Трёхцветная раскраска (теория узлов)
В теории узлов раскрашиваемость в три цвета узла — это возможность раскрасить узел в три цвета, придерживаясь определённых правил. Раскрашиваемость в три цвета является изотопическим инвариантом, а потому это свойство может быть использовано для различения двух (неизотопных[en]) узлов. В частности, поскольку тривиальный узел не раскрашиваем в три цвета, любой раскрашиваемый узел будет нетривиальным.
Содержание
Правила раскрашивания в три цвета
Узел раскрашиваем, если каждая нить диаграммы узла может быть выкрашена одним из трёх цветов при выполнении следующих правил: [1]
- 1. Должны быть использованы по меньшей мере два цвета
- 2. На каждом перекрёстке три нити должны быть либо все одного цвета, либо все разного (нить сверху на перекрёстке цвета не меняет, а нить снизу считается двумя разными нитями).
Некоторые источники требуют, чтобы использовались все три цвета [2]. Для узлов это эквивалентно вышеприведённому определению, а вот для зацеплений это не так.
«Трилистник и тривиальное 2-зацепление раскрашиваемы в три цвета, но тривиальный узел, зацепление Уайтхеда и восьмёрка не раскрашиваемы. Если проекция узла раскрашиваема в три цвета, то движения Рейдемейстера на узле сохраняют раскрашиваемость, так что либо все проекции узла раскрашиваемы в три цвета, либо никакая проекция не поддаётся раскраске»[1].
Примеры
Пример раскраски узла согласно вышеприведённым правилам. Обычно для раскраски используются красный, зелёный и синий цвета.
Пример раскрашиваемого в три цвета узла
Бабий узел можно раскрасить в три цвета. В этой раскраске три нити на каждом пересечении имеют три различных цвета. Узел состоит из двух трилистников, и раскраска одного из двух (но не обоих) трилистников полностью в красный цвет также даёт допустимую раскраску. Узел «истинной дружбы» также является раскрашиваемым в три цвета [3]
Пример не раскрашиваемого в три цвета узла
Восьмёрку нельзя раскрасить в три цвета. На показанной диаграмме узел имеет четыре нити, из которых любая пара встречается на каком-либо перекрёстке. Если три из нитей имеют один и тот же цвет, то и четвёртая нить должна иметь тот же цвет. В противном случае каждая из этих четырёх нитей должна иметь свой цвет. Поскольку раскрашиваемость в три цвета является инвариантом узла, никакая из диаграмм этого узла не может быть выкрашена в три цвета.
Изотопический инвариант
Раскрашиваемость в три цвета является изотопическим инвариантом, свойством узла или зацепления, которое остаётся неизменным при любой объемлющей изотопии. Это можно доказать, если рассматривать движения Рейдемейстера. Поскольку каждое движение Рейдемейстера может быть осуществлено без изменения свойства раскрашиваемости, это свойство является изотопическим инвариантом.
| движение Рейдемейстера I не меняет раскрашиваемость. | движение Рейдемейстера II не меняет раскрашиваемость. | движение Рейдемейстера III не меняет раскрашиваемость. |
|---|---|---|
 |
 |
|
Свойства
Поскольку раскраска в три цвета является бинарной классификацией (зацепление раскрашиваемо или нет), это относительно слабый инвариант. Сумма раскрашиваемого узла с другим узлом всегда раскрашиваема. Путь усиления этого инварианта — посчитать число возможных раскрасок в три цвета. В этом случае отказываемся от правила, что используются по меньшей мере два цвета, и теперь любое зацепление имеет по меньшей мере три раскраски (просто раскрашиваем все дуги в один и тот же цвет). Теперь зацепление считается раскрашиваемым в три цвета, если оно имеет более трёх различных раскрашиваний.
Любое разделимое зацепление с раскрашиваемой отделимой компонентой является также раскрашиваемым в три цвета.
Узлы на торе
Если торический узел/зацепление, имеющее обозначение (m,n), можно раскрасить в три цвета, то это же верно и для (j*m,i*n) и (i*n,j*m) для любых натуральных i и j.
См. также
Напишите отзыв о статье "Трёхцветная раскраска (теория узлов)"
Примечания
- ↑ 1 2 Weisstein, 2010, с. 3045.
- ↑ Gilbert, Porter, 1994, с. 8.
- ↑ Mladen Bestvina (February 2003). "[www.math.utah.edu/~bestvina/HS07/knots-hs07.pdf Knots: a handout for mathcircles]", Math.Utah.edu.
Литература
- Eric W. Weisstein. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. — Second Edition. — Boca Raton, London, New York. Washington D.C.: Chapman & Hall/CRC, 2010. — ISBN 9781420035223.
- N.D. Gilbert, T. Porter. Knots and Surfaces. — Oxford, New York, Tokyo: Oxford University Press, 1994. — ISBN 0-19-853397-7.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/Three-ColorableKnot.html Three-Colorable Knot] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Accessed: May 5, 2013.
| ||||||||||||||||||||||||||
<imagemap>: неверное или отсутствующее изображение |
Для улучшения этой статьи желательно?:
|
Отрывок, характеризующий Трёхцветная раскраска (теория узлов)
– Да вот так то, пошла одна барышня, – сказала старая девушка, – взяла петуха, два прибора – как следует, села. Посидела, только слышит, вдруг едет… с колокольцами, с бубенцами подъехали сани; слышит, идет. Входит совсем в образе человеческом, как есть офицер, пришел и сел с ней за прибор.– А! А!… – закричала Наташа, с ужасом выкатывая глаза.
