Уравнение Бете — Солпитера

Уравнение Бете — Солпитера, названое в честь Х. Бете и Э. Солпитера, описывает связанные состояния двухчастичной квантовополевой системы в релятивистски ковариантной форме. Уравнение было впервые опубликовано в 1950 году в конце статьи Иоихиро Намбу (Yoichiro Nambu), но без вывода.

Интегральная форма записи уравнения Бете-Солпитера

Основным методом решения задач со взаимодействием, бесспорно, является теория возмущений, однако это далеко не единственный метод. Существуют, так называемые, непертурбативные методы и один из них ведет к уравнению Бете-Солпитера. Рассматривается система двух связанных фермионов. В свободной теории, как известно, для одночастичной волновой функции <math> \psi_{a} </math> (где <math>a</math> - спинорный индекс) пропагатор определяется следующим образом:

<math> \psi(x_{2})=-i\int{d\sigma{(x_{1})}S_{F}{(x_{2},x_{1})}n\!\!\!/(x_{1})\psi(x_{1})} </math>,

Тут используется запись с использованием «перечёркнутых матриц», <math> n(x_{1}) </math> — 4-х вектор внешней нормали. Интегрирование ведется по поверхности объема, включающего в себя событие <math> x_{2} </math>, <math> S_{F} </math>. — фейнмановский пропагатор.В случае невзаимодействующих частиц он определяется как решение следующего уравнения:

<math> (i\nabla\!\!\!/'-m_{0})S_{F}=\delta^{4}(x'-x)\qquad ( 1 ) </math>,

Аналогично пропагатору для одночастичной волновой функции, можно определить пропагатор для двучастичной волновой функции следующим выражением:

<math> \psi_{ab}(x_{3},x_{4})=\int{d\sigma{(x_{1})}d\sigma{(x_{2})}S^{ab}{(x_{3},x_{1}x_{4},x_{2})}n\!\!\!/(x_{1})n\!\!\!/(x_{2})\psi_{ab}(x_{1},x_{2})} \qquad ( 2 ) </math>,

Здесь <math> \psi_{ab} </math> — спинор, обладающий двумя спинорными индексами <math> a,b </math>. В случае невзаимодействующих частиц, двучастичная волновая функция распадается в произведение одночастичных,а пропагатор в произведение пропагаторов:

<math> S^{0ab}(x_{3},x_{4};x_{1},x_{2})=iS_{F}^{a}(x_{3},x_{1})S_{F}^{b}(x_{4},x_{2}) </math>

Однако это самый тривиальный случай. Теперь же "включим" электромагнитное взаимодействие между двумя частицами. Если бы мы следовали идеологии теории возмущений, то получили бы, следуя Фейнману, <math> S^{ab} </math> представляется в виде:

<math> S^{ab}(x_{3},x_{4};x_{1},x_{2})=iS_{F}^{a}(x_{3},x_{1})S_{F}^{b}(x_{4},x_{2})+\Sigma </math>

Под <math> \Sigma </math> понимается сумма всевозможных диаграмм, получаемых из теории возмущения. Основная идея, приводящая к уравнению заключается в том, что всю сумму диаграмм мы обозначаем, как некоторое ядро <math> K </math>. Мы будем называть диаграмму приводимой, если после удаления двух фермионных линий она становится несвязной. Тогда <math> K </math> можно представить в виде суммы двух вкладов: вклада приводимых диаграмм и вклада неприводимых диаграмм <math> \overline{K} </math>. Можно показать, что выражение для <math> S^{ab}(x_{3},x_{4};x_{1},x_{2}) </math> может быть переписано как:<math> S^{ab}(x_{3},x_{4};x_{1},x_{2})=iS_{F}^{a}(x_{3},x_{1})S_{F}^{b}(x_{4},x_{2})+\int{d^{4}x_{5}d^{4}x_{6}d^{4}x_{7}d^{4}x_{8}\cdot iS^{a}_{F}(x_{3},x_{5})iS^{b}_{F}(x_{4},x_{6})\overline{K}^{ab}(x_{5},x_{6};x_{7},x_{8})S^{ab}(x_{7},x_{8};x_{1},x_{2})} </math>

Подставляя это выражение в <math> ( 2 ) </math> получаем уравнение Бете-Солпитера:

<math> \psi_{ab}(x_{1},x_{2})=\varphi_{ab}(x_{1},x_{2})+\int{d^{4}x_{3}d^{4}x_{4}d^{4} x_{5} d^{4}x_{6}\cdot iS^{a}_{F}(x_{1},x_{5})iS^{b}_{F}(x_{2},x_{6})\overline{K}^{ab}(x_{5},x_{6};x_{3},x_{4})\psi_{ab}(x_{3},x_{4})}\qquad ( 3 ) </math>

В этом выражении <math> \varphi_{ab} </math> — свободная двучастичная волновая функция, то есть волновая функция в отсутствии взаимодействия между частицами. Таким образом, получили интегральное уравнение Фредгольма II рода.

