Солитон

Поделись знанием:
(перенаправлено с «Уединенная волна»)
Перейти к: навигация, поиск

Солито́н — структурно устойчивая уединённая волна, распространяющаяся в нелинейной среде.

Солитоны ведут себя подобно частицам (частицеподобная волна): при взаимодействии друг с другом или с некоторыми другими возмущениями они не разрушаются, а продолжают движение, сохраняя свою структуру неизменной. Это свойство может использоваться для передачи данных на большие расстояния без помех.

История изучения солитона началась в августе 1834 года на берегу канала Юнион вблизи Эдинбурга. Джон Скотт Рассел наблюдал на поверхности воды явление, которое он назвал уединённой волной — «solitary wave»[1][2][3].

Впервые понятие солитона было введено для описания нелинейных волн, взаимодействующих как частицы[4].

Солитоны бывают различной природы:

  • на поверхности жидкости[5] (первые солитоны, обнаруженные в природе[6]), иногда считают таковыми волны цунами и бор[7]
  • ионозвуковые и магнитозвуковые солитоны в плазме[8]
  • гравитационные солитоны в слоистой жидкости[9]
  • солитоны в виде коротких световых импульсов в активной среде лазера[10]
  • можно рассматривать в виде солитонов нервные импульсы[11]
  • солитоны в нелинейно-оптических материалах[12][13]
  • солитоны в воздушной среде [14]




Математическая модель

Уравнение Кортевега — де Фриза

Одной из простейших и наиболее известных моделей, допускающих существование солитонов в решении, является уравнение Кортевега — де Фриза:

<math>

u_t - 6 u u_x + u_{xxx} = 0 </math>

Одним из возможных решений данного уравнения является уединённый солитон:

<math>u(x,t) = - \frac{2\varkappa^2}{ \mathrm{ch}^2\,\varkappa(x-4\varkappa^2 t-\varphi) }</math>

где <math>2\varkappa^2</math> — амплитуда солитона, <math>\varphi</math> — фаза. Эффективная ширина основания солитона равна <math>\varkappa^{-1}</math>. Такой солитон движется со скоростью <math>v = 4\varkappa^2</math>. Видно, что солитоны с большой амплитудой оказываются более узкими и движутся быстрее[15].

В более общем случае можно показать, что существует класс многосолитонных решений, таких что асимптотически при <math>t\to \pm\infty</math> решение распадается на несколько удалённых одиночных солитонов, движущихся с попарно различными скоростями. Общее N-солитонное решение можно записать в виде

<math>u(x,t) = -2 \frac{d^2}{dx^2} \ln \det A(x,t)</math>

где матрица <math>A(x,t)</math> даётся выражением

<math>A_{nm} = \delta_{nm} + \frac{\beta_n}{\varkappa_n + \varkappa_m}\mathrm{e}^{8\varkappa_n^3 t -(\varkappa_n + \varkappa_m)x}</math>

Здесь <math>\beta_n, n=1,\dots,N</math> и <math>\varkappa_n>0, n=1,\dots,N</math> — произвольные вещественные постоянные.

Замечательным свойством многосолитонных решений является безотражательность: при исследовании соответствующего одномерного уравнения Шрёдингера

<math>-\partial^2_x\psi(x) + u(x)\psi(x) = E\psi(x)</math>

с потенциалом <math>u(x)</math>, убывающим на бесконечности быстрее чем <math>|x|^{-1-\varepsilon}</math>, коэффициент отражения равен 0 тогда и только тогда, когда потенциал есть некоторое многосолитонное решение уравнения КдФ в некоторый момент времени <math>t</math>.

Интерпретация солитонов как некоторых упруго взаимодействующих квазичастиц основана на следующем свойстве решений уравнения КдФ. Пусть при <math>t\to -\infty</math> решение имеет асимптотический вид <math>N</math> солитонов, тогда при <math>t\to +\infty</math> оно также имеет вид <math>N</math> солитонов с теми же самыми скоростями, но другими фазами, причём многочастичные эффекты взаимодействия полностью отсутствуют. Это означает, что полный сдвиг фазы <math>k</math>-го солитона равен

<math>\Delta\varphi_k = \sum_{\stackrel{n=1}{n\ne k}}^{N} \Delta\varphi_{nk}</math>

Пусть <math>n</math>-ый солитон движется быстрее, чем <math>m</math>-ый, тогда

<math>\Delta\varphi^{+}_{n} = \Delta\varphi_{kn} = \frac{1}{\varkappa_n}\ln\left| \frac{\varkappa_n+\varkappa_m}{\varkappa_n-\varkappa_m} \right|</math>
<math>\Delta\varphi^{-}_{k} = \Delta\varphi_{nk} = - \frac{1}{\varkappa_m}\ln\left| \frac{\varkappa_n+\varkappa_m}{\varkappa_n-\varkappa_m} \right|</math>

то есть фаза более быстрого солитона при парном столкновении увеличивается на величину <math>\Delta\varphi^{+}_{n}</math>, а фаза более медленного — уменьшается на <math>\Delta\varphi^{-}_{k}</math>, причём полный сдвиг фазы солитона после взаимодействия равен сумме сдвигов фаз от попарного взаимодействия с каждым другим солитоном.

