Трёхгранный угол
Трёхгранный угол — это часть пространства, ограниченная тремя плоскими углами с общей вершиной и попарно общими сторонами, не лежащими в одной плоскости. Общая вершина О этих углов называется вершиной трёхгранного угла. Стороны углов называются рёбрами, плоские углы при вершине трёхгранного угла называются его гранями. Каждая из трёх пар граней трёхгранного угла образует двугранный угол (ограниченный третьей гранью, не входящей в пару; при потребности естественным образом снимается это ограничение, в результате чего получаются необходимые полуплоскости, образующие весь двугранный угол без ограничения). Если поместить вершину трёхгранного угла в центр сферы, на её поверхности образуется ограниченный им сферический треугольник, стороны которого равны плоским углам трёхгранного угла, а углы — его двугранным углам.
Содержание
Неравенство треугольника для трёхгранного угла
Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.
Сумма плоских углов трёхгранного угла
Сумма плоских углов трёхгранного угла меньше 360 градусов.
Пусть OABC – данный трёхгранный угол (см. Рис. 1). Рассмотрим трёхгранный угол с вершиной A, образованный гранями ABO, ACO и углом BAC. Напишем неравенство:
- <math> \angle BAC < \angle BAO + \angle CAO </math>
Аналогично, и для оставшихся трёхгранных углов с вершинами B и С:
- <math> \angle ABC < \angle ABO + \angle CBO </math>
- <math> \angle ACB < \angle ACO + \angle BCO </math>
Складывая эти неравенства и учитывая, что сумма углов треугольника ABC равна 180°, получаем
- <math> 180 < \angle BAO + \angle CAO + \angle ABO + \angle CBO + \angle BCO + \angle ACO = 180 - \angle AOB + 180 - \angle BOC + 180 - \angle AOC </math>
Следовательно : <math> \angle AOB + \angle BOC + \angle AOC < 360 </math>
Теорема косинусов для трёхгранного угла
Пусть дан трёхгранный угол (см. Рис. 2), α, β, γ — его плоские углы, A, B, C — двугранные углы, составленные плоскостями углов β и γ, α и γ, α и β.
Первая теорема косинусов для трёхгранного угла: <math> \cos {\alpha} = \cos {\beta} \cos {\gamma} + \sin {\beta} \sin {\gamma} \cos {A}</math>
Вторая теорема косинусов для трёхгранного угла: <math> \cos {A} = - \cos {B} \cos {C} + \sin {B} \sin {C} \cos {\alpha} ,</math>
Пусть OABC – данный трёхгранный угол. Опустим перпендикуляры из внутренней точки трёхгранного угла на его грани и получим новый трёхгранный угол полярный (двойственный данному). Плоские углы одного трёхгранного угла дополняют двугранные углы другого и двугранные углы одного угла дополняют плоские другого до 180 градусов. Т. е. плоские углы полярного угла соответственно равны: 180 - А ; 180 - В ; 180 - С, а двугранные - 180 - α; 180 - β ; 180 - γ
Напишем первую теорему косинусов для него
- <math> \cos ({\pi -A}) = \cos ({\pi - \alpha}) \sin ({\pi - B}) \sin ({\pi - C}) + </math>
- <math>+\cos ({\pi - B}) \cos ({\pi - C)}</math>
и после упрощений получаем:
- <math> \cos {A} = \cos {\alpha} \sin {B} \sin {C} - \cos {B} \cos {C}</math>
Теорема синусов для трёхгранного угла
<math> {\sin{\alpha} \over \sin A} = {\sin \beta \over \sin B} = { \sin \gamma \over \sin C}</math>, где α, β, γ — плоские углы трёхгранного угла; A, B, C — противолежащие им двугранные углы (см. Рис. 2).
См. также
<imagemap>: неверное или отсутствующее изображение |
Для улучшения этой статьи желательно?:
|
Напишите отзыв о статье "Трёхгранный угол"
Отрывок, характеризующий Трёхгранный угол
– Посадите. Садитесь, милый, садитесь. Подстели шинель, Антонов.Юнкер был Ростов. Он держал одною рукой другую, был бледен, и нижняя челюсть тряслась от лихорадочной дрожи. Его посадили на Матвевну, на то самое орудие, с которого сложили мертвого офицера. На подложенной шинели была кровь, в которой запачкались рейтузы и руки Ростова.
– Что, вы ранены, голубчик? – сказал Тушин, подходя к орудию, на котором сидел Ростов.
– Нет, контужен.
– Отчего же кровь то на станине? – спросил Тушин.
– Это офицер, ваше благородие, окровянил, – отвечал солдат артиллерист, обтирая кровь рукавом шинели и как будто извиняясь за нечистоту, в которой находилось орудие.
Насилу, с помощью пехоты, вывезли орудия в гору, и достигши деревни Гунтерсдорф, остановились. Стало уже так темно, что в десяти шагах нельзя было различить мундиров солдат, и перестрелка стала стихать. Вдруг близко с правой стороны послышались опять крики и пальба. От выстрелов уже блестело в темноте. Это была последняя атака французов, на которую отвечали солдаты, засевшие в дома деревни. Опять всё бросилось из деревни, но орудия Тушина не могли двинуться, и артиллеристы, Тушин и юнкер, молча переглядывались, ожидая своей участи. Перестрелка стала стихать, и из боковой улицы высыпали оживленные говором солдаты.
– Цел, Петров? – спрашивал один.
– Задали, брат, жару. Теперь не сунутся, – говорил другой.
– Ничего не видать. Как они в своих то зажарили! Не видать; темь, братцы. Нет ли напиться?
Французы последний раз были отбиты. И опять, в совершенном мраке, орудия Тушина, как рамой окруженные гудевшею пехотой, двинулись куда то вперед.
В темноте как будто текла невидимая, мрачная река, всё в одном направлении, гудя шопотом, говором и звуками копыт и колес. В общем гуле из за всех других звуков яснее всех были стоны и голоса раненых во мраке ночи. Их стоны, казалось, наполняли собой весь этот мрак, окружавший войска. Их стоны и мрак этой ночи – это было одно и то же. Через несколько времени в движущейся толпе произошло волнение. Кто то проехал со свитой на белой лошади и что то сказал, проезжая. Что сказал? Куда теперь? Стоять, что ль? Благодарил, что ли? – послышались жадные расспросы со всех сторон, и вся движущаяся масса стала напирать сама на себя (видно, передние остановились), и пронесся слух, что велено остановиться. Все остановились, как шли, на середине грязной дороги.
Засветились огни, и слышнее стал говор. Капитан Тушин, распорядившись по роте, послал одного из солдат отыскивать перевязочный пункт или лекаря для юнкера и сел у огня, разложенного на дороге солдатами. Ростов перетащился тоже к огню. Лихорадочная дрожь от боли, холода и сырости трясла всё его тело. Сон непреодолимо клонил его, но он не мог заснуть от мучительной боли в нывшей и не находившей положения руке. Он то закрывал глаза, то взглядывал на огонь, казавшийся ему горячо красным, то на сутуловатую слабую фигуру Тушина, по турецки сидевшего подле него. Большие добрые и умные глаза Тушина с сочувствием и состраданием устремлялись на него. Он видел, что Тушин всею душой хотел и ничем не мог помочь ему.