Модель Блэка — Шоулза
<imagemap>: неверное или отсутствующее изображение |
Для улучшения этой статьи желательно?:
|
Модель ценообразования опционов Блэка – Шоулза (англ. Black–Scholes Option Pricing Model, OPM) — это модель, которая определяет теоретическую цену на европейские опционы, подразумевающая, что если базовый актив торгуется на рынке, то цена опциона на него неявным образом уже устанавливается самим рынком. Данная модель получила широкое распространение на практике и, помимо всего прочего, может также использоваться для оценки всех производных бумаг, включая варранты, конвертируемые ценные бумаги, и даже для оценки собственного капитала финансово зависимых фирм.
Согласно Модели Блэка – Шоулза, ключевым элементом определения стоимости опциона является ожидаемая волатильность базового актива. В зависимости от колебания актива, цена на него возрастает или понижается, что прямопропорционально влияет на стоимость опциона. Таким образом, если известна стоимость опциона, то можно определить уровень волатильности ожидаемой рынком [1].
История
Формула модели оценки опционов впервые была выведена Фишером Блэком и Майроном Шоулзом в 1973 году в статье «Оценка опционов и коммерческих облигаций» (The Pricing of Options and Corporate Liabilities). Их исследования основывались на предыдущих работах Джека Трейнора, Пола Самуэльсона, Джеймса Бонеса, Шина Кассуфа и Эдварда Торпа и разрабатывались в период быстрого роста опционной торговли.
Семь допущений теории
Чтобы вывести свою модель ценообразования опционов, Блэк и Шоулз сделали следующие предположения:
- По базисному активу опциона дивиденды не выплачиваются в течение всего срока действия опциона.
- Нет транзакционных затрат, связанных с покупкой или продажей акции или опциона.
- Краткосрочная безрисковая процентная ставка известна и является постоянной в течение всего срока действия опциона.
- Любой покупатель ценной бумаги может получать ссуды по краткосрочной безрисковой ставке для оплаты любой части её цены.
- Короткая продажа разрешается без ограничений, и при этом продавец получит немедленно всю наличную сумму за проданную без покрытия ценную бумагу по сегодняшней цене.
- Торговля ценными бумагами (базовым активом) ведется непрерывно, и поведение их цены подчиняется модели геометрического броуновского движения с известными параметрами (в частности, эти параметры являются постоянными в течение всего срока действия опциона).
- Не существует возможности арбитража.
Вывод модели основывается на концепции безрискового хеджирования. Покупая акции и одновременно продавая опционы call на эти акции, инвестор может конструировать безрисковую позицию, где прибыли по акциям будут точно компенсировать убытки по опционам, и наоборот.
Безрисковая хеджированная позиция должна приносить доход по ставке, равной безрисковой процентной ставке, в противном случае существовала бы возможность извлечения арбитражной прибыли и инвесторы, пытаясь получить преимущества от этой возможности, приводили бы цену опциона к равновесному уровню, который определяется моделью.
Формулы
Цена (европейского) опциона call:
- <math> C(S,t) = SN(d_1) - Ke^{-r(T - t)}N(d_2),</math> где
- <math> d_1 = \frac{\ln(S/K) + (r + \sigma^2/2)(T - t)}{\sigma\sqrt{T - t}}, </math>
- <math> d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T - t}. </math>
Цена (европейского) опциона put:
- <math> P(S,t) = Ke^{-r(T-t)}N(-d_2) - SN(-d_1).</math>
Обозначения:
- <math> C(S,t) </math> — текущая стоимость опциона call в момент t до истечения срока опциона;
- <math> S </math> — текущая цена базисной акции;
- <math> N(x) </math> — функция распределения стандартного нормального распределения.
- <math> K </math> — цена исполнения опциона;
- <math> r </math> — безрисковая процентная ставка;
- <math> T - t </math> — время до истечения срока опциона (период опциона);
- <math> \sigma </math> — волатильность доходности (квадратный корень из дисперсии) базисной акции.