Интегро-дифференциальная форма записи уравнения Бете-Солпитера. Запись в p-пространстве.

Подействуем теперь на уравнение Бете-Солпитера операторами <math> (i\nabla\!\!\!/_{1}-m_{a}),(i\nabla\!\!\!/_{2}-m_{b}) </math>, в силу <math> ( 1 ) </math> получим следующее выражение:

<math> (i\nabla\!\!\!/_{1}-m_{a})(i\nabla\!\!\!/_{2}-m_{b})\psi_{ab}(x_{1},x_{2})=-\int{d^{4}x_{3}d^{4}x_{4}\overline{K}^{ab}(x_{1},x_{2};x_{3},x_{4})\psi_{ab}(x_{3},x_{4})} </math>

Соответственно вместо интегрального уравнения типа Фредгольма, мы получаем интегро-дифференциальное уравнение на двухчастичную волновую функцию <math> \psi_{ab}(x_{1},x_{2}) </math>. Ещё одной возможной формой записи уравнения Бете-Солпитера, является запись в импульсном пространстве, а именно, определим преобразование Фурье двухчастичной волновой функции <math> \psi_{ab}(x_{1},x_{2}) </math> следующим образом:

<math> \chi_{ab}(p_{1},p_{2})=\frac{1}{(2\pi)^{4}}\int{d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}\cdot e^{i(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2})}\psi_{ab}{(x_{1},x_{2})}} </math>

Фурье преобразования самого уравнения Бете-Солпитера запишется следующим образом:

<math> \frac{1}{(2\pi)^{4}}\int{d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}e^{i(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2})}(i\nabla\!\!\!/_{1}-m_{a})(i\nabla\!\!\!/_{2}-m_{b})\psi_{ab}(x_{1},x_{2})}=-\frac{1}{(2\pi)^{4}}\int{d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}d^{4}x_{3}d^{4}x_{4}e^{i(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2})}\overline{K}^{ab}(x_{1},x_{2};x_{3},x_{4})\psi_{ab}(x_{3},x_{4})} </math>

В левой части можно перенести градиенты на экспоненту при помощи интегрирования по частям. Также добавим в правую часть две дельта-функции. Получим:

<math> \frac{1}{(2\pi)^{4}}\int{d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}\left[(i\nabla\!\!\!/_{1}-m_{a})(i\nabla\!\!\!/_{2}-m_{b})e^{i(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2})}\right]\psi_{ab}(x_{1},x_{2})}=</math><math>=-\frac{1}{(2\pi)^{4}}\int{d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}d^{4}x_{3}d^{4}x_{4}d^{4}x'_{3}d^{4}x'_{4}e^{i(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2})}\delta^{4}(x'_{3}-x_{3})\delta^{4}(x'_{4}-x_{4})\overline{K}^{ab}(x_{1},x_{2};x'_{3},x'_{4})\psi_{ab}(x_{3},x_{4})}</math>

Используя импульсное представление дельта-функций со штрихованными переменными мы можем переписать ядро <math>\overline{K}^{ab}</math> в импульсном представлении, а именно:

<math>\overline{K}^{ab}(p_{1},p_{2};p_{3},p_{4})=\frac{1}{(2\pi)^{8}}\int{d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}d^{4}x_{3}d^{4}x_{4}e^{i(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}-p_{3}x_{3}-p_{4}x_{4})}\overline{K}^{ab}(x_{1},x_{2};x_{3},x_{4})}</math>

Используя это, мы получаем уравнение Бете-Солпитера в импульсной форме:

<math>(\cancel{p}_{1}-m_{a})(\cancel{p}_{2}-m_{b})\chi_{ab}(p_{1},p_{2})=-\int{d^{4}p'_{1}d^{4}p'_{2}\overline{K}^{ab}(p_{1},p_{2};p'_{1},p'_{2})\chi_{ab}(p'_{1},p'_{2})}</math>

Другие представления

В связи со своей общностью и тем, что оно применяется во многих разделах теоретической физики, уравнение Бете — Солпитера можно встретить в разных формах. Одной из форм, часто используемой в физике высоких энергий, является:

<math> \Gamma(P,p) =\int\!\frac{d^4k}{(2\pi)^4} \; K(P,p,k)\, S(k-\tfrac{P}{2}) \,\Gamma(P,k)\, S(k+\tfrac{P}{2}) </math>,

где <math> \Gamma </math> — амплитуда Бете — Солпитера, <math> K </math> описывает взаимодействие двух частиц, а <math> S </math> — их пропагатор.

