Ультрафильтр

Ультрафильтр на решётке <math>F</math> — это максимальный собственный фильтр. Понятие ультрафильтра появилось в общей топологии, где оно используется для обобщения понятия сходимости на пространства с несчётной базой.

Определение

Собственный фильтр <math>F</math> на решётке <math>L</math> является ультрафильтром, если он не содержится ни в одном собственном (т.е. отличном от <math>F</math>) фильтре.

Набор <math>F</math> подмножеств множества <math>X</math> называется ультрафильтром на <math>X</math>, если

• <math>\varnothing\notin F</math>
• для любых двух элементов <math>F</math>, их пересечение также лежит в <math>F</math>
• для любого элемента <math>F</math>, все его надмножества лежат в <math>F</math>
• для любого подмножества <math>Y \subseteq X</math> либо <math>Y \in F</math>, либо <math>X \backslash Y \in F</math>

Иначе говоря, если рассмотреть функцию на множествах <math>S\subset X</math>, заданную как <math>\omega_F(S)=1</math>, если <math>S\in F</math>, и <math>\omega_F(S)=0</math> в противном случае, то <math>\omega_F</math> является конечно-аддитивной вероятностной мерой на <math>X</math>.

Ультрафильтры в булевых алгебрах

Если решётка <math>L</math> является булевой алгеброй, то возможна следующая характеризация ультрафильтров: фильтр <math>F</math> является ультрафильтром тогда и только тогда, когда для любого элемента <math>x \in L</math> либо <math>x \in F</math>, либо <math>-x \in F</math>

Эта характеризация делает ультрафильтры похожими на полные теории.

Примеры

• любой главный фильтр является ультрафильтром
• подмножество алгебры Линденбаума — Тарского полной теории <math>T</math>, состоящее из теорем <math>T</math>

Свойства

• ультрафильтр на конечном множестве всегда является главным.
• любой ультрафильтр на бесконечном множестве содержит конечный фильтр.
• если <math>F</math> — главный ультрафильтр на множестве <math>X</math>, то его главный элемент является пересечением всех элементов ультрафильтра.
• если <math>F</math> — неглавный ультрафильтр на множестве <math>X</math>, то пересечение всех его элементов пусто.
• Каждый фильтр содержится в ультрафильтре.
  • Это утверждение не может быть доказано без использования аксиомы выбора.
  • Также это утверждение эквивалентно теореме о булевых простых идеалах.
  • Важным следствием этой теоремы является существование неглавных ультрафильтров на бесконечных множествах.
• Компактификация Стоуна — Чеха дискретного пространства <math>X</math> — это множество ультрафильтров на решётке подмножеств <math>X</math> наделённое топологией Стоуна. В качестве базы открытых множеств топологии Стоуна на множестве ультрафильтров <math>G</math> можно взять множества <math>D_a=\{U\in G|a\in U\}</math> для всевозможных <math>a\in P(X).</math>

Приложения

• Ультрафильтры используются в ряде конструкций теории моделей, а именно для формулировки понятия ультрапроизведения.
• Ультрафильтры также фигурируют в формулировке теоремы Стоуна о представлении булевых алгебр и в явном построении компактификации Стоуна — Чеха.
• Ультрапредел для метрических пространств — обобщение сходимости по Громову — Хаусдорфу

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

Отрывок, характеризующий Ультрафильтр

– Нельзя же: иногда с мужчинами мужской разговор должен быть, – сказал он.
Пьер был принят в новенькой гостиной, в которой нигде сесть нельзя было, не нарушив симметрии, чистоты и порядка, и потому весьма понятно было и не странно, что Берг великодушно предлагал разрушить симметрию кресла, или дивана для дорогого гостя, и видимо находясь сам в этом отношении в болезненной нерешительности, предложил решение этого вопроса выбору гостя. Пьер расстроил симметрию, подвинув себе стул, и тотчас же Берг и Вера начали вечер, перебивая один другого и занимая гостя.
Вера, решив в своем уме, что Пьера надо занимать разговором о французском посольстве, тотчас же начала этот разговор. Берг, решив, что надобен и мужской разговор, перебил речь жены, затрогивая вопрос о войне с Австриею и невольно с общего разговора соскочил на личные соображения о тех предложениях, которые ему были деланы для участия в австрийском походе, и о тех причинах, почему он не принял их. Несмотря на то, что разговор был очень нескладный, и что Вера сердилась за вмешательство мужского элемента, оба супруга с удовольствием чувствовали, что, несмотря на то, что был только один гость, вечер был начат очень хорошо, и что вечер был, как две капли воды похож на всякий другой вечер с разговорами, чаем и зажженными свечами.
Вскоре приехал Борис, старый товарищ Берга. Он с некоторым оттенком превосходства и покровительства обращался с Бергом и Верой. За Борисом приехала дама с полковником, потом сам генерал, потом Ростовы, и вечер уже совершенно, несомненно стал похож на все вечера. Берг с Верой не могли удерживать радостной улыбки при виде этого движения по гостиной, при звуке этого бессвязного говора, шуршанья платьев и поклонов. Всё было, как и у всех, особенно похож был генерал, похваливший квартиру, потрепавший по плечу Берга, и с отеческим самоуправством распорядившийся постановкой бостонного стола. Генерал подсел к графу Илье Андреичу, как к самому знатному из гостей после себя. Старички с старичками, молодые с молодыми, хозяйка у чайного стола, на котором были точно такие же печенья в серебряной корзинке, какие были у Паниных на вечере, всё было совершенно так же, как у других.


Пьер, как один из почетнейших гостей, должен был сесть в бостон с Ильей Андреичем, генералом и полковником. Пьеру за бостонным столом пришлось сидеть против Наташи и странная перемена, происшедшая в ней со дня бала, поразила его. Наташа была молчалива, и не только не была так хороша, как она была на бале, но она была бы дурна, ежели бы она не имела такого кроткого и равнодушного ко всему вида.
«Что с ней?» подумал Пьер, взглянув на нее. Она сидела подле сестры у чайного стола и неохотно, не глядя на него, отвечала что то подсевшему к ней Борису. Отходив целую масть и забрав к удовольствию своего партнера пять взяток, Пьер, слышавший говор приветствий и звук чьих то шагов, вошедших в комнату во время сбора взяток, опять взглянул на нее.
«Что с ней сделалось?» еще удивленнее сказал он сам себе.
Князь Андрей с бережливо нежным выражением стоял перед нею и говорил ей что то. Она, подняв голову, разрумянившись и видимо стараясь удержать порывистое дыхание, смотрела на него. И яркий свет какого то внутреннего, прежде потушенного огня, опять горел в ней. Она вся преобразилась. Из дурной опять сделалась такою же, какою она была на бале.