Упорядоченное поле

Упорядоченное поле — алгебраическое поле, для всех элементов которого определён линейный порядок, согласованный с операциями поля. Наиболее практически важными примерами являются поля рациональных и вещественных чисел. Термин впервые предложил Эмиль Артин в 1927 г.

Определение

Пусть <math>F</math> — алгебраическое поле и для его элементов определён линейный порядок, то есть задано отношение <math>\leqslant</math> (меньше или равно) со следующими свойствами:

1. Рефлексивность: <math>x \leqslant x</math>.
2. Транзитивность: если <math>x \leqslant y</math> и <math>y \leqslant z</math>, то <math>x \leqslant z</math>.
3. Антисимметричность: если <math>x \leqslant y</math> и <math>y \leqslant x</math>, то <math>x=y</math>.
4. Линейность: все элементы <math>F</math> сравнимы между собой, то есть либо <math>x \leqslant y</math>, либо <math>y \leqslant x</math>.

Кроме того, потребуем, чтобы порядок был согласован с операциями сложения и умножения:

5. Если <math>x \leqslant y</math>, то для любого z: <math>x+z \leqslant y+z</math>.
6. Если <math>0 \leqslant x</math> и <math>0 \leqslant y</math>, то <math>0 \leqslant x y</math>.

Если все 6 аксиом выполнены, то поле <math>F</math> называется упорядоченным.

Связанные определения

• Для удобства записи вводятся дополнительные вторичные отношения:

Отношение больше или равно: <math>x \geqslant y</math> означает, что <math>y \leqslant x</math>.

Отношение больше: <math>x > y</math> означает, что <math>x \geqslant y</math> и <math>x \ne y</math>.

Отношение меньше: <math>x < y</math> означает, что <math>y>x</math>.

• Формула с любым из этих 4 отношений называется неравенством.
• Элементы, бо́льшие нуля, называются положительными, а меньшие нуля — отрицательными. Можно определить также абсолютную величину <math>|x|</math> элемента <math>x</math> как <math>max(x, -x)</math>.

Конструктивное построение порядка

Один из способов определить в поле F линейный порядок — выделить в нём подмножество положительных чисел P, замкнутое относительно сложения и умножения и обладающее следующим свойством. три подмножества <math>P</math>, ноль и <math>-P</math> не пересекаются и вместе образуют разбиение всего поля.

Пусть такое P выделено. Обозначим <math>P_0 =P \cup \{0\}</math> (это множество тоже замкнуто относительно сложения и умножения) и определим линейный порядок в F следующим образом:

<math>x \leqslant y</math>, если <math>y-x \in P_0</math>

Все приведенные выше аксиомы порядка тогда выполнены. Любое упорядоченное поле может быть построено с помощью описанной процедуры.

Некоторые свойства

• Всякий элемент упорядоченного поля относится к одной и только одной из трёх категорий: положительные, отрицательные, нуль. Если <math>x</math> положителен, то <math>-x</math> отрицателен, и наоборот.
• В любом упорядоченном поле <math>1>0</math> и квадрат любого ненулевого элемента положителен.
• Однотипные неравенства можно складывать:

Если <math>x \leqslant y</math> и <math>x' \leqslant y'</math>, то <math>x+x' \leqslant y+y'</math>.

• Неравенства можно умножать на положительные элементы:

Если <math>x \leqslant y</math> и <math>c \geqslant 0</math>, то <math>c x \leqslant c y</math>.

Неединственность порядка

Вообще говоря, поле можно упорядочить разными способами. Пример: рассмотрим поле из чисел вида <math>a+b\sqrt{2}</math>, где <math>a,b</math> — рациональные числа. Кроме обычного порядка, можно определить для этого поля и такой: включим в «подмножество положительных чисел» <math>P</math> те числа <math>a+b\sqrt{2}</math>, для которых <math>a>b\sqrt{2}</math>. Нетрудно проверить, что условия, приведенные в разделе о конструктивном построении порядка, выполнены.

