Унитарное пространство

Унитарное пространство — векторное пространство над полем комплексных чисел с эрмитовым скалярным произведением.

Эрмитовым скалярным произведением в линейном пространстве <math>\mathbb L</math> над полем комплексных чисел называется функция <math> \langle \cdot, \cdot \rangle : \mathbb L \times \mathbb L \to \C,</math> удовлетворяющая следующим условиям:

• 1) (линейность скалярного произведения по первому аргументу)

<math> \forall ~x_1, x_2, y \in \mathbb L</math> и <math> \forall ~\alpha , \beta \in \C</math> справедливы равенства:

<math> \langle \alpha x_1+\beta x_2,y \rangle = \alpha \langle x_1,y \rangle + \beta \langle x_2,y \rangle,</math>

(иногда в определении вместо этого берут линейность по второму аргументу, что не принципиально)

• 2) (эрмитовость скалярного произведения)

<math> \forall ~x, ~y \in \mathbb L</math> справедливо равенство <math> \langle y,x \rangle = \overline{\langle x,y \rangle}</math>,

• 3) (положительная определенность скалярного произведения)

<math> \forall ~x \in \mathbb L</math> имеем <math>\langle x,x \rangle \ge 0,</math> причем <math>\langle x,x \rangle =0 </math> только при <math>x=0 </math>.

Другими словами, скалярным произведением называется положительно определенная эрмитова форма <math> \langle \cdot, \cdot \rangle : \mathbb L \times \mathbb L \to \C </math>.

Отметим, что над действительным пространством условие полуторалинейности эквивалентно билинейности, а эрмитовость — симметричности, и скалярное произведение становится положительно определенной билинейной симметричной функцией <math>\langle \cdot, \cdot \rangle : \mathbb L \times \mathbb L \to \R </math>.

Отрывок, характеризующий Унитарное пространство

Послышалась борьба и недовольный голос Сони: «Ведь второй час».
– Ах, ты только всё портишь мне. Ну, иди, иди.
Опять всё замолкло, но князь Андрей знал, что она всё еще сидит тут, он слышал иногда тихое шевеленье, иногда вздохи.
– Ах… Боже мой! Боже мой! что ж это такое! – вдруг вскрикнула она. – Спать так спать! – и захлопнула окно.
«И дела нет до моего существования!» подумал князь Андрей в то время, как он прислушивался к ее говору, почему то ожидая и боясь, что она скажет что нибудь про него. – «И опять она! И как нарочно!» думал он. В душе его вдруг поднялась такая неожиданная путаница молодых мыслей и надежд, противоречащих всей его жизни, что он, чувствуя себя не в силах уяснить себе свое состояние, тотчас же заснул.


На другой день простившись только с одним графом, не дождавшись выхода дам, князь Андрей поехал домой.
Уже было начало июня, когда князь Андрей, возвращаясь домой, въехал опять в ту березовую рощу, в которой этот старый, корявый дуб так странно и памятно поразил его. Бубенчики еще глуше звенели в лесу, чем полтора месяца тому назад; всё было полно, тенисто и густо; и молодые ели, рассыпанные по лесу, не нарушали общей красоты и, подделываясь под общий характер, нежно зеленели пушистыми молодыми побегами.
Целый день был жаркий, где то собиралась гроза, но только небольшая тучка брызнула на пыль дороги и на сочные листья. Левая сторона леса была темна, в тени; правая мокрая, глянцовитая блестела на солнце, чуть колыхаясь от ветра. Всё было в цвету; соловьи трещали и перекатывались то близко, то далеко.