Градус (геометрия)
Градус, минута, секунда — общепринятые единицы измерения плоских углов. Также эти величины используются в картографии для определения координат произвольной точки земной поверхности, в том числе для определения азимута.
Содержание
Градус
Градус (от лат. gradus — деление шкалы, шаг, ступень) обозначается °. Один оборот равен 360°. В прямом угле, таким образом, 90°, в развёрнутом — 180°.
Причина выбора градуса, как единицы измерения вращения и углов, не известна. Одна из теорий предполагает, что это связано с тем, что 360 - приблизительное количество дней в году[1][неавторитетный источник? 2911 дней]. Некоторые древние календари, такие как древнеперсидский, использовали год в 360 дней.
Другая теория гласит, что аккадцы (вавилоняне) поделили окружность, используя угол равностороннего треугольника как базу и поделив результат на 60, следуя своей шестидесятиричной системе счисления[2][3].
Если построить окружность радиусом 57 см, то 1 градус будет примерно соответствовать 1 см длины дуги данной окружности.
Градус в альтернативных единицах измерения:
- <math>1^\circ = \frac{2 \pi}{\displaystyle{360^\circ}} = \frac{\pi}{\displaystyle{180^\circ}}</math> радиан <math>= \frac{1^\circ}{\displaystyle{p^\circ}} \approx \frac{1^\circ}{\displaystyle{57{,}295779513^\circ}}</math>[4] <math>\approx 0,0174532925</math> (радиан в 1°)
- <math>1^\circ = \frac{1}{360}</math> оборота = 0,002(7) оборота = 0,002777777777...
- <math>1^\circ = \frac{400}{360}</math> градов = 1,(1) градов = 1,11111111111... градов
Минуты и секунды
По аналогии с делением часа как интервала времени градус делят на 60 минут (от лат. minutus — маленький, мелкий; обозначается знаком x′), а минуту — на 60 секунд (от лат. secunda divisio — второе деление; обозначается знаком y″. Ранее употреблялась величина в 1/60 секунды — терция (третье деление), с обозначением в три штриха — z″′. Деление градуса на минуты и секунды ввёл Клавдий Птолемей[5]; корни же такого деления восходят к учёным Древнего Вавилона (где использовалась шестидесятеричная система счисления).
Минуты и секунды в других системах измерения:
- <math>1' = \frac{2\pi}{\displaystyle{360^\circ} \cdot 60'} = \frac{1'}{p'} \approx \frac{1'}{3437,747'}</math>[4] <math> \approx 2,90888208 \cdot 10^{-4} ~ rad</math> (1 минута в радианах)
- <math>1 = \frac{2\pi}{\displaystyle{360^\circ} \times 60' \times 60} = \frac{1}{p} \approx \frac{1}{206264,8}</math>[4] <math> \approx 4,848136811 \cdot 10^{-6} ~rad</math> (1 секунда в радианах).
Минуты и секунды в радианной мере из-за своих чрезмерно малых величин представляют ограниченный интерес и практически очень мало используются.
Гораздо больший интерес представляет перевод десятичных (сотых, десятитысячных) долей градуса в минуты и секунды и обратно — см. Радиан#Связь радиана с другими единицами и Географические координаты.
Угловая секунда
Углова́я секу́нда (англ. arcsecond, arc second, as, second of arc; синонимы: дуговая секунда, секунда дуги[6]) — внесистемная астрономическая единица измерения малых углов, тождественная секунде плоского угла[7].
Использование
Угловая секунда (обозначается ″) используется в астрономии при измерении плоских углов в градусных мерах. При измерении углов в часовых мерах (в частности, для определения прямого восхождения) используется единица измерения «секунда» (обозначается s). Соотношение между этими величинами определяется формулой 1s = 15″.[8]
Иногда угловую секунду (и производные от неё дольные единицы) ошибочно называют арксекундой[6][9], что является простой транслитерацией с англ. arcsecond.
Дольные единицы
По аналогии с международной системой единиц (СИ), наряду с угловой секундой применяются и её дольные единицы измерения: миллисекунды (англ. milliarcseconds, mas), микросекунды (англ. microarcseconds, µas) и пикосекунды (англ. picoarcseconds, pas). Они не входят в СИ (СИ рекомендует миллирадианы и микрорадианы), но допускаются к применению[7]. Однако, согласно ГОСТ 8.417-2002, наименование и обозначения единиц плоского угла (градус, минута, секунда) не допускается применять с приставками[10], в связи с чем такие дольные величины должны приводиться либо к единицам СИ (миллирадианам и т. п.), либо к угловым секундам, либо обозначаться исходными единицами (mas, µas и pas соответственно).
| единица | величина | обозначение | аббревиатура | радиан (прибл.) |
|---|---|---|---|---|
| градус | 1/360 окружности | ° | deg | 17,4532925 mrad |
| минута | 1/60 градуса | ′ | arcmin, amin, <math>\hat{'}</math>, MOA | 290,8882087 µrad |
| секунда | 1/60 минуты | ″ | arcsec | 4,8481368 µrad |
| миллисекунда | 1/1000 секунды | mas | 4,8481368 nrad | |
| микросекунда | 1 × 10−6 секунды | μas | 4,8481368 prad |
Дольные единицы могут использоваться для обозначения собственного движения звёзд и галактик, годичного параллакса и углового диаметра звёзд[11].
