Уравнение Баркера

Уравнение Баркера — уравнение, в неявном виде, определяющее зависимость между положением небесного тела (истинной аномалией) и временем, при движении по параболической орбите. Данное уравнение широко применялось при изучении орбит комет, орбиты которых имеют эксцентриситет близкий к единице. В настоящее время это уравнение находит применение в астродинамике

Задача, приводящая к уравнению Баркера

Решение задачи двух тел дает уравнение траектории в полярных координатах в виде

<math>r = \frac{p}{1+e \, \cos\vartheta}</math>

где <math>p</math> - параметр орбиты; <math>e</math> - эксцентриситет орбиты; <math>\vartheta</math> - истинная аномалия - угол между радиус-вектором текущего положения тела и направлением на перицентр. С другой стороны, справедлив второй закон Кеплера

<math>r^2 \, \frac{d \vartheta}{dt} = c</math>

где <math>c</math> - константа площадей. Исходя их этих уравнений легко получить интеграл, связывающий время и истинную аномалию в точках <math>A_0</math> и <math>A_1</math> орбиты.

<math>t_1 - t_0 = \frac{p^2}{c} \, \int\limits_{\vartheta_0}^{\vartheta_1} \frac{d\vartheta}{\left(1 + e \, \cos\vartheta\right)^2} </math>

Способ вычисления данного интеграла зависит от величины эксцентриситета (см. Уравнение Кеплера). Для параболической траектории <math>e = 1</math>, в этом случае приходим к тривиальной цепочке преобразований

<math>t_1 - t_0 = \frac{p^2}{c} \, \int\limits_{\vartheta_0}^{\vartheta_1} \frac{d\vartheta}{\left(1 + \cos\vartheta\right)^2} = \frac{p^2}{4 \,c} \, \int\limits_{\vartheta_0}^{\vartheta_1} \left(1 + {\rm tg}^2 \frac{\vartheta}{2}\right)^2 \, d\vartheta = \left|{\rm tg} \frac{\vartheta}{2} = z, \, d\vartheta = \frac{2\,dz}{1 + z^2} \right| = \frac{p^2}{2 \,c} \int\limits_{{\rm tg} \frac{\vartheta_0}{2}}^{{\rm tg} \frac{\vartheta_1}{2}} \left(1 + z^2\right) \, dz = \frac{p^2}{2 \,c} \left[{\rm tg} \frac{\vartheta_1}{2} - {\rm tg} \frac{\vartheta_0}{2} + \frac{1}{3} \left({\rm tg}^3 \frac{\vartheta_1}{2} - {\rm tg}^3 \frac{\vartheta_0}{2} \right) \right]</math>

Учитывая, что параметр орбиты связан с константой площадей

<math>p = \frac{c^2}{\mu}</math>

где <math>\mu</math> - гравитационный параметр центрального тела, а константа площадей, в случае параболического движения

<math>c = r_{\pi} \, v_{\pi} = r_{\pi} \, \sqrt{\frac{2 \, \mu}{r_{\pi}}} </math>

где <math>r_{\pi}</math> - расстояние до перицентра; <math>v_{\pi}</math> - скорость в перицентре, при движении по параболе являющаяся параболической скоростью. Тогда, получаем для параметра орбиты <math>p = 2 \, r_{\pi}</math> и приходим к окончательному выражению

<math>t_1 -t _0 = r_{\pi} \sqrt{\frac{2 \, r_{\pi}}{\mu}} \left[{\rm tg} \frac{\vartheta_1}{2} - {\rm tg} \frac{\vartheta_0}{2} + \frac{1}{3} \left({\rm tg}^3 \frac{\vartheta_1}{2} - {\rm tg}^3 \frac{\vartheta_0}{2} \right) \right]</math>

Теперь примем, что начальная точка траектории - перицентр, значит <math>\vartheta_0 = 0</math> и преобразуем полученную зависимость к виду

<math>n \, \left(t - t_0\right) = {\rm tg} \frac{\vartheta}{2} + \frac{1}{3} {\rm tg}^3 \frac{\vartheta}{2}</math>

где <math>n = \sqrt{\frac{\mu}{2 \, r_{\pi}^3}}</math> - среднее движение небесного тела. В итоге, получаем кубическое уравнение вида

<math>S + \frac{1}{3} \, S^3 - M = 0 </math>

где <math>S = {\rm tg} \frac{\vartheta}{2}</math>, <math>M = n \, \left(t - t_0\right)</math> - средняя аномалия орбиты небесного тела. Данное уравнение называют уравнением Баркера.

