Единичная окружность

Поделись знанием:
(перенаправлено с «Тригонометрическая окружность»)
Перейти к: навигация, поиск

Единичная окружность — окружность с радиусом 1 и центром в начале координат. Понятие единичной окружности обобщается до <math>n</math>-мерного пространства (<math>n>2</math>), в таком случае говорят о «единичной сфере».

Для координат всех точек на окружности, согласно теореме Пифагора, выполняется равенство <math>x^2 + y^2 = 1</math>.



Тригонометрические функции

С помощью единичной окружности могут быть наглядно описаны тригонометрические функции (в контексте такого описания единичную окружность иногда называют «тригонометрическим кругом», что не слишком удачно, так как рассматривается именно окружность, а не круг).

Синус и косинус могут быть описаны следующим образом: соединив любую точку <math>(x, y)</math> на единичной окружности с началом координат <math>(0, 0)</math>, получается отрезок, находящийся под углом <math>\alpha</math> относительно положительной полуоси абсцисс. Тогда действительно:

<math>\cos\alpha = x</math>,
<math>\sin\alpha = y</math>.

При подстановке этих значения в уравнение окружности <math>x^2 + y^2 = 1</math> получается:

<math>\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1</math>.

(Используется следующая общепринятая нотация: <math>\cos^2x = (\cos x)^2</math>.)

Тут же наглядно описывается периодичность тригонометрических функций, так как угол отрезка не зависит от количества «полных оборотов»:

<math>\sin(x + 2\pi k) = \sin(x)</math>
<math>\cos(x + 2\pi k) = \cos(x)</math>

для всех целых чисел <math>k</math>, то есть для <math>k\in \mathbb Z</math>.

Комплексная плоскость

В комплексной плоскости единичная окружность — это следующее множество <math>G \subset \mathbb{C}</math>:

<math>G = \{z : \mathrm{Re}\{z\}^2 + \mathrm{Im}\{z\}^2 = 1 \} = \{z : z = e^{i\phi}, 0 \leq \phi < 2\pi\}</math>

Множество <math>G</math> является подгруппой группы комплексных чисел по умножению, её нейтральный элемент — это <math>e^{i0}=1</math>).

См. также


Напишите отзыв о статье "Единичная окружность"

Отрывок, характеризующий Единичная окружность

– Какое бы горе ни было, – продолжал князь Андрей, – я вас прошу, m lle Sophie, что бы ни случилось, обратитесь к нему одному за советом и помощью. Это самый рассеянный и смешной человек, но самое золотое сердце.
Ни отец и мать, ни Соня, ни сам князь Андрей не могли предвидеть того, как подействует на Наташу расставанье с ее женихом. Красная и взволнованная, с сухими глазами, она ходила этот день по дому, занимаясь самыми ничтожными делами, как будто не понимая того, что ожидает ее. Она не плакала и в ту минуту, как он, прощаясь, последний раз поцеловал ее руку. – Не уезжайте! – только проговорила она ему таким голосом, который заставил его задуматься о том, не нужно ли ему действительно остаться и который он долго помнил после этого. Когда он уехал, она тоже не плакала; но несколько дней она не плача сидела в своей комнате, не интересовалась ничем и только говорила иногда: – Ах, зачем он уехал!
Но через две недели после его отъезда, она так же неожиданно для окружающих ее, очнулась от своей нравственной болезни, стала такая же как прежде, но только с измененной нравственной физиогномией, как дети с другим лицом встают с постели после продолжительной болезни.


Здоровье и характер князя Николая Андреича Болконского, в этот последний год после отъезда сына, очень ослабели. Он сделался еще более раздражителен, чем прежде, и все вспышки его беспричинного гнева большей частью обрушивались на княжне Марье. Он как будто старательно изыскивал все больные места ее, чтобы как можно жесточе нравственно мучить ее. У княжны Марьи были две страсти и потому две радости: племянник Николушка и религия, и обе были любимыми темами нападений и насмешек князя. О чем бы ни заговорили, он сводил разговор на суеверия старых девок или на баловство и порчу детей. – «Тебе хочется его (Николеньку) сделать такой же старой девкой, как ты сама; напрасно: князю Андрею нужно сына, а не девку», говорил он. Или, обращаясь к mademoiselle Bourime, он спрашивал ее при княжне Марье, как ей нравятся наши попы и образа, и шутил…
Он беспрестанно больно оскорблял княжну Марью, но дочь даже не делала усилий над собой, чтобы прощать его. Разве мог он быть виноват перед нею, и разве мог отец ее, который, она всё таки знала это, любил ее, быть несправедливым? Да и что такое справедливость? Княжна никогда не думала об этом гордом слове: «справедливость». Все сложные законы человечества сосредоточивались для нее в одном простом и ясном законе – в законе любви и самоотвержения, преподанном нам Тем, Который с любовью страдал за человечество, когда сам он – Бог. Что ей было за дело до справедливости или несправедливости других людей? Ей надо было самой страдать и любить, и это она делала.