Для наблюдения астрономических объектов под такими сверхмалыми углами астрономы прибегают к методу интерферометрии, при котором сигналы, принимаемые несколькими разнесёнными радиотелескопами, комбинируются в процессе апертурного синтеза. Так, используя методику интерферометрии со сверхдлинной базой, астрономы получили возможность измерить собственное движение галактики Треугольника.
В видимом свете существенно труднее достичь миллисекундного разрешения. Тем не менее, спутник Hipparcos справился с этой задачей в процессе астрометрических измерений, по результатам которых были составлены наиболее точные (по состоянию на 1997 год) каталоги звёзд Tycho (TYC) и Hipparcos (HIP)[12][13].
Напишите отзыв о статье "Градус (геометрия)"
Примечания
- ↑ [mathworld.wolfram.com/Degree.html Degree], MathWorld
- ↑ James Hopwood Jeans. [books.google.co.uk/books?hl=en&lr=&id=JX49AAAAIAAJ&oi=fnd&pg=PA7 The Growth of Physical Science]. — P. 7.
- ↑ Murnaghan, Francis D. Analytic geometry. — New York: Prentice-Hall, inc., 1946. — P. 2.
- ↑ 1 2 3 Переводные множители — <57,295779513>, <3437,747>, <206264,8> — см. Радиан#Связь радиана с другими единицами.
- ↑ Боголюбов, 1983, с. 393—394.
- ↑ 1 2 [astronet.ru/db/dict/index.html?phrase=arc+second®ime=&letter= Англо-русско-английский астрономический словарь]. Astronet. Проверено 23 декабря 2007. [www.webcitation.org/619Pxb5tN Архивировано из первоисточника 23 августа 2011].
- ↑ 1 2 [www.bipm.org/en/si/si_brochure/chapter4/table6.html Non-SI units accepted for use with the International System of Units] (англ.). SI brochure (8th ed.). Bureau International des Poids et Mesures. — Описание СИ на сайте Международного бюро мер и весов. Проверено 23 декабря 2007. [www.webcitation.org/619PyMeHy Архивировано из первоисточника 23 августа 2011].
- ↑ [astrolab.ru/sprao.html Справочник. Некоторые внесистемные единицы]. ASTROLAB. Проверено 23 декабря 2007. [www.webcitation.org/619Pz8ZYB Архивировано из первоисточника 23 августа 2011].
- ↑ [proz.com/kudoz/272635 Glossary entry for English term "arcsecond"] (англ.). Справочник по услугам профессионального перевода, предоставляемым независимыми переводчиками и бюро перевода. ProZ.com. Проверено 23 декабря 2007. [www.webcitation.org/619PzyOjo Архивировано из первоисточника 23 августа 2011].
- ↑ [www.pribor.info/docs/?start=0&action=obj&objid=82476&relid=3 ГОСТ 8.417-2002. Единицы величин. Введён в действие с 1 сентября 2003 г.] // Информационная система по оборудованию «Прибор.Инфо» : справочник. — 2003.
- ↑ Источник: статья Minute of arc в en-wiki.
- ↑ Гурьянов С. [astrogalaxy.ru/420.html Почему звезды называются именно так?]. проект "Астрогалактика" (29 октября 2005 года). Проверено 26 декабря 2007. [www.webcitation.org/619Q0cASo Архивировано из первоисточника 23 августа 2011].
- ↑ Цветков А. С. Общие сведения о проекте Hipparcos // [astronet.ru/db/msg/1210304/node2.html Руководство по практической работе с каталогом Hipparcos]. — СПб.: АИ СПбГУ.
Литература
- Боголюбов А. Н. Математики. Механики. Биографический справочник. — Киев: Наукова думка, 1983. — 639 с.
- Гельфанд И. М., Львовский С. М., Тоом А. Л. Малые углы // [www.nature.web.ru/db/msg.html?mid=1158396&uri=s1node4.html Тригонометрия]. — М.: МЦНМО, 2002. — 199 с. — ISBN 5-94057-050-X.