Это уравнение представляет собой неявную зависимость истинной аномалии от времени <math>\vartheta(t)</math> при движении небесного тела по параболической траектории.

Решение уравнения Баркера

Уравнение

<math>S + \frac{S^3}{3} - M = 0</math>

является кубическим уравнением, записанным в канонической форме Кардано и имеет аналитическое решение. Средствами компьютерной алгебры легко получить это решение, содержащее один действительный и два комплексно-сопряженных корня

<math>S_1 = x + \frac{1}{x}, \quad S_{2,3} = -\frac{x}{2} + \frac{1}{2 \, x} \pm i \, \frac{\sqrt{3}}{2} \, \left(x + \frac{1}{x} \right) </math>

где <math>x = \frac{1}{2} \, \sqrt[3]{12 \, M + 4 \, \sqrt{9 \, M^2 + 4}}</math>

Физическому смыслу данной задачи соответствует только действительный корень, поэтому можно записать

<math>S = {\rm tg}\frac{\vartheta}{2}= x + \frac{1}{x}</math>

Имея этот корень, можно вычислить синус и косинус истинной аномалии

<math>\cos\vartheta = \frac{1-S^2}{1+S^2}, \quad \sin\vartheta = \frac{2 \, S}{1+S^2}\quad </math>

по которым, с учетом их знака, определяется истинная аномалия <math>\vartheta \in [0, \, 2 \, \pi)</math>

См. также

• Уравнение Кеплера
• Законы Кеплера
• Задача двух тел

Литература

1. С. Херрик. Астродинамика. Том 1. — М.: Мир, 1976. — С. 318.
2. А. Рой. Движение по орбитам. — М.: Мир, 1981. — С. 544.