– Да как же, он так и говорит?
– Да, как человек, всё как должно быть, и стал, и стал уговаривать, а ей бы надо занять его разговором до петухов; а она заробела; – только заробела и закрылась руками. Он ее и подхватил. Хорошо, что тут девушки прибежали…
– Ну, что пугать их! – сказала Пелагея Даниловна.
– Мамаша, ведь вы сами гадали… – сказала дочь.
– А как это в амбаре гадают? – спросила Соня.
– Да вот хоть бы теперь, пойдут к амбару, да и слушают. Что услышите: заколачивает, стучит – дурно, а пересыпает хлеб – это к добру; а то бывает…
– Мама расскажите, что с вами было в амбаре?
Пелагея Даниловна улыбнулась.
– Да что, я уж забыла… – сказала она. – Ведь вы никто не пойдете?
– Нет, я пойду; Пепагея Даниловна, пустите меня, я пойду, – сказала Соня.
– Ну что ж, коли не боишься.
– Луиза Ивановна, можно мне? – спросила Соня.
Играли ли в колечко, в веревочку или рублик, разговаривали ли, как теперь, Николай не отходил от Сони и совсем новыми глазами смотрел на нее. Ему казалось, что он нынче только в первый раз, благодаря этим пробочным усам, вполне узнал ее. Соня действительно этот вечер была весела, оживлена и хороша, какой никогда еще не видал ее Николай.
«Так вот она какая, а я то дурак!» думал он, глядя на ее блестящие глаза и счастливую, восторженную, из под усов делающую ямочки на щеках, улыбку, которой он не видал прежде.
– Я ничего не боюсь, – сказала Соня. – Можно сейчас? – Она встала. Соне рассказали, где амбар, как ей молча стоять и слушать, и подали ей шубку. Она накинула ее себе на голову и взглянула на Николая.
«Что за прелесть эта девочка!» подумал он. «И об чем я думал до сих пор!»
Соня вышла в коридор, чтобы итти в амбар. Николай поспешно пошел на парадное крыльцо, говоря, что ему жарко. Действительно в доме было душно от столпившегося народа.
На дворе был тот же неподвижный холод, тот же месяц, только было еще светлее. Свет был так силен и звезд на снеге было так много, что на небо не хотелось смотреть, и настоящих звезд было незаметно. На небе было черно и скучно, на земле было весело.
«Дурак я, дурак! Чего ждал до сих пор?» подумал Николай и, сбежав на крыльцо, он обошел угол дома по той тропинке, которая вела к заднему крыльцу. Он знал, что здесь пойдет Соня. На половине дороги стояли сложенные сажени дров, на них был снег, от них падала тень; через них и с боку их, переплетаясь, падали тени старых голых лип на снег и дорожку. Дорожка вела к амбару. Рубленная стена амбара и крыша, покрытая снегом, как высеченная из какого то драгоценного камня, блестели в месячном свете. В саду треснуло дерево, и опять всё совершенно затихло. Грудь, казалось, дышала не воздухом, а какой то вечно молодой силой и радостью.
С девичьего крыльца застучали ноги по ступенькам, скрыпнуло звонко на последней, на которую был нанесен снег, и голос старой девушки сказал:
– Прямо, прямо, вот по дорожке, барышня. Только не оглядываться.
– Я не боюсь, – отвечал голос Сони, и по дорожке, по направлению к Николаю, завизжали, засвистели в тоненьких башмачках ножки Сони.
Соня шла закутавшись в шубку. Она была уже в двух шагах, когда увидала его; она увидала его тоже не таким, каким она знала и какого всегда немножко боялась. Он был в женском платье со спутанными волосами и с счастливой и новой для Сони улыбкой. Соня быстро подбежала к нему.
«Совсем другая, и всё та же», думал Николай, глядя на ее лицо, всё освещенное лунным светом. Он продел руки под шубку, прикрывавшую ее голову, обнял, прижал к себе и поцеловал в губы, над которыми были усы и от которых пахло жженой пробкой. Соня в самую середину губ поцеловала его и, выпростав маленькие руки, с обеих сторон взяла его за щеки.
– Соня!… Nicolas!… – только сказали они. Они подбежали к амбару и вернулись назад каждый с своего крыльца.
Когда все поехали назад от Пелагеи Даниловны, Наташа, всегда всё видевшая и замечавшая, устроила так размещение, что Луиза Ивановна и она сели в сани с Диммлером, а Соня села с Николаем и девушками.
Николай, уже не перегоняясь, ровно ехал в обратный путь, и всё вглядываясь в этом странном, лунном свете в Соню, отыскивал при этом всё переменяющем свете, из под бровей и усов свою ту прежнюю и теперешнюю Соню, с которой он решил уже никогда не разлучаться. Он вглядывался, и когда узнавал всё ту же и другую и вспоминал, слышав этот запах пробки, смешанный с чувством поцелуя, он полной грудью вдыхал в себя морозный воздух и, глядя на уходящую землю и блестящее небо, он чувствовал себя опять в волшебном царстве.