См. также
Отрывок, характеризующий Градус (геометрия)
– Как куда? Отсылаю под г'асписки! – вдруг покраснев, вскрикнул Денисов. – И смело скажу, что на моей совести нет ни одного человека. Разве тебе тг'удно отослать тг'идцать ли, тг'иста ли человек под конвоем в гог'од, чем маг'ать, я пг'ямо скажу, честь солдата.– Вот молоденькому графчику в шестнадцать лет говорить эти любезности прилично, – с холодной усмешкой сказал Долохов, – а тебе то уж это оставить пора.
– Что ж, я ничего не говорю, я только говорю, что я непременно поеду с вами, – робко сказал Петя.
– А нам с тобой пора, брат, бросить эти любезности, – продолжал Долохов, как будто он находил особенное удовольствие говорить об этом предмете, раздражавшем Денисова. – Ну этого ты зачем взял к себе? – сказал он, покачивая головой. – Затем, что тебе его жалко? Ведь мы знаем эти твои расписки. Ты пошлешь их сто человек, а придут тридцать. Помрут с голоду или побьют. Так не все ли равно их и не брать?
Эсаул, щуря светлые глаза, одобрительно кивал головой.
– Это все г'авно, тут Рассуждать нечего. Я на свою душу взять не хочу. Ты говог'ишь – помг'ут. Ну, хог'ошо. Только бы не от меня.
Долохов засмеялся.
– Кто же им не велел меня двадцать раз поймать? А ведь поймают – меня и тебя, с твоим рыцарством, все равно на осинку. – Он помолчал. – Однако надо дело делать. Послать моего казака с вьюком! У меня два французских мундира. Что ж, едем со мной? – спросил он у Пети.
– Я? Да, да, непременно, – покраснев почти до слез, вскрикнул Петя, взглядывая на Денисова.
Опять в то время, как Долохов заспорил с Денисовым о том, что надо делать с пленными, Петя почувствовал неловкость и торопливость; но опять не успел понять хорошенько того, о чем они говорили. «Ежели так думают большие, известные, стало быть, так надо, стало быть, это хорошо, – думал он. – А главное, надо, чтобы Денисов не смел думать, что я послушаюсь его, что он может мной командовать. Непременно поеду с Долоховым во французский лагерь. Он может, и я могу».
На все убеждения Денисова не ездить Петя отвечал, что он тоже привык все делать аккуратно, а не наобум Лазаря, и что он об опасности себе никогда не думает.
– Потому что, – согласитесь сами, – если не знать верно, сколько там, от этого зависит жизнь, может быть, сотен, а тут мы одни, и потом мне очень этого хочется, и непременно, непременно поеду, вы уж меня не удержите, – говорил он, – только хуже будет…
Одевшись в французские шинели и кивера, Петя с Долоховым поехали на ту просеку, с которой Денисов смотрел на лагерь, и, выехав из леса в совершенной темноте, спустились в лощину. Съехав вниз, Долохов велел сопровождавшим его казакам дожидаться тут и поехал крупной рысью по дороге к мосту. Петя, замирая от волнения, ехал с ним рядом.
– Если попадемся, я живым не отдамся, у меня пистолет, – прошептал Петя.
– Не говори по русски, – быстрым шепотом сказал Долохов, и в ту же минуту в темноте послышался оклик: «Qui vive?» [Кто идет?] и звон ружья.
Кровь бросилась в лицо Пети, и он схватился за пистолет.
– Lanciers du sixieme, [Уланы шестого полка.] – проговорил Долохов, не укорачивая и не прибавляя хода лошади. Черная фигура часового стояла на мосту.
– Mot d'ordre? [Отзыв?] – Долохов придержал лошадь и поехал шагом.
– Dites donc, le colonel Gerard est ici? [Скажи, здесь ли полковник Жерар?] – сказал он.
– Mot d'ordre! – не отвечая, сказал часовой, загораживая дорогу.
– Quand un officier fait sa ronde, les sentinelles ne demandent pas le mot d'ordre… – крикнул Долохов, вдруг вспыхнув, наезжая лошадью на часового. – Je vous demande si le colonel est ici? [Когда офицер объезжает цепь, часовые не спрашивают отзыва… Я спрашиваю, тут ли полковник?]
И, не дожидаясь ответа от посторонившегося часового, Долохов шагом поехал в гору.
Заметив черную тень человека, переходящего через дорогу, Долохов остановил этого человека и спросил, где командир и офицеры? Человек этот, с мешком на плече, солдат, остановился, близко подошел к лошади Долохова, дотрогиваясь до нее рукою, и просто и дружелюбно рассказал, что командир и офицеры были выше на горе, с правой стороны, на дворе фермы (так он называл господскую усадьбу).
Проехав по дороге, с обеих сторон которой звучал от костров французский говор, Долохов повернул во двор господского дома. Проехав в ворота, он слез с лошади и подошел к большому пылавшему костру, вокруг которого, громко разговаривая, сидело несколько человек. В котелке с краю варилось что то, и солдат в колпаке и синей шинели, стоя на коленях, ярко освещенный огнем, мешал в нем шомполом.
