Умножение

Умноже́ние — одна из основных бинарных математических операций (арифметических действий) двух аргументов (множимого и множителя), результатом которой является новое число (произведение). Например для натуральных чисел: <math>c=a \cdot b = \underbrace{ a+a+\cdots+a }_{b}= a_1 + a_2 + \ldots + a_b = {\displaystyle\sum_{i=1}^b a_i}</math>

В общем виде можно записать: <math>\Pi(a, b)=c</math>. То есть каждой паре элементов <math>(a,b)</math> ставится в соответствие элемент <math>c=a \cdot b</math>, называемый произведением <math>a</math> и <math>b</math>.

На письме обычно обозначается с помощью одного из «знаков умножения» — «<math>\cdot , \times , *</math>», например: <math>a \cdot b=c.</math> Умножение может быть определено также для рациональных, вещественных, комплексных чисел и других математических, физических и абстрактных величин.

У умножения есть несколько важных свойств:

Коммутативность: <math>a\cdot b=b\cdot a;</math>

Ассоциативность: <math>(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c);</math>

Дистрибутивность: <math>x\cdot (a+b)=(x\cdot a)+(x\cdot b),\quad\forall a, b \in\ A;</math>

Умножение на нуль (нулевой элемент) даёт число равное нулю: <math>x\cdot 0=0;</math>

Умножение на единицу (нейтральный элемент) даёт число равное исходному: <math>x\cdot 1=x.</math>

На рисунке показан пример подсчёта яблок посредством операции умножения, 3 группы по 5 яблок, в результате даёт 15 яблок: <math>5 \cdot 3= 15.</math>

На множестве вещественных чисел область значений функции умножения графически имеет вид поверхности проходящей через начало координат и изогнутой с двух сторон в виде параболы.

Формы записи и терминология

Умножение записывается с использованием «знака умножения»: «<math>\cdot , \times , *</math>» между аргументами, такая форма записи называется инфиксной нотацией. В данном контексте знак умножения является  бинарным оператором. Знак умножения не имеет специального названия, как например знак сложения, который называется «плюс».

Самый старый из используемых символов — диагональный крестик (×). Впервые его использовал английский математик Уильям Отред в своём труде «Clavis Mathematicae» 1631 г.

Немецкий математик Лейбниц предпочитал знак в виде приподнятой точки (∙) Этот символ он использовал в письме 1698 г.

Йоханн Ран ввёл звёздочку (∗) в качестве знака умножения, она появилась в его книге «Teutsche Algebra» 1659 г.

В Российских учебниках математики в основном используется знак в виде приподнятой точки (∙). Звёздочка (∗) используется в компьютерной нотации. Результат записывается с использованием знака равенства «<math>=</math>», например:

<math>a \cdot b = c </math> ;

<math>6 \cdot 3 = 18 </math> («шесть умножить на три равно восемнадцать» или «шестью три равно восемнадцать»).

Часто в математических выражениях знак умножения опускается. Например вместо <math>y = 6 \cdot x + 3 \cdot z </math> пишется <math>y = 6x + 3z </math>. Следует внимательнее разбирать выражение, что бы не возникло ошибочной идентификации символа.

Свойства

Операция умножения на числовых множествах <math>\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> имеет следующие основные свойства:

• Умножение коммутативно — от перемены мест сомножителей произведение не меняется, также известно, как переместительный закон умножения:

Коммутативность: <math>a \cdot b=b \cdot a;</math>

• Умножение ассоциативно — при последовательном выполнении умножения трёх или более чисел последовательность выполнения операций не имеет значения, также известно, как сочетательный закон умножения:

Ассоциативность: <math>(a \cdot b) \cdot c=a \cdot (b \cdot c);</math>

• Умножение дистрибутивно, это — свойство согласованности двух бинарных операций, определённых на одном и том же множестве, также известно, как распределительный закон .

Дистрибутивность: <math>x\cdot (a+b)=(x \cdot a)+(x \cdot b),\quad\forall a, b \in\ A;</math>

• Относительно умножения в множестве <math>A</math> существует единственный нейтральный элемент — <math>1</math> (число "один"), умножение любого числа на <math>1</math> (нейтральный элемент) даёт число равное исходному:

Нейтральный элемент: <math>x \cdot 1=1 \cdot x=x, \quad\exists !1\in A;</math>

• Умножение на <math>1</math> идемпотентно — повторное применение операции к объекту даёт тот же результат, что и одинарное:

Идемпотентность: <math>x = x \cdot 1 = (x \cdot 1) \cdot 1 = ((x \cdot 1) \cdot 1) \cdot ... \cdot 1,\quad\forall x\in A, \quad\exists !1 \in A;</math>

• Умножение на <math>0</math> (нулевой элемент) даёт <math>0</math> (нуль):

нулевой элемент: <math>x \cdot 0=0 \cdot x=0, \quad\exists !0\in A.</math>

Операция умножения чисел определённых на множествах <math>\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}</math> даёт число (произведение) принадлежащее этому же множеству, следовательно операция умножения относится к замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из данного множества чисел), то есть множества чисел <math>\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}</math> образуют кольца относительно операции умножения.

На языке общей алгебры вышеперечисленные свойства сложения говорят о том, что <math>\mathbb{Z}_{-0}, \mathbb{Q}_{-0}, \mathbb{R}_{-0}</math> являются абелевыми группами относительно операции умножения.

В математических выражениях операция умножения имеет более высокий приоритет по отношению к операциям сложения и вычитания, то есть она выполняется перед ними.

Выполнение умножения

Операцию умножения можно представить, как некий "черный ящик" с множимым и множителем на входе и одним выходом - произведением:

При практическом решении задачи умножения двух чисел необходимо свести её к последовательности более простых операций: "простое умножение", сложение, сравнение и др. Для этого разработаны различные методы умножения, например для чисел, дробей, векторов и др. На множестве натуральных чисел в настоящее время используется алгоритм поразрядного умножения. При этом следует рассматривать умножение как процедуру (в отличие от операции).

Примерный алгоритм процедуры поразрядного умножения двух чисел

Как видим, процедура достаточно сложная, состоит из относительно большого числа шагов и при умножении больших чисел может занять продолжительное время. "Простое умножение" — в данном контексте обозначает операцию умножения одноразрядных чисел, которая может быть легко сведена к сложению. Является гипероператором сложения:

<math>a \cdot b = \operatorname{hyper2} (a, b) = \operatorname{hyper}(a, 2, b) = a ^ {(2)} b.</math>

<math> a {^{(2)}} b = a \cdot b = \underbrace{a + a + \dots + a}_{b}.</math>

где: <math>a + a + \dots + a</math> — последовательное сложение <math>b</math> элементов.