Так как данное уравнение может быть получено путём отождествления связанных состояний с полюсами S-матрицы, то его можно связать с квантовым описанием процессов рассеяния и функциями Грина.

Даже для простых систем, таких как позитроний, уравнение не может быть решено точно, хотя в принципе оно сформулировано точно. К счастью, классификация состояний может быть проведена без использования точного решения. Если одна частица гораздо массивнее другой, то задача значительно упрощается, и в этом случае решается уравнение Дирака для лёгкой частицы, находящейся, во внешнем потенциале, создаваемом тяжёлой частицей.

Литература

• W. Greiner, J. Reinhardt. Quantum Electrodynamics. — 3rd. — Springer (publisher), 2003. — ISBN 978-3-540-44029-1.
• N. Nakanishi A general survey of the theory of the Bethe–Salpeter equation (англ.) // Progress of Theoretical Physics. — 1969. — Vol. 43. — P. 1–81. — DOI:10.1143/PTPS.43.1.
• Н.Н Боголюбов, Д.В Ширков, Введение в теорию квантованных полей,1973

Отрывок, характеризующий Уравнение Бете — Солпитера

В торговом отношении, на провозглашение трудолюбивым ремесленникам и всем крестьянам не последовало никакого ответа. Трудолюбивых ремесленников не было, а крестьяне ловили тех комиссаров, которые слишком далеко заезжали с этим провозглашением, и убивали их.
В отношении увеселений народа и войска театрами, дело точно так же не удалось. Учрежденные в Кремле и в доме Познякова театры тотчас же закрылись, потому что ограбили актрис и актеров.
Благотворительность и та не принесла желаемых результатов. Фальшивые ассигнации и нефальшивые наполняли Москву и не имели цены. Для французов, собиравших добычу, нужно было только золото. Не только фальшивые ассигнации, которые Наполеон так милостиво раздавал несчастным, не имели цены, но серебро отдавалось ниже своей стоимости за золото.
Но самое поразительное явление недействительности высших распоряжений в то время было старание Наполеона остановить грабежи и восстановить дисциплину.
Вот что доносили чины армии.
«Грабежи продолжаются в городе, несмотря на повеление прекратить их. Порядок еще не восстановлен, и нет ни одного купца, отправляющего торговлю законным образом. Только маркитанты позволяют себе продавать, да и то награбленные вещи».
«La partie de mon arrondissement continue a etre en proie au pillage des soldats du 3 corps, qui, non contents d'arracher aux malheureux refugies dans des souterrains le peu qui leur reste, ont meme la ferocite de les blesser a coups de sabre, comme j'en ai vu plusieurs exemples».
«Rien de nouveau outre que les soldats se permettent de voler et de piller. Le 9 octobre».
«Le vol et le pillage continuent. Il y a une bande de voleurs dans notre district qu'il faudra faire arreter par de fortes gardes. Le 11 octobre».
[«Часть моего округа продолжает подвергаться грабежу солдат 3 го корпуса, которые не довольствуются тем, что отнимают скудное достояние несчастных жителей, попрятавшихся в подвалы, но еще и с жестокостию наносят им раны саблями, как я сам много раз видел».
«Ничего нового, только что солдаты позволяют себе грабить и воровать. 9 октября».
«Воровство и грабеж продолжаются. Существует шайка воров в нашем участке, которую надо будет остановить сильными мерами. 11 октября».]
«Император чрезвычайно недоволен, что, несмотря на строгие повеления остановить грабеж, только и видны отряды гвардейских мародеров, возвращающиеся в Кремль. В старой гвардии беспорядки и грабеж сильнее, нежели когда либо, возобновились вчера, в последнюю ночь и сегодня. С соболезнованием видит император, что отборные солдаты, назначенные охранять его особу, долженствующие подавать пример подчиненности, до такой степени простирают ослушание, что разбивают погреба и магазины, заготовленные для армии. Другие унизились до того, что не слушали часовых и караульных офицеров, ругали их и били».
«Le grand marechal du palais se plaint vivement, – писал губернатор, – que malgre les defenses reiterees, les soldats continuent a faire leurs besoins dans toutes les cours et meme jusque sous les fenetres de l'Empereur».
[«Обер церемониймейстер дворца сильно жалуется на то, что, несмотря на все запрещения, солдаты продолжают ходить на час во всех дворах и даже под окнами императора».]
Войско это, как распущенное стадо, топча под ногами тот корм, который мог бы спасти его от голодной смерти, распадалось и гибло с каждым днем лишнего пребывания в Москве.
Но оно не двигалось.
Оно побежало только тогда, когда его вдруг охватил панический страх, произведенный перехватами обозов по Смоленской дороге и Тарутинским сражением. Это же самое известие о Тарутинском сражении, неожиданно на смотру полученное Наполеоном, вызвало в нем желание наказать русских, как говорит Тьер, и он отдал приказание о выступлении, которого требовало все войско.
Убегая из Москвы, люди этого войска захватили с собой все, что было награблено. Наполеон тоже увозил с собой свой собственный tresor [сокровище]. Увидав обоз, загромождавший армию. Наполеон ужаснулся (как говорит Тьер). Но он, с своей опытностью войны, не велел сжечь всо лишние повозки, как он это сделал с повозками маршала, подходя к Москве, но он посмотрел на эти коляски и кареты, в которых ехали солдаты, и сказал, что это очень хорошо, что экипажи эти употребятся для провианта, больных и раненых.
Положение всего войска было подобно положению раненого животного, чувствующего свою погибель и не знающего, что оно делает. Изучать искусные маневры Наполеона и его войска и его цели со времени вступления в Москву и до уничтожения этого войска – все равно, что изучать значение предсмертных прыжков и судорог смертельно раненного животного. Очень часто раненое животное, заслышав шорох, бросается на выстрел на охотника, бежит вперед, назад и само ускоряет свой конец. То же самое делал Наполеон под давлением всего его войска. Шорох Тарутинского сражения спугнул зверя, и он бросился вперед на выстрел, добежал до охотника, вернулся назад, опять вперед, опять назад и, наконец, как всякий зверь, побежал назад, по самому невыгодному, опасному пути, но по знакомому, старому следу.
Наполеон, представляющийся нам руководителем всего этого движения (как диким представлялась фигура, вырезанная на носу корабля, силою, руководящею корабль), Наполеон во все это время своей деятельности был подобен ребенку, который, держась за тесемочки, привязанные внутри кареты, воображает, что он правит.