«Греки»
Для характеристики чувствительности цены (премии) опциона к изменению тех или иных величин, применяют различные коэффициенты, называемые «греками». Название происходит от греческого алфавита, буквами которого обозначаются эти коэффициенты (за исключением «веги»). «Греки» в рамках модели Блэка – Шоулза вычисляются явным образом:
| «Грек» | Что | Опционы call | Опционы put |
|---|---|---|---|
| дельта | <math> \frac{\partial c}{\partial S} </math> | <math> N(d_1)</math> | <math> - N( - d_1) = N(d_1)-1</math> |
| гамма | <math> \frac{\partial^2 c}{\partial S^2} </math> | <math> \frac{N'(d_1)}{S\sigma\sqrt{T-t}}</math> | |
| вега[2][3] | <math> \frac{\partial c}{\partial \sigma} </math> | <math> S N'(d_1) \sqrt{T-t}</math> | |
| тета | <math> \frac{\partial c}{\partial t}</math> | <math> - \frac{S N'(d_1) \sigma}{2 \sqrt{T-t}} - rKe^{-r(T-t)}N(d_2)</math> | <math> - \frac{S N'(d_1) \sigma}{2 \sqrt{T-t}} + rKe^{-r(T-t)}N(-d_2)</math> |
| ро[3] | <math> \frac{\partial c}{\partial r} </math> | <math> K(T-t)e^{-r(T-t)}N(d_2)</math> | <math> -K(T-t)e^{-r(T-t)}N(-d_2)</math> |
Примечательно, что формулы гамма и вега одинаковы для опционов пут и колл, что является логическим выводом теории паритета опционов пут и колл.
Например, знание коэффициентов «дельта» <math>\Delta</math> и «гамма» <math>\Gamma</math> позволяют оценить изменение цены (премии) опциона <math>\delta c</math> при изменении цены финансового инструмента <math>\delta S</math>, лежащего в основе опциона:
- <math>\delta c \approx \Delta \cdot \delta S + \Gamma\,\frac{(\delta S)^2}{2}.</math>
Эта формула получается при помощи разложения в ряд Тейлора цены опциона <math>c(S)</math>. Аналогично, чем больше «тета», тем быстрее происходит временной распад опциона, и т. д.
Напишите отзыв о статье "Модель Блэка — Шоулза"
Примечания
- ↑ Roger Lowenstein, «When genious failed» chapter 7 «Bank of volatility», p.124
- ↑ Не является греческой буквой.
- ↑ 1 2 так называемый bastard greek. Русского перевода данному термину нет, смысл заключается в том, что дифференцирование осуществляется по параметру, который считался константой при выводе формулы. Поэтому использование bastard greeks может привести к серьезным ошибкам при торговле и управлении рисками
Источники
- [investocks.ru/model-cenoobrazovaniya-opcionov-bleka-shoulza-black-scholes-option-pricing-model/]
Отрывок, характеризующий Модель Блэка — Шоулза
Солдат в движении так же окружен, ограничен и влеком своим полком, как моряк кораблем, на котором он находится. Как бы далеко он ни прошел, в какие бы странные, неведомые и опасные широты ни вступил он, вокруг него – как для моряка всегда и везде те же палубы, мачты, канаты своего корабля – всегда и везде те же товарищи, те же ряды, тот же фельдфебель Иван Митрич, та же ротная собака Жучка, то же начальство. Солдат редко желает знать те широты, в которых находится весь корабль его; но в день сражения, Бог знает как и откуда, в нравственном мире войска слышится одна для всех строгая нота, которая звучит приближением чего то решительного и торжественного и вызывает их на несвойственное им любопытство. Солдаты в дни сражений возбужденно стараются выйти из интересов своего полка, прислушиваются, приглядываются и жадно расспрашивают о том, что делается вокруг них.Туман стал так силен, что, несмотря на то, что рассветало, не видно было в десяти шагах перед собою. Кусты казались громадными деревьями, ровные места – обрывами и скатами. Везде, со всех сторон, можно было столкнуться с невидимым в десяти шагах неприятелем. Но долго шли колонны всё в том же тумане, спускаясь и поднимаясь на горы, минуя сады и ограды, по новой, непонятной местности, нигде не сталкиваясь с неприятелем. Напротив того, то впереди, то сзади, со всех сторон, солдаты узнавали, что идут по тому же направлению наши русские колонны. Каждому солдату приятно становилось на душе оттого, что он знал, что туда же, куда он идет, то есть неизвестно куда, идет еще много, много наших.