Место в иерархии алгебраических структур

• Подполе упорядоченного поля наследует родительский порядок и, следовательно, тоже является упорядоченным полем.
• Характеристика упорядоченного поля всегда равна нулю. Поэтому конечное поле не может быть упорядочено.
• Поле допускает упорядочение тогда и только тогда, когда <math>-1</math> не может быть представлена как сумма квадратов элементов поля. Поэтому нельзя продолжить вещественный порядок на комплексные числа.
• Наименьшее упорядоченное поле — это поле рациональных чисел, которое может быть упорядочено только одним способом. Это или изоморфное ему рациональное поле содержится как подполе в любом другом упорядоченном поле.
• Если в поле не существует элемента больше, чем все элементы рационального поля, поле называется архимедовым. Максимальным архимедовым упорядоченным полем является поле вещественных чисел <math>\mathbb R</math>; любое другое архимедово упорядоченное поле изоморфно одному из подполей <math>\mathbb R</math>.

Примеры

• Рациональные числа
• Вещественные числа
• Вещественные алгебраические числа
• Поле вещественных рациональных функций: <math>\frac {p(x)} {q(x)}</math>, где <math>p(x), q(x)</math> — многочлены, <math>q(x) \ne 0</math>. Упорядочим его следующим образом.
  • Пусть <math>p(x)=p_0 x^n + \dots + p_n;\quad q(x) = q_0 x^m + \dots + q_m.</math> Будем считать, что функция <math>\frac {p(x)} {q(x)} > 0</math>, если <math>\frac {p_0} {q_0} > 0</math>. Вещественные константы (как многочлены нулевого порядка) тем самым упорядочены традиционным образом.
  • Из определения вытекает, что многочлен <math>p(x)=x</math> больше, чем любая константа, то есть аксиома Архимеда для этого поля не выполняется, поле неархимедово. Интересно отметить, что это же поле допускает и архимедов порядок, например, если считать положительными те функции (дроби) <math>r(x)</math>, для которых <math>r(\pi)>0</math>.
• Гипервещественные числа — ещё один пример неархимедова поля.
• Как сказано выше, поле комплексных чисел не допускает порядка, продолжающего порядок вещественных чисел. Тем не менее некоторые комплексные подполя могут быть упорядочены. Рассмотрим, например, поле <math>\mathbb{Q}[\theta]</math>, порождённое добавлением к полю рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math> числа <math>\theta=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}</math> — одного из трёх комплексных корней многочлена <math>x^3-2.</math>. Данное поле изоморфно вещественному полю <math>\mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}]</math>, поэтому на него можно перенести обычный вещественный порядок

Примеры неупорядочиваемых полей

• комплексные числа
• конечные поля
• p-адические числа

Литература

• Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. М.: Наука, 1965.
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. 2 изд., М.: Наука, 1979, 469 с.
• Ленг С. Алгебра. М: Мир, 1968.
• Нечаев В. И. Числовые системы. — М.: Просвещение, 1975. — 199 с..

