Кинетическое уравнение Больцмана

Уравне́ние Бо́льцмана (кинети́ческое уравнение Больцмана) — уравнение, названное по имени Людвига Больцмана, который его впервые рассмотрел, и описывающее статистическое распределение частиц в газе или жидкости. Является одним из самых важных уравнений физической кинетики (области статистической физики, которая описывает системы, далёкие от термодинамического равновесия, например, в присутствии градиентов температур и электрического поля). Уравнение Больцмана используется для изучения переноса тепла и электрического заряда в жидкостях и газах, и из него выводятся транспортные свойства, такие как электропроводность, эффект Холла, вязкость и теплопроводность. Уравнение применимо для разреженных систем, где время взаимодействия между частицами мало (гипотеза молекулярного хаоса).

Формулировка

Уравнение Больцмана описывает эволюцию во времени (t) функции распределения плотности f(x, p, t) в одночастичном фазовом пространстве, где x и p — координата и импульс соответственно. Распределение определяется так, что

<math>f(\mathbf{x},\mathbf{p},t)\,d^3x\,d^3p</math>

пропорционально числу частиц в фазовом объёме d³x d³p в момент времени t. Уравнение Больцмана

<math>

\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}} \cdot \frac{\mathbf{p}}{m} + \frac{\partial f}{\partial \mathbf{p}} \cdot \mathbf{F} = \left. \frac{d f}{d t} \right|_{\mathrm{coll}}. </math> Здесь F(x, t) — поле сил, действующее на частицы в жидкости или газе, а m — масса частиц. Слагаемое в правой части уравнения добавлено для учёта столкновений между частицами и называется интегралом столкновений. Если оно равно нулю, то частицы не сталкиваются вовсе. Этот случай часто называют одночастичным уравнением Лиувилля. Если поле сил F(x, t) заменить подходящим самосогласованным полем, зависящим от функции распределения <math>f</math>, то получим уравнение Власова, описывающее динамику заряженных частиц плазмы в самосогласованном поле. Классическое же уравнение Больцмана используется в физике плазмы, а также в физике полупроводников и металлов (для описания кинетических явлений, то есть переноса заряда или тепла, в электронной жидкости).

В гамильтоновой механике уравнение Больцмана часто записывается в более общем виде

<math>\hat{\mathbf{L}}[f]=\mathbf{C}[f]</math>,

где L — оператор Лиувилля, описывающий эволюцию объёма фазового пространства и C — оператор столкновений. Нерелятивистская форма L <math>\hat{\mathbf{L}}_\mathrm{NR}=\frac{\partial}{\partial t}+\frac{\mathbf{p}}{m}\cdot\nabla_\mathbf{x}+\frac{\mathbf{F}}{m}\cdot\nabla_\mathbf{p},</math> а в общей теории относительности

<math>\hat{\mathbf{L}}_\mathrm{GR}=\sum_\alpha p^\alpha\frac{\partial}{\partial x^\alpha}-\sum_{\alpha\beta\gamma}\Gamma^{\alpha}{}_{\beta\gamma}p^\beta p^\gamma\frac{\partial}{\partial p^\alpha},</math>

где Γ — символ Кристоффеля.

Интеграл столкновений

Столкновения между частицами приводит к изменению их скоростей. Если <math> W(\mathbf{v},\mathbf{v}^\prime)d^3v^\prime dt </math> задает вероятность рассеяния частицы из состояния со скоростью <math> \mathbf{v}</math> в состояние со скоростью <math> \mathbf{v}^\prime</math>, то интеграл столкновений для классических частиц записывается в виде

<math> \left.\frac{\partial f}{\partial t}\right|_{coll}=\int_{\mathbf{v}^\prime} [f(t, \mathbf{r}, \mathbf{v}^\prime) W(\mathbf{v}^\prime,\mathbf{v}) -

f(t, \mathbf{r}, \mathbf{v}) W(\mathbf{v},\mathbf{v}^\prime)]d^3v^\prime </math>.

В случае квантового характера статистики частиц это выражение осложняется невозможностью двух частиц находиться в состоянии с одинаковыми квантовыми числами, а поэтому нужно учитывать невозможность рассеяния в занятые состояния.

Приближение времени релаксации

Уравнения Больцмана - сложное интегродифференциальное уравнение в частных производных. Кроме того, интеграл столкновений зависит от конкретной системы, от типа взаимодействия между частицами и других факторов. Нахождение общих характеристик неравновесных процессов - непростое дело. Однако известно, что в состоянии термодинамического равновесия интеграл столкновений равен нулю. Действительно, в состоянии равновесия в однородной системе при отсутствии внешних полей все производные в левой части уравнения Больцмана равны нулю, поэтому интеграл столкновений тоже должен равняться нулю. При малых отклонениях от равновесия функцию распределения можно представить в виде

<math> f = f_0 + f_1</math>,

где <math> f_0(\mathbf{v}) </math> - равновесная функция распределения, зависит только от скоростей частиц и известная из термодинамики , а <math> f_1 </math> - небольшое отклонение.