Чтобы упростить и ускорить процесс умножения используют табличный метод "простого умножения", для этого заранее вычисляют все комбинации произведений чисел от 0 до 9 и берут готовый результат из этой таблицы:

таблица для умножения в десятичной системе счисления

*	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	0	3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	0	4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	0	6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	0	7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	0	8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	0	9	18	27	36	45	54	63	72	81

Данная процедура применима к умножению натуральных и целых (с учётом знака) чисел. Для других чисел используются более сложные алгоритмы.

Умножение чисел

Натуральные числа

Воспользуемся определением натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math> как классов эквивалентности конечных множеств. Обозначим классы эквивалентности конечных множеств <math>C, A, B</math> порождённых биекциями, с помощью скобок: <math>[C], [A], [B]</math>. Тогда арифметическая операция «умножение» определяется следующим образом:

<math>[C]=[A] \cdot [B] = [A \times B];</math>

где: <math>A \times B=\{(a,b) \mid a \in A , b \in B \}</math> прямое произведение множеств — множество  <math>C</math>, элементами которого являются упорядоченные пары  <math>(a,b)</math> для всевозможных  <math>a \in A , b \in B</math>. Данная операция на классах введена корректно, то есть не зависит от выбора элементов классов, и совпадает с индуктивным определением.

Взаимно однозначное отображение конечного множества <math> A </math> на отрезок <math> N_a </math> можно понимать как нумерацию элементов множества <math> A: \quad A \sim N_a </math> . Этот процесс нумерации называют «СЧЕТОМ». Таким образом, «счет» — это установление взаимно однозначного соответствия между элементами множества и отрезком натурального ряда чисел.

Для умножения натуральных чисел в позиционной системе обозначения чисел применяется поразрядный алгоритм умножения. Если даны два натуральных числа <math>a</math> и <math>b</math> такие, что:

<math>a=a_{n-1} a_{n-2}\dots a_0, \quad b=b_{n-1} b_{n-2}\dots b_0, \quad \forall a_{k},b_{k} \in \{P \}, \quad \forall a_{n-1}, b_{n-1} \ne 0, \quad\exists 0\in \N;</math>

где <math> a_{0 \dots n-1}=a_k P^k, \quad b_{0 \dots n-1}=b_k P^k </math>; <math>n</math> — количество цифр в числе <math>n \in \{1, 2, \dots ,n \}</math>; <math>k</math> — порядковый номером разряда (позиции), <math>k \in \{0, 1, \dots ,n-1 \}</math>; <math>P</math> — основание системы счисления; <math> \{P \}</math> множество числовых знаков (цифр), конкретной системы счисления: <math>\{P_2 \}= \{0,1 \}</math>, <math>\{P_{10} \}= \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \}</math>, <math>\{P_{16} \}= \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,F \}</math>; тогда:

<math>c=a \sdot b; \quad c_{n-1} c_{n-2}\dots c_0=a_{n-1} a_{n-2}\dots a_0 \sdot b_{n-1} b_{n-2}\dots b_0;</math>

умножая поразрядно, получаем <math>n</math> промежуточных результатов:

• <math>t_{n-1,~0} = mod(a_{n-1} \cdot b_0 + r_{n-1},P), \quad r_{n}=div(a_{n-1} \cdot b_0 + r_{n-1},P)~,~~ t_0 \sdot~ P^k;</math>
• <math>t_{n-1,~1} = mod(a_{n-1} \cdot b_1 + r_{n-1},P), \quad r_{n}=div(a_{n-1} \cdot b_1 + r_{n-1},P)~,~~ t_1 \sdot~ P^k;</math>
• <math>... \qquad \qquad... \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad... \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad...</math>
• <math>t_{n-1,~k} = mod(a_{n-1} \cdot b_{k} + r_{n-1},P), \quad r_{n}=div(a_{n-1} \cdot b_{k} + r_{n-1},P)~,~~ t_{k} \sdot~ P^k;</math>

где: r — значение переноса, mod() — функция нахождения остатка от деления, div() — функция нахождения неполного частного.

Затем полученные <math>n</math> промежуточных результатов складываем: <math>c=t_0+t_1+...+t_{k}.</math>

Таким образом операция умножения сводится к процедуре последовательного простого умножения одноразрядных чисел <math>a_{k}\sdot b_{k}</math>, с формированием переноса при необходимости, которое производится либо табличным методом, либо последовательным сложением. И далее к сложению.

Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими многочленами. При этом нужно пользоваться таблицей умножения, соответствующей данному основанию <math>P</math> системы счисления.

Пример умножения натуральных чисел в двоичной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления, для удобства числа записываются друг под другом соответственно разрядам, перенос пишется сверху:

<math>\begin{array}{ccccccccccc}

& & & & & & & & & \\ & & & &1&1&0&1&1&0 \\ & & &*& & &1&1&0&1 \\ \hline & & & &1&1&0&1&1&0 \\ & & &0&0&0&0&0&0&{\color{Gray}0} \\ & &1&1&0&1&1&0&{\color{Gray}0} &{\color{Gray}0} \\ +&1&1&0&1&1&0&{\color{Gray}0} &{\color{Gray}0} &{\color{Gray}0} \\ \hline 1&0&1&0&1&1&1&1&1&0 \end{array}; \quad \quad \begin{array}{cccccccccc} & & & &_2&_2&_3&_3& \\ & & & &_1&_2&_2&_2& \\ & & & &8&4&5&6&7 \\ & & &*& & &5&4&1 \\ \hline & & &0&8&4&5&6&7 \\ & &3&3&8&2&6&8&{\color{Gray}0} \\ +&4&2&2&8&3&5&{\color{Gray}0}&{\color{Gray}0} \\ \hline &4&5&7&5&0&7&4&7 \end{array}; \quad \quad

\begin{array}{ccccccccc} &&&&_8&_8&_2 \\ &&&&_D&_D&_3 \\ &&&&6&D&E&4 \\ &&&{*}&&A&1&F \\ \hline &&&6&7&0&5&C \\ &&0&6&D&E&4&{\color{Gray}0} \\ +&4&4&A&E&8&{\color{Gray}0}&{\color{Gray}0} \\ \hline &4&5&8&3&6&9&C