6 го октября, рано утром, Пьер вышел из балагана и, вернувшись назад, остановился у двери, играя с длинной, на коротких кривых ножках, лиловой собачонкой, вертевшейся около него. Собачонка эта жила у них в балагане, ночуя с Каратаевым, но иногда ходила куда то в город и опять возвращалась. Она, вероятно, никогда никому не принадлежала, и теперь она была ничья и не имела никакого названия. Французы звали ее Азор, солдат сказочник звал ее Фемгалкой, Каратаев и другие звали ее Серый, иногда Вислый. Непринадлежание ее никому и отсутствие имени и даже породы, даже определенного цвета, казалось, нисколько не затрудняло лиловую собачонку. Пушной хвост панашем твердо и кругло стоял кверху, кривые ноги служили ей так хорошо, что часто она, как бы пренебрегая употреблением всех четырех ног, поднимала грациозно одну заднюю и очень ловко и скоро бежала на трех лапах. Все для нее было предметом удовольствия. То, взвизгивая от радости, она валялась на спине, то грелась на солнце с задумчивым и значительным видом, то резвилась, играя с щепкой или соломинкой.
Одеяние Пьера теперь состояло из грязной продранной рубашки, единственном остатке его прежнего платья, солдатских порток, завязанных для тепла веревочками на щиколках по совету Каратаева, из кафтана и мужицкой шапки. Пьер очень изменился физически в это время. Он не казался уже толст, хотя и имел все тот же вид крупности и силы, наследственной в их породе. Борода и усы обросли нижнюю часть лица; отросшие, спутанные волосы на голове, наполненные вшами, курчавились теперь шапкою. Выражение глаз было твердое, спокойное и оживленно готовое, такое, какого никогда не имел прежде взгляд Пьера. Прежняя его распущенность, выражавшаяся и во взгляде, заменилась теперь энергической, готовой на деятельность и отпор – подобранностью. Ноги его были босые.