– Ишь ты, и курские прошли, – говорили в рядах.
– Страсть, братец ты мой, что войски нашей собралось! Вечор посмотрел, как огни разложили, конца краю не видать. Москва, – одно слово!
Хотя никто из колонных начальников не подъезжал к рядам и не говорил с солдатами (колонные начальники, как мы видели на военном совете, были не в духе и недовольны предпринимаемым делом и потому только исполняли приказания и не заботились о том, чтобы повеселить солдат), несмотря на то, солдаты шли весело, как и всегда, идя в дело, в особенности в наступательное. Но, пройдя около часу всё в густом тумане, большая часть войска должна была остановиться, и по рядам пронеслось неприятное сознание совершающегося беспорядка и бестолковщины. Каким образом передается это сознание, – весьма трудно определить; но несомненно то, что оно передается необыкновенно верно и быстро разливается, незаметно и неудержимо, как вода по лощине. Ежели бы русское войско было одно, без союзников, то, может быть, еще прошло бы много времени, пока это сознание беспорядка сделалось бы общею уверенностью; но теперь, с особенным удовольствием и естественностью относя причину беспорядков к бестолковым немцам, все убедились в том, что происходит вредная путаница, которую наделали колбасники.
– Что стали то? Аль загородили? Или уж на француза наткнулись?
– Нет не слыхать. А то палить бы стал.
– То то торопили выступать, а выступили – стали без толку посереди поля, – всё немцы проклятые путают. Эки черти бестолковые!
– То то я бы их и пустил наперед. А то, небось, позади жмутся. Вот и стой теперь не емши.
– Да что, скоро ли там? Кавалерия, говорят, дорогу загородила, – говорил офицер.
– Эх, немцы проклятые, своей земли не знают, – говорил другой.
– Вы какой дивизии? – кричал, подъезжая, адъютант.
– Осьмнадцатой.
– Так зачем же вы здесь? вам давно бы впереди должно быть, теперь до вечера не пройдете.
– Вот распоряжения то дурацкие; сами не знают, что делают, – говорил офицер и отъезжал.
Потом проезжал генерал и сердито не по русски кричал что то.
– Тафа лафа, а что бормочет, ничего не разберешь, – говорил солдат, передразнивая отъехавшего генерала. – Расстрелял бы я их, подлецов!
– В девятом часу велено на месте быть, а мы и половины не прошли. Вот так распоряжения! – повторялось с разных сторон.
И чувство энергии, с которым выступали в дело войска, начало обращаться в досаду и злобу на бестолковые распоряжения и на немцев.
Причина путаницы заключалась в том, что во время движения австрийской кавалерии, шедшей на левом фланге, высшее начальство нашло, что наш центр слишком отдален от правого фланга, и всей кавалерии велено было перейти на правую сторону. Несколько тысяч кавалерии продвигалось перед пехотой, и пехота должна была ждать.
Впереди произошло столкновение между австрийским колонновожатым и русским генералом. Русский генерал кричал, требуя, чтобы остановлена была конница; австриец доказывал, что виноват был не он, а высшее начальство. Войска между тем стояли, скучая и падая духом. После часовой задержки войска двинулись, наконец, дальше и стали спускаться под гору. Туман, расходившийся на горе, только гуще расстилался в низах, куда спустились войска. Впереди, в тумане, раздался один, другой выстрел, сначала нескладно в разных промежутках: тратта… тат, и потом всё складнее и чаще, и завязалось дело над речкою Гольдбахом.
Не рассчитывая встретить внизу над речкою неприятеля и нечаянно в тумане наткнувшись на него, не слыша слова одушевления от высших начальников, с распространившимся по войскам сознанием, что было опоздано, и, главное, в густом тумане не видя ничего впереди и кругом себя, русские лениво и медленно перестреливались с неприятелем, подвигались вперед и опять останавливались, не получая во время приказаний от начальников и адъютантов, которые блудили по туману в незнакомой местности, не находя своих частей войск. Так началось дело для первой, второй и третьей колонны, которые спустились вниз. Четвертая колонна, при которой находился сам Кутузов, стояла на Праценских высотах.