\end{array}~~.</math>

Целые числа

Множество целых чисел — расширение множества натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math>, получаемое добавлением отрицательных чисел вида <math>-n</math>. Множество целых чисел обозначается <math>\mathbb{Z}.</math> Арифметические операции над целыми числами определяются как непрерывное продолжение соответствующих операций над натуральными числами. Отличие от натуральных чисел состоит в том, что отрицательные числа на числовой прямой направлены в противоположную сторону, это несколько меняет процедуру умножения. Необходимо учитывать взаимное направление чисел, здесь возможны несколько случаев:

• Если оба аргумента положительные, тогда: <math>c = a \sdot b;</math>
• Если один из аргументов отрицателен, тогда: <math>c= -a \sdot b = -(a \sdot b),</math> либо <math>c= a \sdot (-b) = -(a \sdot b);</math>
• Если оба аргумента отрицательны, тогда: <math>c = (-a) \sdot (-b) = a \sdot b.</math>

Здесь и далее также используется алгоритм поразрядного умножения. Например, рассмотрим выражение: <math>-6 \sdot 4=-24</math>; так как у чисел <math>-6</math> и <math>4</math> разные знаки, то выносим минус за скобки: <math>-6 \sdot 4=-(6 \sdot 4)</math>, вычисляя далее получим ответ: <math>-24</math>.

Рациональные числа

Множество рациональных чисел обозначается <math>\mathbb{Q}</math> (от англ. quotient «частное») и может быть записано в таком виде: <math>\mathbb{Q} = \left\{ \frac{m}{n} \mid m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N} \right\}.</math>

Для умножения рациональных чисел в виде обыкновенных (или простых) дробей вида: <math>\pm \frac{m}{n}</math>, следует числители и знаменатели дробей умножить друг на друга.

Если даны два рациональных числа <math>a</math> и <math>b</math> такие, что: <math>a=\frac{m_a}{n_a}, b=\frac{m_b}{n_b} \quad\forall m_a, n_a, m_b, n_b \in \mathbb{N} \quad\forall {n_a},{n_b} \ne 0 </math> (дроби не сокращаемые), тогда:

<math> c=a \cdot b = \frac{m_a}{n_a} \cdot \frac{m_b}{n_b} = \frac{m_a \cdot m_b}{n_a \cdot n_b}.</math>

Пример умножения:

<math> \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 5} = \frac{2}{15}~; ~~~~~ \frac{3}{7} \cdot \frac{4}{6} = \frac{3 \cdot 4}{7 \cdot 6} = \frac{12}{42} = \frac{6}{21}~.</math>Арифметическая операция «умножение» над рациональными числами относится к замкнутым операциям.

Вещественные числа

Арифметические операции над вещественными числами представимых бесконечными десятичными дробями определяются как непрерывное продолжение соответствующих операций над рациональными числами.

Если даны два вещественных числа, представимые бесконечными десятичными дробями:

<math> \alpha = \pm a_0, a_1 a_2 \ldots a_n \ldots = \{a_n\}</math>, <math> \beta = \pm b_0, b_1 b_2 \ldots b_n \ldots = \{b_n\}</math>

определённые соответственно фундаментальными последовательностями рациональных чисел (удовлетворяющие условию Коши), обозначенные как: <math>\alpha = [a_n]</math> и <math>\beta = [b_n]</math>, то их произведением называют число <math>\gamma = [c_n]</math>, определённое произведением последовательностей <math>\{a_n\}</math> и <math>\{b_n\}</math>:

<math>\gamma = \alpha \cdot \beta \overset{\text{def}}{=} [a_n] \cdot [b_n] = [a_n \times b_n] </math>;

вещественное число <math>\gamma = \alpha \cdot \beta</math>, удовлетворяет следующему условию:

<math>

\forall a', a, b', b \in \mathbb{Q}; ~~~~ (a' \leqslant \alpha \leqslant a) \and (b' \leqslant \beta \leqslant b) \Rightarrow (a' \cdot b' \leqslant \alpha \times \beta \leqslant a \cdot b) \Rightarrow (a' \cdot b' \leqslant \gamma \leqslant a \cdot b)

</math>.

Таким образом произведением двух вещественных чисел  <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> является такое вещественное число <math>\gamma</math> которое содержится между всеми произведениями вида <math>a' \cdot b'</math> с одной стороны и всеми произведениями вида <math>a \cdot b</math> с другой стороны.

На практике для того, чтобы умножить два числа <math>\alpha</math> и <math>\beta</math>, необходимо заменить их с требуемой точностью приближёнными рациональными числами <math>a</math> и <math>b</math>. За приближенное значение произведения чисел <math>\alpha \cdot \beta</math> берут произведение указанных рациональных чисел <math>a \cdot b</math>. При этом не важно, с какой стороны (по недостатку или по избытку) взятые рациональные числа приближают <math>\alpha</math> и <math>\beta</math>. Умножение производится по алгоритму поразрядного умножения.

Абсолютная погрешность произведения приближённых чисел: <math>\Delta (a \cdot b)=|b| \cdot \Delta a+ |a| \cdot \Delta b + \Delta a \cdot \Delta b \approx |b| \cdot \Delta a+ |a| \cdot \Delta b</math>, абсолютная погрешность числа принимается равной половине последнего знака этого числа. Относительная погрешность произведения равна сумме относительных по­грешностей аргументов: <math>\delta (a \cdot b)=\delta a+\delta b</math>. Полученный результат округляют до первой верной значащей цифры, значащая цифра приближенного числа является верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Пример умножения <math>\gamma=\pi \cdot e</math>, с точностью до 3-го знака после запятой:

• Округляем данные числа до 4-го знака после запятой (для повышения точности вычислений);
• Получаем: <math>\pi\approx 3.1416, \quad e \approx 2.7183</math> ;
• Поразрядно умножаем: <math>\gamma = \pi \cdot e \approx 3.1416 \cdot 2.7183 \approx 8.5398</math> ;
• Округляем до 3-го знака после запятой: <math>\gamma\approx 8.540</math> .

График

На множестве вещественных чисел <math>\mathbb{R}</math> область значений функции умножения графически имеет вид поверхности проходящей через начало координат и изогнутой с двух сторон вверх и вниз в виде параболы. Так как <math>\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}</math>, то и для этих множеств область значений функции умножения будет принадлежать этой поверхности.

Комплексные числа

Множество комплексных чисел с арифметическими операциями является полем и обычно обозначается символом <math>\mathbb{C}</math>.

Произведением двух комплексных чисел в алгебраической форме записи, называется комплексное число, равное:

<math>c+fi=(a+di) \cdot (b+ei) = (a \cdot b - d \cdot e)+(a \cdot e + b \cdot d)i, </math>

где: <math>c, a, b, d, e, f \in \R</math>, <math>i</math> — мнимая единица.