Отрывок, характеризующий Упорядоченное поле

«Aliment de poison d'une ame trop sensible,
«Toi, sans qui le bonheur me serait impossible,
«Tendre melancolie, ah, viens me consoler,
«Viens calmer les tourments de ma sombre retraite
«Et mele une douceur secrete
«A ces pleurs, que je sens couler».
[Ядовитая пища слишком чувствительной души,
Ты, без которой счастье было бы для меня невозможно,
Нежная меланхолия, о, приди, меня утешить,
Приди, утиши муки моего мрачного уединения
И присоедини тайную сладость
К этим слезам, которых я чувствую течение.]
Жюли играла Борису нa арфе самые печальные ноктюрны. Борис читал ей вслух Бедную Лизу и не раз прерывал чтение от волнения, захватывающего его дыханье. Встречаясь в большом обществе, Жюли и Борис смотрели друг на друга как на единственных людей в мире равнодушных, понимавших один другого.
Анна Михайловна, часто ездившая к Карагиным, составляя партию матери, между тем наводила верные справки о том, что отдавалось за Жюли (отдавались оба пензенские именья и нижегородские леса). Анна Михайловна, с преданностью воле провидения и умилением, смотрела на утонченную печаль, которая связывала ее сына с богатой Жюли.
– Toujours charmante et melancolique, cette chere Julieie, [Она все так же прелестна и меланхолична, эта милая Жюли.] – говорила она дочери. – Борис говорит, что он отдыхает душой в вашем доме. Он так много понес разочарований и так чувствителен, – говорила она матери.
– Ах, мой друг, как я привязалась к Жюли последнее время, – говорила она сыну, – не могу тебе описать! Да и кто может не любить ее? Это такое неземное существо! Ах, Борис, Борис! – Она замолкала на минуту. – И как мне жалко ее maman, – продолжала она, – нынче она показывала мне отчеты и письма из Пензы (у них огромное имение) и она бедная всё сама одна: ее так обманывают!
Борис чуть заметно улыбался, слушая мать. Он кротко смеялся над ее простодушной хитростью, но выслушивал и иногда выспрашивал ее внимательно о пензенских и нижегородских имениях.
Жюли уже давно ожидала предложенья от своего меланхолического обожателя и готова была принять его; но какое то тайное чувство отвращения к ней, к ее страстному желанию выйти замуж, к ее ненатуральности, и чувство ужаса перед отречением от возможности настоящей любви еще останавливало Бориса. Срок его отпуска уже кончался. Целые дни и каждый божий день он проводил у Карагиных, и каждый день, рассуждая сам с собою, Борис говорил себе, что он завтра сделает предложение. Но в присутствии Жюли, глядя на ее красное лицо и подбородок, почти всегда осыпанный пудрой, на ее влажные глаза и на выражение лица, изъявлявшего всегдашнюю готовность из меланхолии тотчас же перейти к неестественному восторгу супружеского счастия, Борис не мог произнести решительного слова: несмотря на то, что он уже давно в воображении своем считал себя обладателем пензенских и нижегородских имений и распределял употребление с них доходов. Жюли видела нерешительность Бориса и иногда ей приходила мысль, что она противна ему; но тотчас же женское самообольщение представляло ей утешение, и она говорила себе, что он застенчив только от любви. Меланхолия ее однако начинала переходить в раздражительность, и не задолго перед отъездом Бориса, она предприняла решительный план. В то самое время как кончался срок отпуска Бориса, в Москве и, само собой разумеется, в гостиной Карагиных, появился Анатоль Курагин, и Жюли, неожиданно оставив меланхолию, стала очень весела и внимательна к Курагину.
– Mon cher, – сказала Анна Михайловна сыну, – je sais de bonne source que le Prince Basile envoie son fils a Moscou pour lui faire epouser Julieie. [Мой милый, я знаю из верных источников, что князь Василий присылает своего сына в Москву, для того чтобы женить его на Жюли.] Я так люблю Жюли, что мне жалко бы было ее. Как ты думаешь, мой друг? – сказала Анна Михайловна.
Мысль остаться в дураках и даром потерять весь этот месяц тяжелой меланхолической службы при Жюли и видеть все расписанные уже и употребленные как следует в его воображении доходы с пензенских имений в руках другого – в особенности в руках глупого Анатоля, оскорбляла Бориса. Он поехал к Карагиным с твердым намерением сделать предложение. Жюли встретила его с веселым и беззаботным видом, небрежно рассказывала о том, как ей весело было на вчерашнем бале, и спрашивала, когда он едет. Несмотря на то, что Борис приехал с намерением говорить о своей любви и потому намеревался быть нежным, он раздражительно начал говорить о женском непостоянстве: о том, как женщины легко могут переходить от грусти к радости и что у них расположение духа зависит только от того, кто за ними ухаживает. Жюли оскорбилась и сказала, что это правда, что для женщины нужно разнообразие, что всё одно и то же надоест каждому.
– Для этого я бы советовал вам… – начал было Борис, желая сказать ей колкость; но в ту же минуту ему пришла оскорбительная мысль, что он может уехать из Москвы, не достигнув своей цели и даром потеряв свои труды (чего с ним никогда ни в чем не бывало). Он остановился в середине речи, опустил глаза, чтоб не видать ее неприятно раздраженного и нерешительного лица и сказал: – Я совсем не с тем, чтобы ссориться с вами приехал сюда. Напротив… – Он взглянул на нее, чтобы увериться, можно ли продолжать. Всё раздражение ее вдруг исчезло, и беспокойные, просящие глаза были с жадным ожиданием устремлены на него. «Я всегда могу устроиться так, чтобы редко видеть ее», подумал Борис. «А дело начато и должно быть сделано!» Он вспыхнул румянцем, поднял на нее глаза и сказал ей: – «Вы знаете мои чувства к вам!» Говорить больше не нужно было: лицо Жюли сияло торжеством и самодовольством; но она заставила Бориса сказать ей всё, что говорится в таких случаях, сказать, что он любит ее, и никогда ни одну женщину не любил более ее. Она знала, что за пензенские имения и нижегородские леса она могла требовать этого и она получила то, что требовала.
Жених с невестой, не поминая более о деревьях, обсыпающих их мраком и меланхолией, делали планы о будущем устройстве блестящего дома в Петербурге, делали визиты и приготавливали всё для блестящей свадьбы.