Отрывок, характеризующий Уравнение Баркера

После своего свидания в Москве с Пьером князь Андреи уехал в Петербург по делам, как он сказал своим родным, но, в сущности, для того, чтобы встретить там князя Анатоля Курагина, которого он считал необходимым встретить. Курагина, о котором он осведомился, приехав в Петербург, уже там не было. Пьер дал знать своему шурину, что князь Андрей едет за ним. Анатоль Курагин тотчас получил назначение от военного министра и уехал в Молдавскую армию. В это же время в Петербурге князь Андрей встретил Кутузова, своего прежнего, всегда расположенного к нему, генерала, и Кутузов предложил ему ехать с ним вместе в Молдавскую армию, куда старый генерал назначался главнокомандующим. Князь Андрей, получив назначение состоять при штабе главной квартиры, уехал в Турцию.
Князь Андрей считал неудобным писать к Курагину и вызывать его. Не подав нового повода к дуэли, князь Андрей считал вызов с своей стороны компрометирующим графиню Ростову, и потому он искал личной встречи с Курагиным, в которой он намерен был найти новый повод к дуэли. Но в Турецкой армии ему также не удалось встретить Курагина, который вскоре после приезда князя Андрея в Турецкую армию вернулся в Россию. В новой стране и в новых условиях жизни князю Андрею стало жить легче. После измены своей невесты, которая тем сильнее поразила его, чем старательнее он скрывал ото всех произведенное на него действие, для него были тяжелы те условия жизни, в которых он был счастлив, и еще тяжелее были свобода и независимость, которыми он так дорожил прежде. Он не только не думал тех прежних мыслей, которые в первый раз пришли ему, глядя на небо на Аустерлицком поле, которые он любил развивать с Пьером и которые наполняли его уединение в Богучарове, а потом в Швейцарии и Риме; но он даже боялся вспоминать об этих мыслях, раскрывавших бесконечные и светлые горизонты. Его интересовали теперь только самые ближайшие, не связанные с прежними, практические интересы, за которые он ухватывался с тем большей жадностью, чем закрытое были от него прежние. Как будто тот бесконечный удаляющийся свод неба, стоявший прежде над ним, вдруг превратился в низкий, определенный, давивший его свод, в котором все было ясно, но ничего не было вечного и таинственного.
Из представлявшихся ему деятельностей военная служба была самая простая и знакомая ему. Состоя в должности дежурного генерала при штабе Кутузова, он упорно и усердно занимался делами, удивляя Кутузова своей охотой к работе и аккуратностью. Не найдя Курагина в Турции, князь Андрей не считал необходимым скакать за ним опять в Россию; но при всем том он знал, что, сколько бы ни прошло времени, он не мог, встретив Курагина, несмотря на все презрение, которое он имел к нему, несмотря на все доказательства, которые он делал себе, что ему не стоит унижаться до столкновения с ним, он знал, что, встретив его, он не мог не вызвать его, как не мог голодный человек не броситься на пищу. И это сознание того, что оскорбление еще не вымещено, что злоба не излита, а лежит на сердце, отравляло то искусственное спокойствие, которое в виде озабоченно хлопотливой и несколько честолюбивой и тщеславной деятельности устроил себе князь Андрей в Турции.
В 12 м году, когда до Букарешта (где два месяца жил Кутузов, проводя дни и ночи у своей валашки) дошла весть о войне с Наполеоном, князь Андрей попросил у Кутузова перевода в Западную армию. Кутузов, которому уже надоел Болконский своей деятельностью, служившей ему упреком в праздности, Кутузов весьма охотно отпустил его и дал ему поручение к Барклаю де Толли.
Прежде чем ехать в армию, находившуюся в мае в Дрисском лагере, князь Андрей заехал в Лысые Горы, которые были на самой его дороге, находясь в трех верстах от Смоленского большака. Последние три года и жизни князя Андрея было так много переворотов, так много он передумал, перечувствовал, перевидел (он объехал и запад и восток), что его странно и неожиданно поразило при въезде в Лысые Горы все точно то же, до малейших подробностей, – точно то же течение жизни. Он, как в заколдованный, заснувший замок, въехал в аллею и в каменные ворота лысогорского дома. Та же степенность, та же чистота, та же тишина были в этом доме, те же мебели, те же стены, те же звуки, тот же запах и те же робкие лица, только несколько постаревшие. Княжна Марья была все та же робкая, некрасивая, стареющаяся девушка, в страхе и вечных нравственных страданиях, без пользы и радости проживающая лучшие годы своей жизни. Bourienne была та же радостно пользующаяся каждой минутой своей жизни и исполненная самых для себя радостных надежд, довольная собой, кокетливая девушка. Она только стала увереннее, как показалось князю Андрею. Привезенный им из Швейцарии воспитатель Десаль был одет в сюртук русского покроя, коверкая язык, говорил по русски со слугами, но был все тот же ограниченно умный, образованный, добродетельный и педантический воспитатель. Старый князь переменился физически только тем, что с боку рта у него стал заметен недостаток одного зуба; нравственно он был все такой же, как и прежде, только с еще большим озлоблением и недоверием к действительности того, что происходило в мире. Один только Николушка вырос, переменился, разрумянился, оброс курчавыми темными волосами и, сам не зная того, смеясь и веселясь, поднимал верхнюю губку хорошенького ротика точно так же, как ее поднимала покойница маленькая княгиня. Он один не слушался закона неизменности в этом заколдованном, спящем замке. Но хотя по внешности все оставалось по старому, внутренние отношения всех этих лиц изменились, с тех пор как князь Андрей не видал их. Члены семейства были разделены на два лагеря, чуждые и враждебные между собой, которые сходились теперь только при нем, – для него изменяя свой обычный образ жизни. К одному принадлежали старый князь, m lle Bourienne и архитектор, к другому – княжна Марья, Десаль, Николушка и все няньки и мамки.