Для того, чтобы перемножить два комплексных числа в тригонометрической форме записи, нужно перемножить их модули, а аргументы сложить:

<math>c=a \cdot b=r_1 (Cos \varphi _1+ iSin \varphi _1) ~\cdot~ r_2 (Cos \varphi _2+ iSin\varphi _2) =r_1 \cdot r_2 (Cos (\varphi _1+\varphi _2)+ iSin(\varphi _1+\varphi _2)),</math> где: <math>r=|z|=|a+ib|=\sqrt{a^2+b^2};~~~\varphi = Arg(z)=arctg \biggl( \frac{b}{a} \biggr),</math> модуль и аргумент комплексного числа.

Умножение комплексного числа <math>a = r_1 e^ {i\varphi _1}</math> в показательной форме, на комплексное число <math>b = r_2 e^ {i\varphi _2}</math> сводится к повороту вектора, соответствующего числу <math>a</math>, на угол  <math>Arg(b)</math> и изменению его длины в <math>|b|</math> раз. Для произведения комплексных чисел в показательной форме верно равенство:

<math>c=re^ {i\varphi}=a \cdot b = r_1 e^ {i\varphi _1} \cdot r_2 e^ {i\varphi _2}= r_1\cdot r_2\cdot e^ {i(\varphi _1+\varphi _2)},</math>

где: <math>e=2,718281828...</math> — число e.

Экспоненциальная запись

В экспоненциальной записи числа записываются в виде <math>a= \pm x \cdot P^{ \pm n}</math>, где <math>x</math> — мантисса, <math>P^{n}</math> — характеристика числа, <math>P</math> — основание системы счисления, <math>n \in \Z</math>. Для умножения двух чисел, которые записаны в экспоненциальной форме необходимо умножить мантиссы и характеристики: <math> (a \cdot P^{n}) \cdot (b \cdot P^{k}) = (a \cdot b) \cdot P^{n} \cdot P^{k}= ab \cdot P^{n+k}.</math>

Например:

<math>2,34 \cdot 10^{-5} \cdot~ 5,67 \cdot 10^{6} = 2,34 \cdot~ 5,67 \cdot 10^{-5} \cdot 10^{6} \approx 13,27 \cdot 10^{(-5+6)} \approx 13,27 \cdot 10^{1} \approx 1,33 \cdot 10^{2}.</math>

Умножение произвольных чисел

При умножение чисел принадлежащих разным множествам необходимо учитывать, что множитель и множимое не вполне равноправны: например <math>1,5 (\in\Q)\cdot 5 (\in\N)=7,5 (\in\Q)</math>  — рациональное берётся пять раз, всё нормально. В данном случае необходимо произвести преобразование типа числа (если существует такая возможность в конкретной задаче). Для этого число из множества с меньшей мощностью расширяется в сторону числа из множества с большей мощностью. То есть воспользовавшись тем, что натуральные числа являются подмножеством рациональных, расширяем натуральное число <math>5</math> до рационального числа <math>5,0</math> и умножаем два рациональных числа: <math>5,0 (\in\Q) \cdot 1,5 (\in\Q)= 7,5 (\in\Q)</math>. Аналогично, пользуясь тем, что: <math>\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C} \subset \mathbb{H}</math> можно умножать числа из различных множеств между собой.

Умножение физических величин

Единица измерения физической величины имеет определенное наименование (размерность): для длины (L) — метр (m), для времени (T) — секунда (s), для массы (M) — грамм (g) и так далее. Поэтому, результат измерения той или иной величины представляет собой не просто число, а число с наименованием. Наименование представляет собой самостоятельный объект, который равноправно участвует в операции умножения. При производстве операции умножения над физическими величинами, умножаются как сами числовые составляющие, так и их наименования.

Помимо размерных физических величин существуют безразмерные (количественные) величины, которые формально являются элементами числовой оси, то есть числами, не имеющие привязки к определенным физическим явлениям (измеряются "штуками", "разами" и тому подобное). При умножении чисел представляющих собой физические величины на безразмерную величину, множимое число увеличивается по величине кратно множителю и сохраняет единицу измерения. Например если взять 5 метровые рейки в количестве 3 штуки, то в результате умножения получим общую длину реек 15 метров.

<math>5~m \cdot 3= 15~m.</math>

Умножение разнородных физических величин надо рассматривать как нахождение новой физической величины, принципиально отличающейся от величин, которые мы умножаем. Если физически возможно создание такого произведения, например, при нахождении работы, скорости  или  других величин, то эта величина  образует множество, отличное от начальных. В этом случае композиции этих величин  присваивается новое обозначение (новый термин), например: плотность, ускорение, мощность и прочее.

Например, если умножить скорость <math>V=4 ~m/s</math> на время <math>T=2 ~s</math> , соответствующие одному физическому процессу, то получится именованное число (физическая величина) соответствующее этому же физическому процессу, которая называется "длина" и измеряется в метрах: <math>L=8 ~m</math>.

<math>L=V \cdot T = 4~\frac{m}{s} \cdot 2~s =8 ~\frac{m \cdot s}{s}= 8 ~m.</math>

При описании математическими средствами физических процессов немаловажную роль играет понятие однородности, которое означает например, что "1 кг муки" и "1 кг меди" принадлежат разным множествам {мука} и {медь} соответственно. Также понятие однородности предполагает, что умножаемые величины принадлежат одному физическому процессу.

См. также

• Сумма
• Сложение
• Вычитание
• Деление
• Возведение в степень
• Корень (математика)

Литература

• Ильин В.А. и др. [edu.alnam.ru/book_man_b.php?id=11 Математический анализ. Начальный курс.]. — МГУ, 1985. — Т. 1. — 662 с.
• Эндертон Г. Элементы теории множеств = Elements of Set Theory. — Gulf Professional Publishing, 1977. — 279 с. — ISBN 0-12-238440-7.
• Барсуков А.Н. [edu.alnam.ru/book_b_alg.php?id=14 Алгебра. Учебник для 6-8 классов.]. — Просвещение, 1966. — 296 с.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. [edu.alnam.ru/book_dmath.php?id=12 Математика. Справочные материалы, книга для учащихся.]. — Просвещение, 1988. — 416 с.
• Истомина Н.Б. [www.minuspk.ru/resource/resource1422507032.pdf Методика обучения математике в начальной школе: Развивающее обучение.]. — Ассоциация XXI век, 2005. — 272 с. — ISBN 5-89308-193-5.
• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2003. — ISBN 5-17-009554-6.
• В.И. Игошин [www.unn.ru/math/no/8/_nom8_002_igoshin.pdf КУРС ЧИСЛОВЫХ СИСТЕМ ДЛЯ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ВУЗА] (рус.) : статья. — Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского, 2010.
• Кононюк А.Е. [ecat.diit.edu.ua:81/ft/GTM4.pdf Обобщенная теория моделирования.]. — Освіта України, 2012. — Т. 2. — 548 с. — ISBN 978-966-7599-50-8.
• [www.artlebedev.ru/kovodstvo/97/ Тире, минус и дефис, или Черты русской типографики] : [[www.webcitation.org/61BGqwQ2N арх.] 24 августа 2011] // Ководство / Артемий Лебедев. — 15 января 2003 г. — § 97.</span>

Отрывок, характеризующий Умножение

– Извольте переодеться, прошу вас, – сказал он, отходя.