– Oh, c'est un dur a cuire, [С этим чертом не сладишь.] – говорил один из офицеров, сидевших в тени с противоположной стороны костра.
– Il les fera marcher les lapins… [Он их проберет…] – со смехом сказал другой. Оба замолкли, вглядываясь в темноту на звук шагов Долохова и Пети, подходивших к костру с своими лошадьми.
– Bonjour, messieurs! [Здравствуйте, господа!] – громко, отчетливо выговорил Долохов.
Офицеры зашевелились в тени костра, и один, высокий офицер с длинной шеей, обойдя огонь, подошел к Долохову.
– C'est vous, Clement? – сказал он. – D'ou, diable… [Это вы, Клеман? Откуда, черт…] – но он не докончил, узнав свою ошибку, и, слегка нахмурившись, как с незнакомым, поздоровался с Долоховым, спрашивая его, чем он может служить. Долохов рассказал, что он с товарищем догонял свой полк, и спросил, обращаясь ко всем вообще, не знали ли офицеры чего нибудь о шестом полку. Никто ничего не знал; и Пете показалось, что офицеры враждебно и подозрительно стали осматривать его и Долохова. Несколько секунд все молчали.
– Si vous comptez sur la soupe du soir, vous venez trop tard, [Если вы рассчитываете на ужин, то вы опоздали.] – сказал с сдержанным смехом голос из за костра.
Долохов отвечал, что они сыты и что им надо в ночь же ехать дальше.
Он отдал лошадей солдату, мешавшему в котелке, и на корточках присел у костра рядом с офицером с длинной шеей. Офицер этот, не спуская глаз, смотрел на Долохова и переспросил его еще раз: какого он был полка? Долохов не отвечал, как будто не слыхал вопроса, и, закуривая коротенькую французскую трубку, которую он достал из кармана, спрашивал офицеров о том, в какой степени безопасна дорога от казаков впереди их.
– Les brigands sont partout, [Эти разбойники везде.] – отвечал офицер из за костра.
Долохов сказал, что казаки страшны только для таких отсталых, как он с товарищем, но что на большие отряды казаки, вероятно, не смеют нападать, прибавил он вопросительно. Никто ничего не ответил.
«Ну, теперь он уедет», – всякую минуту думал Петя, стоя перед костром и слушая его разговор.
Но Долохов начал опять прекратившийся разговор и прямо стал расспрашивать, сколько у них людей в батальоне, сколько батальонов, сколько пленных. Спрашивая про пленных русских, которые были при их отряде, Долохов сказал:
– La vilaine affaire de trainer ces cadavres apres soi. Vaudrait mieux fusiller cette canaille, [Скверное дело таскать за собой эти трупы. Лучше бы расстрелять эту сволочь.] – и громко засмеялся таким странным смехом, что Пете показалось, французы сейчас узнают обман, и он невольно отступил на шаг от костра. Никто не ответил на слова и смех Долохова, и французский офицер, которого не видно было (он лежал, укутавшись шинелью), приподнялся и прошептал что то товарищу. Долохов встал и кликнул солдата с лошадьми.
«Подадут или нет лошадей?» – думал Петя, невольно приближаясь к Долохову.
Лошадей подали.
– Bonjour, messieurs, [Здесь: прощайте, господа.] – сказал Долохов.
Петя хотел сказать bonsoir [добрый вечер] и не мог договорить слова. Офицеры что то шепотом говорили между собою. Долохов долго садился на лошадь, которая не стояла; потом шагом поехал из ворот. Петя ехал подле него, желая и не смея оглянуться, чтоб увидать, бегут или не бегут за ними французы.
Выехав на дорогу, Долохов поехал не назад в поле, а вдоль по деревне. В одном месте он остановился, прислушиваясь.
– Слышишь? – сказал он.
Петя узнал звуки русских голосов, увидал у костров темные фигуры русских пленных. Спустившись вниз к мосту, Петя с Долоховым проехали часового, который, ни слова не сказав, мрачно ходил по мосту, и выехали в лощину, где дожидались казаки.
– Ну, теперь прощай. Скажи Денисову, что на заре, по первому выстрелу, – сказал Долохов и хотел ехать, но Петя схватился за него рукою.
– Нет! – вскрикнул он, – вы такой герой. Ах, как хорошо! Как отлично! Как я вас люблю.
– Хорошо, хорошо, – сказал Долохов, но Петя не отпускал его, и в темноте Долохов рассмотрел, что Петя нагибался к нему. Он хотел поцеловаться. Долохов поцеловал его, засмеялся и, повернув лошадь, скрылся в темноте.
Х
Вернувшись к караулке, Петя застал Денисова в сенях. Денисов в волнении, беспокойстве и досаде на себя, что отпустил Петю, ожидал его.