Нелинейное уравнение Шрёдингера

Для нелинейного уравнения Шрёдингера:

<math>i u_t + u_{xx} + \nu \vert u \vert^2 u = 0</math>

при значении параметра <math>\nu > 0 </math> допустимы уединённые волны в виде:

<math>u \left( x,t \right) = \left( \sqrt{\frac{2 \alpha}{\nu} } \right) \mathrm{ch}^{-1} \left( \sqrt{\alpha}(x - Ut) \right) e^{i(r x-st)},</math>

где <math>r, s,\alpha,U</math> — некоторые постоянные, связанные соотношениями:

<math>U=2r</math>
<math>s=r^2-\alpha</math>

См. также

Напишите отзыв о статье "Солитон"

Примечания

  1. J.S.Russell «Report on Waves»: (Report of the fourteenth meeting of the British Association for the Advancement of Science, York, September 1844 (London 1845), pp 311—390, Plates XLVII-LVII)
  2. J.S.Russell (1838), Report of the committee on waves, Report of the 7th Meeting of British Association for the Advancement of Science, John Murray, London, pp.417-496.
  3. Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987, с.12.
  4. N.J.Zabusky and M.D.Kruskal (1965), Interaction of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial states, Phys.Rev.Lett., 15 pp. 240—243.[prola.aps.org/abstract/PRL/v15/i6/p240_1?qid=7b94fd8433d7dcd6&qseq=1&show=25 Оригинал статьи]
  5. Дж. Л. Лэм. [books.google.ru/books?id=mTSVPgAACAAJ Введение в теорию солитонов]. — М.: Мир, 1983. — 294 с.
  6. А. Т. Филиппов. Многоликий солитон. — С. 40—42.
  7. А. Т. Филиппов. Многоликий солитон. — С. 227—23.
  8. [www.femto.com.ua/articles/part_2/3739.html Солитон] — статья из Физической энциклопедии
  9. Vladimir Belinski, Enric Verdaguer. [books.google.ru/books?id=bUfCqIYrc8IC Gravitational solitons]. — Cambridge University Press, 2001. — 258 с. — (Cambridge monographs on mathematical physics). — ISBN 0521805864.
  10. Н. Н. Розанов [elementy.ru/lib/430478 Мир лазерных солитонов] // Природа. — 2007. — № 6.
  11. А. Т. Филиппов. Многоликий солитон. — С. 241—246.
  12. А. И. Маймистов [www.quantum-electron.ru/php/paper_rus.phtml?journal_id=qe&paper_id=14396 Солитоны в нелинейной оптике] // Квантовая электроника. — 2010. — Т. 40, № 9. — С. 756—781.
  13. Andrei I Maimistov [iopscience.iop.org/1063-7818/40/9/R02 Solitons in nonlinear optics] (англ.) // Quantum Electronics. — 2010. — Vol. 40. — P. 756. — DOI:10.1070/QE2010v040n09ABEH014396.
  14. [tvzvezda.ru/news/vstrane_i_mire/content/201504051155-h215.html В стране и мире - Телеканал «Звезда»]
  15. Сазонов С. В. Оптические солитоны в средах из двухуровневых атомов // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2013. Т. 5. № 87. С. 1-22.

Литература

  • Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. — М.: Мир, 1987. — 480 с.
  • Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. — М.: Мир, 1988. — 696 с.
  • Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П. Теория солитонов: Метод обратной задачи. — М.: Наука, 1980. — 320 с.
  • Инфельд Э., Роуландс Дж. Нелинейные волны, солитоны и хаос. — М.: Физматлит, 2006. — 480 с.
  • Лэм Дж. Л. Введение в теорию солитонов. — М.: Мир, 1983. — 294 с.
  • Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. — М.: Мир, 1989. — 328 с.
  • Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные методы решения задач газовой динамики. — М.: URSS, 2004. — 424 с.
  • Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир, 1977. — 624 с.
  • Филиппов А. Т. Многоликий солитон // Библиотечка «Квант». — Изд. 2, перераб. и доп.. — М.: Наука, 1990. — 288 с.
  • Yaroslav V. Kartashov, Boris A. Malomed, Lluis Torner [link.aps.org/doi/10.1103/RevModPhys.83.247 Solitons in nonlinear lattices] (англ.) // Reviews of Modern Physics. — 2011. — Vol. 83. — P. 247–306.
  • [physics.aps.org/articles/v6/15 Focus: Landmarks—Computer Simulations Led to Discovery of Solitons] (англ.) // Physics. — 2013. — Vol. 6. — P. 15. — DOI:10.1103/Physics.6.15.