– Едет! – закричал в это время махальный.
Полковой командир, покраснел, подбежал к лошади, дрожащими руками взялся за стремя, перекинул тело, оправился, вынул шпагу и с счастливым, решительным лицом, набок раскрыв рот, приготовился крикнуть. Полк встрепенулся, как оправляющаяся птица, и замер.
– Смир р р р на! – закричал полковой командир потрясающим душу голосом, радостным для себя, строгим в отношении к полку и приветливым в отношении к подъезжающему начальнику.
По широкой, обсаженной деревьями, большой, бесшоссейной дороге, слегка погромыхивая рессорами, шибкою рысью ехала высокая голубая венская коляска цугом. За коляской скакали свита и конвой кроатов. Подле Кутузова сидел австрийский генерал в странном, среди черных русских, белом мундире. Коляска остановилась у полка. Кутузов и австрийский генерал о чем то тихо говорили, и Кутузов слегка улыбнулся, в то время как, тяжело ступая, он опускал ногу с подножки, точно как будто и не было этих 2 000 людей, которые не дыша смотрели на него и на полкового командира.
Раздался крик команды, опять полк звеня дрогнул, сделав на караул. В мертвой тишине послышался слабый голос главнокомандующего. Полк рявкнул: «Здравья желаем, ваше го го го го ство!» И опять всё замерло. Сначала Кутузов стоял на одном месте, пока полк двигался; потом Кутузов рядом с белым генералом, пешком, сопутствуемый свитою, стал ходить по рядам.
По тому, как полковой командир салютовал главнокомандующему, впиваясь в него глазами, вытягиваясь и подбираясь, как наклоненный вперед ходил за генералами по рядам, едва удерживая подрагивающее движение, как подскакивал при каждом слове и движении главнокомандующего, – видно было, что он исполнял свои обязанности подчиненного еще с большим наслаждением, чем обязанности начальника. Полк, благодаря строгости и старательности полкового командира, был в прекрасном состоянии сравнительно с другими, приходившими в то же время к Браунау. Отсталых и больных было только 217 человек. И всё было исправно, кроме обуви.
Кутузов прошел по рядам, изредка останавливаясь и говоря по нескольку ласковых слов офицерам, которых он знал по турецкой войне, а иногда и солдатам. Поглядывая на обувь, он несколько раз грустно покачивал головой и указывал на нее австрийскому генералу с таким выражением, что как бы не упрекал в этом никого, но не мог не видеть, как это плохо. Полковой командир каждый раз при этом забегал вперед, боясь упустить слово главнокомандующего касательно полка. Сзади Кутузова, в таком расстоянии, что всякое слабо произнесенное слово могло быть услышано, шло человек 20 свиты. Господа свиты разговаривали между собой и иногда смеялись. Ближе всех за главнокомандующим шел красивый адъютант. Это был князь Болконский. Рядом с ним шел его товарищ Несвицкий, высокий штаб офицер, чрезвычайно толстый, с добрым, и улыбающимся красивым лицом и влажными глазами; Несвицкий едва удерживался от смеха, возбуждаемого черноватым гусарским офицером, шедшим подле него. Гусарский офицер, не улыбаясь, не изменяя выражения остановившихся глаз, с серьезным лицом смотрел на спину полкового командира и передразнивал каждое его движение. Каждый раз, как полковой командир вздрагивал и нагибался вперед, точно так же, точь в точь так же, вздрагивал и нагибался вперед гусарский офицер. Несвицкий смеялся и толкал других, чтобы они смотрели на забавника.
Кутузов шел медленно и вяло мимо тысячей глаз, которые выкатывались из своих орбит, следя за начальником. Поровнявшись с 3 й ротой, он вдруг остановился. Свита, не предвидя этой остановки, невольно надвинулась на него.
– А, Тимохин! – сказал главнокомандующий, узнавая капитана с красным носом, пострадавшего за синюю шинель.
Казалось, нельзя было вытягиваться больше того, как вытягивался Тимохин, в то время как полковой командир делал ему замечание. Но в эту минуту обращения к нему главнокомандующего капитан вытянулся так, что, казалось, посмотри на него главнокомандующий еще несколько времени, капитан не выдержал бы; и потому Кутузов, видимо поняв его положение и желая, напротив, всякого добра капитану, поспешно отвернулся. По пухлому, изуродованному раной лицу Кутузова пробежала чуть заметная улыбка.
– Еще измайловский товарищ, – сказал он. – Храбрый офицер! Ты доволен им? – спросил Кутузов у полкового командира.
И полковой командир, отражаясь, как в зеркале, невидимо для себя, в гусарском офицере, вздрогнул, подошел вперед и отвечал:
– Очень доволен, ваше высокопревосходительство.
– Мы все не без слабостей, – сказал Кутузов, улыбаясь и отходя от него. – У него была приверженность к Бахусу.
Полковой командир испугался, не виноват ли он в этом, и ничего не ответил. Офицер в эту минуту заметил лицо капитана с красным носом и подтянутым животом и так похоже передразнил его лицо и позу, что Несвицкий не мог удержать смеха.
Кутузов обернулся. Видно было, что офицер мог управлять своим лицом, как хотел: в ту минуту, как Кутузов обернулся, офицер успел сделать гримасу, а вслед за тем принять самое серьезное, почтительное и невинное выражение.
Третья рота была последняя, и Кутузов задумался, видимо припоминая что то. Князь Андрей выступил из свиты и по французски тихо сказал:
– Вы приказали напомнить о разжалованном Долохове в этом полку.
– Где тут Долохов? – спросил Кутузов.
Долохов, уже переодетый в солдатскую серую шинель, не дожидался, чтоб его вызвали. Стройная фигура белокурого с ясными голубыми глазами солдата выступила из фронта. Он подошел к главнокомандующему и сделал на караул.
– Претензия? – нахмурившись слегка, спросил Кутузов.
– Это Долохов, – сказал князь Андрей.
– A! – сказал Кутузов. – Надеюсь, что этот урок тебя исправит, служи хорошенько. Государь милостив. И я не забуду тебя, ежели ты заслужишь.
Голубые ясные глаза смотрели на главнокомандующего так же дерзко, как и на полкового командира, как будто своим выражением разрывая завесу условности, отделявшую так далеко главнокомандующего от солдата.
– Об одном прошу, ваше высокопревосходительство, – сказал он своим звучным, твердым, неспешащим голосом. – Прошу дать мне случай загладить мою вину и доказать мою преданность государю императору и России.
Кутузов отвернулся. На лице его промелькнула та же улыбка глаз, как и в то время, когда он отвернулся от капитана Тимохина. Он отвернулся и поморщился, как будто хотел выразить этим, что всё, что ему сказал Долохов, и всё, что он мог сказать ему, он давно, давно знает, что всё это уже прискучило ему и что всё это совсем не то, что нужно. Он отвернулся и направился к коляске.
Полк разобрался ротами и направился к назначенным квартирам невдалеке от Браунау, где надеялся обуться, одеться и отдохнуть после трудных переходов.
