновение, как будто в наказание за эти слова, как рой птичек, со свистом пролетели пули по полку и свите Кутузова.
Французы атаковали батарею и, увидав Кутузова, выстрелили по нем. С этим залпом полковой командир схватился за ногу; упало несколько солдат, и подпрапорщик, стоявший с знаменем, выпустил его из рук; знамя зашаталось и упало, задержавшись на ружьях соседних солдат.
Солдаты без команды стали стрелять.
– Ооох! – с выражением отчаяния промычал Кутузов и оглянулся. – Болконский, – прошептал он дрожащим от сознания своего старческого бессилия голосом. – Болконский, – прошептал он, указывая на расстроенный батальон и на неприятеля, – что ж это?
Но прежде чем он договорил эти слова, князь Андрей, чувствуя слезы стыда и злобы, подступавшие ему к горлу, уже соскакивал с лошади и бежал к знамени.
– Ребята, вперед! – крикнул он детски пронзительно.
«Вот оно!» думал князь Андрей, схватив древко знамени и с наслаждением слыша свист пуль, очевидно, направленных именно против него. Несколько солдат упало.
– Ура! – закричал князь Андрей, едва удерживая в руках тяжелое знамя, и побежал вперед с несомненной уверенностью, что весь батальон побежит за ним.
Действительно, он пробежал один только несколько шагов. Тронулся один, другой солдат, и весь батальон с криком «ура!» побежал вперед и обогнал его. Унтер офицер батальона, подбежав, взял колебавшееся от тяжести в руках князя Андрея знамя, но тотчас же был убит. Князь Андрей опять схватил знамя и, волоча его за древко, бежал с батальоном. Впереди себя он видел наших артиллеристов, из которых одни дрались, другие бросали пушки и бежали к нему навстречу; он видел и французских пехотных солдат, которые хватали артиллерийских лошадей и поворачивали пушки. Князь Андрей с батальоном уже был в 20 ти шагах от орудий. Он слышал над собою неперестававший свист пуль, и беспрестанно справа и слева от него охали и падали солдаты. Но он не смотрел на них; он вглядывался только в то, что происходило впереди его – на батарее. Он ясно видел уже одну фигуру рыжего артиллериста с сбитым на бок кивером, тянущего с одной стороны банник, тогда как французский солдат тянул банник к себе за другую сторону. Князь Андрей видел уже ясно растерянное и вместе озлобленное выражение лиц этих двух людей, видимо, не понимавших того, что они делали.