Ссылки

  • [ir.on.ufanet.ru/soliton/gallery.htm Примеры типов солитонов]
  • [www.astronet.ru/db/msg/1188217 А может, все мы состоим из солитонов?]
  • [www.krugosvet.ru/enc/nauka_i_tehnika/fizika/SOLITON.html СОЛИТОН. Энциклопедия «Кругосвет»]

Отрывок, характеризующий Солитон

– Французы оставили левый берег?
– Как доносили лазутчики, в ночь на плотах переправились последние.
– Достаточно ли фуража в Кремсе?
– Фураж не был доставлен в том количестве…
Император перебил его.
– В котором часу убит генерал Шмит?…
– В семь часов, кажется.
– В 7 часов. Очень печально! Очень печально!
Император сказал, что он благодарит, и поклонился. Князь Андрей вышел и тотчас же со всех сторон был окружен придворными. Со всех сторон глядели на него ласковые глаза и слышались ласковые слова. Вчерашний флигель адъютант делал ему упреки, зачем он не остановился во дворце, и предлагал ему свой дом. Военный министр подошел, поздравляя его с орденом Марии Терезии З й степени, которым жаловал его император. Камергер императрицы приглашал его к ее величеству. Эрцгерцогиня тоже желала его видеть. Он не знал, кому отвечать, и несколько секунд собирался с мыслями. Русский посланник взял его за плечо, отвел к окну и стал говорить с ним.
Вопреки словам Билибина, известие, привезенное им, было принято радостно. Назначено было благодарственное молебствие. Кутузов был награжден Марией Терезией большого креста, и вся армия получила награды. Болконский получал приглашения со всех сторон и всё утро должен был делать визиты главным сановникам Австрии. Окончив свои визиты в пятом часу вечера, мысленно сочиняя письмо отцу о сражении и о своей поездке в Брюнн, князь Андрей возвращался домой к Билибину. У крыльца дома, занимаемого Билибиным, стояла до половины уложенная вещами бричка, и Франц, слуга Билибина, с трудом таща чемодан, вышел из двери.
Прежде чем ехать к Билибину, князь Андрей поехал в книжную лавку запастись на поход книгами и засиделся в лавке.
– Что такое? – спросил Болконский.
– Ach, Erlaucht? – сказал Франц, с трудом взваливая чемодан в бричку. – Wir ziehen noch weiter. Der Bosewicht ist schon wieder hinter uns her! [Ах, ваше сиятельство! Мы отправляемся еще далее. Злодей уж опять за нами по пятам.]
– Что такое? Что? – спрашивал князь Андрей.
Билибин вышел навстречу Болконскому. На всегда спокойном лице Билибина было волнение.
– Non, non, avouez que c'est charmant, – говорил он, – cette histoire du pont de Thabor (мост в Вене). Ils l'ont passe sans coup ferir. [Нет, нет, признайтесь, что это прелесть, эта история с Таборским мостом. Они перешли его без сопротивления.]
Князь Андрей ничего не понимал.
– Да откуда же вы, что вы не знаете того, что уже знают все кучера в городе?
– Я от эрцгерцогини. Там я ничего не слыхал.
– И не видали, что везде укладываются?
– Не видал… Да в чем дело? – нетерпеливо спросил князь Андрей.
– В чем дело? Дело в том, что французы перешли мост, который защищает Ауэсперг, и мост не взорвали, так что Мюрат бежит теперь по дороге к Брюнну, и нынче завтра они будут здесь.
– Как здесь? Да как же не взорвали мост, когда он минирован?
– А это я у вас спрашиваю. Этого никто, и сам Бонапарте, не знает.
Болконский пожал плечами.
– Но ежели мост перейден, значит, и армия погибла: она будет отрезана, – сказал он.
– В этом то и штука, – отвечал Билибин. – Слушайте. Вступают французы в Вену, как я вам говорил. Всё очень хорошо. На другой день, то есть вчера, господа маршалы: Мюрат Ланн и Бельяр, садятся верхом и отправляются на мост. (Заметьте, все трое гасконцы.) Господа, – говорит один, – вы знаете, что Таборский мост минирован и контраминирован, и что перед ним грозный tete de pont и пятнадцать тысяч войска, которому велено взорвать мост и нас не пускать. Но нашему государю императору Наполеону будет приятно, ежели мы возьмем этот мост. Проедемте втроем и возьмем этот мост. – Поедемте, говорят другие; и они отправляются и берут мост, переходят его и теперь со всею армией по сю сторону Дуная направляются на нас, на вас и на ваши сообщения.