– Вы на меня не претендуете, Прохор Игнатьич? – сказал полковой командир, объезжая двигавшуюся к месту 3 ю роту и подъезжая к шедшему впереди ее капитану Тимохину. Лицо полкового командира выражало после счастливо отбытого смотра неудержимую радость. – Служба царская… нельзя… другой раз во фронте оборвешь… Сам извинюсь первый, вы меня знаете… Очень благодарил! – И он протянул руку ротному.
– Помилуйте, генерал, да смею ли я! – отвечал капитан, краснея носом, улыбаясь и раскрывая улыбкой недостаток двух передних зубов, выбитых прикладом под Измаилом.
– Да господину Долохову передайте, что я его не забуду, чтоб он был спокоен. Да скажите, пожалуйста, я всё хотел спросить, что он, как себя ведет? И всё…
– По службе очень исправен, ваше превосходительство… но карахтер… – сказал Тимохин.
– А что, что характер? – спросил полковой командир.
– Находит, ваше превосходительство, днями, – говорил капитан, – то и умен, и учен, и добр. А то зверь. В Польше убил было жида, изволите знать…
– Ну да, ну да, – сказал полковой командир, – всё надо пожалеть молодого человека в несчастии. Ведь большие связи… Так вы того…
– Слушаю, ваше превосходительство, – сказал Тимохин, улыбкой давая чувствовать, что он понимает желания начальника.
– Ну да, ну да.
Полковой командир отыскал в рядах Долохова и придержал лошадь.
– До первого дела – эполеты, – сказал он ему.
Долохов оглянулся, ничего не сказал и не изменил выражения своего насмешливо улыбающегося рта.
– Ну, вот и хорошо, – продолжал полковой командир. – Людям по чарке водки от меня, – прибавил он, чтобы солдаты слышали. – Благодарю всех! Слава Богу! – И он, обогнав роту, подъехал к другой.
– Что ж, он, право, хороший человек; с ним служить можно, – сказал Тимохин субалтерн офицеру, шедшему подле него.
– Одно слово, червонный!… (полкового командира прозвали червонным королем) – смеясь, сказал субалтерн офицер.
Счастливое расположение духа начальства после смотра перешло и к солдатам. Рота шла весело. Со всех сторон переговаривались солдатские голоса.
– Как же сказывали, Кутузов кривой, об одном глазу?
– А то нет! Вовсе кривой.
– Не… брат, глазастее тебя. Сапоги и подвертки – всё оглядел…
– Как он, братец ты мой, глянет на ноги мне… ну! думаю…
– А другой то австрияк, с ним был, словно мелом вымазан. Как мука, белый. Я чай, как амуницию чистят!
– Что, Федешоу!… сказывал он, что ли, когда стражения начнутся, ты ближе стоял? Говорили всё, в Брунове сам Бунапарте стоит.
– Бунапарте стоит! ишь врет, дура! Чего не знает! Теперь пруссак бунтует. Австрияк его, значит, усмиряет. Как он замирится, тогда и с Бунапартом война откроется. А то, говорит, в Брунове Бунапарте стоит! То то и видно, что дурак. Ты слушай больше.
– Вишь черти квартирьеры! Пятая рота, гляди, уже в деревню заворачивает, они кашу сварят, а мы еще до места не дойдем.
– Дай сухарика то, чорт.
– А табаку то вчера дал? То то, брат. Ну, на, Бог с тобой.
– Хоть бы привал сделали, а то еще верст пять пропрем не емши.
– То то любо было, как немцы нам коляски подавали. Едешь, знай: важно!
– А здесь, братец, народ вовсе оголтелый пошел. Там всё как будто поляк был, всё русской короны; а нынче, брат, сплошной немец пошел.
– Песенники вперед! – послышался крик капитана.
И перед роту с разных рядов выбежало человек двадцать. Барабанщик запевало обернулся лицом к песенникам, и, махнув рукой, затянул протяжную солдатскую песню, начинавшуюся: «Не заря ли, солнышко занималося…» и кончавшуюся словами: «То то, братцы, будет слава нам с Каменскиим отцом…» Песня эта была сложена в Турции и пелась теперь в Австрии, только с тем изменением, что на место «Каменскиим отцом» вставляли слова: «Кутузовым отцом».
Оторвав по солдатски эти последние слова и махнув руками, как будто он бросал что то на землю, барабанщик, сухой и красивый солдат лет сорока, строго оглянул солдат песенников и зажмурился. Потом, убедившись, что все глаза устремлены на него, он как будто осторожно приподнял обеими руками какую то невидимую, драгоценную вещь над головой, подержал ее так несколько секунд и вдруг отчаянно бросил ее:
Ах, вы, сени мои, сени!
«Сени новые мои…», подхватили двадцать голосов, и ложечник, несмотря на тяжесть амуниции, резво выскочил вперед и пошел задом перед ротой, пошевеливая плечами и угрожая кому то ложками. Солдаты, в такт песни размахивая руками, шли просторным шагом, невольно попадая в ногу. Сзади роты послышались звуки колес, похрускиванье рессор и топот лошадей.
Кутузов со свитой возвращался в город. Главнокомандующий дал знак, чтобы люди продолжали итти вольно, и на его лице и на всех лицах его свиты выразилось удовольствие при звуках песни, при виде пляшущего солдата и весело и бойко идущих солдат роты. Во втором ряду, с правого фланга, с которого коляска обгоняла роты, невольно бросался в глаза голубоглазый солдат, Долохов, который особенно бойко и грациозно шел в такт песни и глядел на лица проезжающих с таким выражением, как будто он жалел всех, кто не шел в это время с ротой. Гусарский корнет из свиты Кутузова, передразнивавший полкового командира, отстал от коляски и подъехал к Долохову.
Гусарский корнет Жерков одно время в Петербурге принадлежал к тому буйному обществу, которым руководил Долохов. За границей Жерков встретил Долохова солдатом, но не счел нужным узнать его. Теперь, после разговора Кутузова с разжалованным, он с радостью старого друга обратился к нему:
– Друг сердечный, ты как? – сказал он при звуках песни, ровняя шаг своей лошади с шагом роты.
– Я как? – отвечал холодно Долохов, – как видишь.
Бойкая песня придавала особенное значение тону развязной веселости, с которой говорил Жерков, и умышленной холодности ответов Долохова.
– Ну, как ладишь с начальством? – спросил Жерков.
– Ничего, хорошие люди. Ты как в штаб затесался?
– Прикомандирован, дежурю.
Они помолчали.
«Выпускала сокола да из правого рукава», говорила песня, невольно возбуждая бодрое, веселое чувство. Разговор их, вероятно, был бы другой, ежели бы они говорили не при звуках песни.
– Что правда, австрийцев побили? – спросил Долохов.
– А чорт их знает, говорят.
– Я рад, – отвечал Долохов коротко и ясно, как того требовала песня.
– Что ж, приходи к нам когда вечерком, фараон заложишь, – сказал Жерков.
– Или у вас денег много завелось?
– Приходи.
– Нельзя. Зарок дал. Не пью и не играю, пока не произведут.
– Да что ж, до первого дела…
– Там видно будет.
Опять они помолчали.
– Ты заходи, коли что нужно, все в штабе помогут… – сказал Жерков.
Долохов усмехнулся.
– Ты лучше не беспокойся. Мне что нужно, я просить не стану, сам возьму.
– Да что ж, я так…
– Ну, и я так.
– Прощай.
– Будь здоров…
… и высоко, и далеко,
На родиму сторону…
Жерков тронул шпорами лошадь, которая раза три, горячась, перебила ногами, не зная, с какой начать, справилась и поскакала, обгоняя роту и догоняя коляску, тоже в такт песни.


Возвратившись со смотра, Кутузов, сопутствуемый австрийским генералом, прошел в свой кабинет и, кликнув адъютанта, приказал подать себе некоторые бумаги, относившиеся до состояния приходивших войск, и письма, полученные от эрцгерцога Фердинанда, начальствовавшего передовою армией. Князь Андрей Болконский с требуемыми бумагами вошел в кабинет главнокомандующего. Перед разложенным на столе планом сидели Кутузов и австрийский член гофкригсрата.
– А… – сказал Кутузов, оглядываясь на Болконского, как будто этим словом приглашая адъютанта подождать, и продолжал по французски начатый разговор.
– Я только говорю одно, генерал, – говорил Кутузов с приятным изяществом выражений и интонации, заставлявшим вслушиваться в каждое неторопливо сказанное слово. Видно было, что Кутузов и сам с удовольствием слушал себя. – Я только одно говорю, генерал, что ежели бы дело зависело от моего личного желания, то воля его величества императора Франца давно была бы исполнена. Я давно уже присоединился бы к эрцгерцогу. И верьте моей чести, что для меня лично передать высшее начальство армией более меня сведущему и искусному генералу, какими так обильна Австрия, и сложить с себя всю эту тяжкую ответственность для меня лично было бы отрадой. Но обстоятельства бывают сильнее нас, генерал.
И Кутузов улыбнулся с таким выражением, как будто он говорил: «Вы имеете полное право не верить мне, и даже мне совершенно всё равно, верите ли вы мне или нет, но вы не имеете повода сказать мне это. И в этом то всё дело».
Австрийский генерал имел недовольный вид, но не мог не в том же тоне отвечать Кутузову.
– Напротив, – сказал он ворчливым и сердитым тоном, так противоречившим лестному значению произносимых слов, – напротив, участие вашего превосходительства в общем деле высоко ценится его величеством; но мы полагаем, что настоящее замедление лишает славные русские войска и их главнокомандующих тех лавров, которые они привыкли пожинать в битвах, – закончил он видимо приготовленную фразу.
Кутузов поклонился, не изменяя улыбки.
– А я так убежден и, основываясь на последнем письме, которым почтил меня его высочество эрцгерцог Фердинанд, предполагаю, что австрийские войска, под начальством столь искусного помощника, каков генерал Мак, теперь уже одержали решительную победу и не нуждаются более в нашей помощи, – сказал Кутузов.
Генерал нахмурился. Хотя и не было положительных известий о поражении австрийцев, но было слишком много обстоятельств, подтверждавших общие невыгодные слухи; и потому предположение Кутузова о победе австрийцев было весьма похоже на насмешку. Но Кутузов кротко улыбался, всё с тем же выражением, которое говорило, что он имеет право предполагать это. Действительно, последнее письмо, полученное им из армии Мака, извещало его о победе и о самом выгодном стратегическом положении армии.
– Дай ка сюда это письмо, – сказал Кутузов, обращаясь к князю Андрею. – Вот изволите видеть. – И Кутузов, с насмешливою улыбкой на концах губ, прочел по немецки австрийскому генералу следующее место из письма эрцгерцога Фердинанда: «Wir haben vollkommen zusammengehaltene Krafte, nahe an 70 000 Mann, um den Feind, wenn er den Lech passirte, angreifen und schlagen zu konnen. Wir konnen, da wir Meister von Ulm sind, den Vortheil, auch von beiden Uferien der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; mithin auch jeden Augenblick, wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau ubersetzen, uns auf seine Communikations Linie werfen, die Donau unterhalb repassiren und dem Feinde, wenn er sich gegen unsere treue Allirte mit ganzer Macht wenden wollte, seine Absicht alabald vereitelien. Wir werden auf solche Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Ruseische Armee ausgerustet sein wird, muthig entgegenharren, und sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das Schicksal zuzubereiten, so er verdient». [Мы имеем вполне сосредоточенные силы, около 70 000 человек, так что мы можем атаковать и разбить неприятеля в случае переправы его через Лех. Так как мы уже владеем Ульмом, то мы можем удерживать за собою выгоду командования обоими берегами Дуная, стало быть, ежеминутно, в случае если неприятель не перейдет через Лех, переправиться через Дунай, броситься на его коммуникационную линию, ниже перейти обратно Дунай и неприятелю, если он вздумает обратить всю свою силу на наших верных союзников, не дать исполнить его намерение. Таким образом мы будем бодро ожидать времени, когда императорская российская армия совсем изготовится, и затем вместе легко найдем возможность уготовить неприятелю участь, коей он заслуживает».]
Кутузов тяжело вздохнул, окончив этот период, и внимательно и ласково посмотрел на члена гофкригсрата.
– Но вы знаете, ваше превосходительство, мудрое правило, предписывающее предполагать худшее, – сказал австрийский генерал, видимо желая покончить с шутками и приступить к делу.
Он невольно оглянулся на адъютанта.
– Извините, генерал, – перебил его Кутузов и тоже поворотился к князю Андрею. – Вот что, мой любезный, возьми ты все донесения от наших лазутчиков у Козловского. Вот два письма от графа Ностица, вот письмо от его высочества эрцгерцога Фердинанда, вот еще, – сказал он, подавая ему несколько бумаг. – И из всего этого чистенько, на французском языке, составь mеmorandum, записочку, для видимости всех тех известий, которые мы о действиях австрийской армии имели. Ну, так то, и представь его превосходительству.