– Полноте шутить, – грустно и серьезно сказал князь Андрей.
Известие это было горестно и вместе с тем приятно князю Андрею.
Как только он узнал, что русская армия находится в таком безнадежном положении, ему пришло в голову, что ему то именно предназначено вывести русскую армию из этого положения, что вот он, тот Тулон, который выведет его из рядов неизвестных офицеров и откроет ему первый путь к славе! Слушая Билибина, он соображал уже, как, приехав к армии, он на военном совете подаст мнение, которое одно спасет армию, и как ему одному будет поручено исполнение этого плана.
– Полноте шутить, – сказал он.
– Не шучу, – продолжал Билибин, – ничего нет справедливее и печальнее. Господа эти приезжают на мост одни и поднимают белые платки; уверяют, что перемирие, и что они, маршалы, едут для переговоров с князем Ауэрспергом. Дежурный офицер пускает их в tete de pont. [мостовое укрепление.] Они рассказывают ему тысячу гасконских глупостей: говорят, что война кончена, что император Франц назначил свидание Бонапарту, что они желают видеть князя Ауэрсперга, и тысячу гасконад и проч. Офицер посылает за Ауэрспергом; господа эти обнимают офицеров, шутят, садятся на пушки, а между тем французский баталион незамеченный входит на мост, сбрасывает мешки с горючими веществами в воду и подходит к tete de pont. Наконец, является сам генерал лейтенант, наш милый князь Ауэрсперг фон Маутерн. «Милый неприятель! Цвет австрийского воинства, герой турецких войн! Вражда кончена, мы можем подать друг другу руку… император Наполеон сгорает желанием узнать князя Ауэрсперга». Одним словом, эти господа, не даром гасконцы, так забрасывают Ауэрсперга прекрасными словами, он так прельщен своею столь быстро установившеюся интимностью с французскими маршалами, так ослеплен видом мантии и страусовых перьев Мюрата, qu'il n'y voit que du feu, et oubl celui qu'il devait faire faire sur l'ennemi. [Что он видит только их огонь и забывает о своем, о том, который он обязан был открыть против неприятеля.] (Несмотря на живость своей речи, Билибин не забыл приостановиться после этого mot, чтобы дать время оценить его.) Французский баталион вбегает в tete de pont, заколачивают пушки, и мост взят. Нет, но что лучше всего, – продолжал он, успокоиваясь в своем волнении прелестью собственного рассказа, – это то, что сержант, приставленный к той пушке, по сигналу которой должно было зажигать мины и взрывать мост, сержант этот, увидав, что французские войска бегут на мост, хотел уже стрелять, но Ланн отвел его руку. Сержант, который, видно, был умнее своего генерала, подходит к Ауэрспергу и говорит: «Князь, вас обманывают, вот французы!» Мюрат видит, что дело проиграно, ежели дать говорить сержанту. Он с удивлением (настоящий гасконец) обращается к Ауэрспергу: «Я не узнаю столь хваленую в мире австрийскую дисциплину, – говорит он, – и вы позволяете так говорить с вами низшему чину!» C'est genial. Le prince d'Auersperg se pique d'honneur et fait mettre le sergent aux arrets. Non, mais avouez que c'est charmant toute cette histoire du pont de Thabor. Ce n'est ni betise, ni lachete… [Это гениально. Князь Ауэрсперг оскорбляется и приказывает арестовать сержанта. Нет, признайтесь, что это прелесть, вся эта история с мостом. Это не то что глупость, не то что подлость…]
– С'est trahison peut etre, [Быть может, измена,] – сказал князь Андрей, живо воображая себе серые шинели, раны, пороховой дым, звуки пальбы и славу, которая ожидает его.
– Non plus. Cela met la cour dans de trop mauvais draps, – продолжал Билибин. – Ce n'est ni trahison, ni lachete, ni betise; c'est comme a Ulm… – Он как будто задумался, отыскивая выражение: – c'est… c'est du Mack. Nous sommes mackes , [Также нет. Это ставит двор в самое нелепое положение; это ни измена, ни подлость, ни глупость; это как при Ульме, это… это Маковщина . Мы обмаковались. ] – заключил он, чувствуя, что он сказал un mot, и свежее mot, такое mot, которое будет повторяться.
Собранные до тех пор складки на лбу быстро распустились в знак удовольствия, и он, слегка улыбаясь, стал рассматривать свои ногти.