Князь Андрей наклонил голову в знак того, что понял с первых слов не только то, что было сказано, но и то, что желал бы сказать ему Кутузов. Он собрал бумаги, и, отдав общий поклон, тихо шагая по ковру, вышел в приемную.
Несмотря на то, что еще не много времени прошло с тех пор, как князь Андрей оставил Россию, он много изменился за это время. В выражении его лица, в движениях, в походке почти не было заметно прежнего притворства, усталости и лени; он имел вид человека, не имеющего времени думать о впечатлении, какое он производит на других, и занятого делом приятным и интересным. Лицо его выражало больше довольства собой и окружающими; улыбка и взгляд его были веселее и привлекательнее.
Кутузов, которого он догнал еще в Польше, принял его очень ласково, обещал ему не забывать его, отличал от других адъютантов, брал с собою в Вену и давал более серьезные поручения. Из Вены Кутузов писал своему старому товарищу, отцу князя Андрея:
«Ваш сын, – писал он, – надежду подает быть офицером, из ряду выходящим по своим занятиям, твердости и исполнительности. Я считаю себя счастливым, имея под рукой такого подчиненного».
В штабе Кутузова, между товарищами сослуживцами и вообще в армии князь Андрей, так же как и в петербургском обществе, имел две совершенно противоположные репутации.
Одни, меньшая часть, признавали князя Андрея чем то особенным от себя и от всех других людей, ожидали от него больших успехов, слушали его, восхищались им и подражали ему; и с этими людьми князь Андрей был прост и приятен. Другие, большинство, не любили князя Андрея, считали его надутым, холодным и неприятным человеком. Но с этими людьми князь Андрей умел поставить себя так, что его уважали и даже боялись.
Выйдя в приемную из кабинета Кутузова, князь Андрей с бумагами подошел к товарищу,дежурному адъютанту Козловскому, который с книгой сидел у окна.
– Ну, что, князь? – спросил Козловский.
– Приказано составить записку, почему нейдем вперед.
– А почему?
Князь Андрей пожал плечами.
– Нет известия от Мака? – спросил Козловский.
– Нет.
– Ежели бы правда, что он разбит, так пришло бы известие.
– Вероятно, – сказал князь Андрей и направился к выходной двери; но в то же время навстречу ему, хлопнув дверью, быстро вошел в приемную высокий, очевидно приезжий, австрийский генерал в сюртуке, с повязанною черным платком головой и с орденом Марии Терезии на шее. Князь Андрей остановился.
– Генерал аншеф Кутузов? – быстро проговорил приезжий генерал с резким немецким выговором, оглядываясь на обе стороны и без остановки проходя к двери кабинета.
– Генерал аншеф занят, – сказал Козловский, торопливо подходя к неизвестному генералу и загораживая ему дорогу от двери. – Как прикажете доложить?
Неизвестный генерал презрительно оглянулся сверху вниз на невысокого ростом Козловского, как будто удивляясь, что его могут не знать.
– Генерал аншеф занят, – спокойно повторил Козловский.
Лицо генерала нахмурилось, губы его дернулись и задрожали. Он вынул записную книжку, быстро начертил что то карандашом, вырвал листок, отдал, быстрыми шагами подошел к окну, бросил свое тело на стул и оглянул бывших в комнате, как будто спрашивая: зачем они на него смотрят? Потом генерал поднял голову, вытянул шею, как будто намереваясь что то сказать, но тотчас же, как будто небрежно начиная напевать про себя, произвел странный звук, который тотчас же пресекся. Дверь кабинета отворилась, и на пороге ее показался Кутузов. Генерал с повязанною головой, как будто убегая от опасности, нагнувшись, большими, быстрыми шагами худых ног подошел к Кутузову.
– Vous voyez le malheureux Mack, [Вы видите несчастного Мака.] – проговорил он сорвавшимся голосом.
Лицо Кутузова, стоявшего в дверях кабинета, несколько мгновений оставалось совершенно неподвижно. Потом, как волна, пробежала по его лицу морщина, лоб разгладился; он почтительно наклонил голову, закрыл глаза, молча пропустил мимо себя Мака и сам за собой затворил дверь.
Слух, уже распространенный прежде, о разбитии австрийцев и о сдаче всей армии под Ульмом, оказывался справедливым. Через полчаса уже по разным направлениям были разосланы адъютанты с приказаниями, доказывавшими, что скоро и русские войска, до сих пор бывшие в бездействии, должны будут встретиться с неприятелем.
Князь Андрей был один из тех редких офицеров в штабе, который полагал свой главный интерес в общем ходе военного дела. Увидав Мака и услыхав подробности его погибели, он понял, что половина кампании проиграна, понял всю трудность положения русских войск и живо вообразил себе то, что ожидает армию, и ту роль, которую он должен будет играть в ней.
Невольно он испытывал волнующее радостное чувство при мысли о посрамлении самонадеянной Австрии и о том, что через неделю, может быть, придется ему увидеть и принять участие в столкновении русских с французами, впервые после Суворова.
Но он боялся гения Бонапарта, который мог оказаться сильнее всей храбрости русских войск, и вместе с тем не мог допустить позора для своего героя.
Взволнованный и раздраженный этими мыслями, князь Андрей пошел в свою комнату, чтобы написать отцу, которому он писал каждый день. Он сошелся в коридоре с своим сожителем Несвицким и шутником Жерковым; они, как всегда, чему то смеялись.