В этом случае можно разложить интеграл столкновений в ряд Тейлора относительно функции <math> f_1 </math>, и записать его в виде:

<math> - \frac{f_1}{\tau} = - \frac{f-f_0}{\tau} </math>,

где τ - время релаксации. Такое приближение называется приближением времени релаксации или моделью интеграла столкновений Батнагара-Гросса-Крука (BGK-model). Время релаксации, входящее в уравнения Больцмана, зависит от скорости частиц, а следовательно энергии. Время релаксации можно рассчитать для конкретной системы с конкретным процессами рассеяния частиц.

Уравнения Больцмана в приближении времени релаксации записывается в виде

<math> \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla f +\frac{\mathbf{F}}{m}\cdot \nabla_{\mathbf{v}} f

= - \frac{f- f_0}{\tau} </math>.

Вывод уравнения Больцмана

Микроскопический вывод уравнения Больцмана из первых принципов (исходя из точного уравнения Лиувилля для всех частиц среды) производится путём обрыва цепочки уравнений Боголюбова на уровне парной корреляционной функции для классических и квантовыхсистем. Учёт в цепочке кинетических уравнений корреляционных функций более высокого порядка позволяет находить поправки к уравнению Больцмана.

См. также

• H-теорема
• Цепочка уравнений Боголюбова

Ссылки

• [postnauka.ru/books/236 5 книг о Больцмане и его уравнении]

Литература

• Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. — М.: Мир, 1978. — 495 с.

Отрывок, характеризующий Кинетическое уравнение Больцмана

Движение человечества, вытекая из бесчисленного количества людских произволов, совершается непрерывно.
Постижение законов этого движения есть цель истории. Но для того, чтобы постигнуть законы непрерывного движения суммы всех произволов людей, ум человеческий допускает произвольные, прерывные единицы. Первый прием истории состоит в том, чтобы, взяв произвольный ряд непрерывных событий, рассматривать его отдельно от других, тогда как нет и не может быть начала никакого события, а всегда одно событие непрерывно вытекает из другого. Второй прием состоит в том, чтобы рассматривать действие одного человека, царя, полководца, как сумму произволов людей, тогда как сумма произволов людских никогда не выражается в деятельности одного исторического лица.
Историческая наука в движении своем постоянно принимает все меньшие и меньшие единицы для рассмотрения и этим путем стремится приблизиться к истине. Но как ни мелки единицы, которые принимает история, мы чувствуем, что допущение единицы, отделенной от другой, допущение начала какого нибудь явления и допущение того, что произволы всех людей выражаются в действиях одного исторического лица, ложны сами в себе.
Всякий вывод истории, без малейшего усилия со стороны критики, распадается, как прах, ничего не оставляя за собой, только вследствие того, что критика избирает за предмет наблюдения большую или меньшую прерывную единицу; на что она всегда имеет право, так как взятая историческая единица всегда произвольна.
Только допустив бесконечно малую единицу для наблюдения – дифференциал истории, то есть однородные влечения людей, и достигнув искусства интегрировать (брать суммы этих бесконечно малых), мы можем надеяться на постигновение законов истории.
Первые пятнадцать лет XIX столетия в Европе представляют необыкновенное движение миллионов людей. Люди оставляют свои обычные занятия, стремятся с одной стороны Европы в другую, грабят, убивают один другого, торжествуют и отчаиваются, и весь ход жизни на несколько лет изменяется и представляет усиленное движение, которое сначала идет возрастая, потом ослабевая. Какая причина этого движения или по каким законам происходило оно? – спрашивает ум человеческий.
Историки, отвечая на этот вопрос, излагают нам деяния и речи нескольких десятков людей в одном из зданий города Парижа, называя эти деяния и речи словом революция; потом дают подробную биографию Наполеона и некоторых сочувственных и враждебных ему лиц, рассказывают о влиянии одних из этих лиц на другие и говорят: вот отчего произошло это движение, и вот законы его.
Но ум человеческий не только отказывается верить в это объяснение, но прямо говорит, что прием объяснения не верен, потому что при этом объяснении слабейшее явление принимается за причину сильнейшего. Сумма людских произволов сделала и революцию и Наполеона, и только сумма этих произволов терпела их и уничтожила.
«Но всякий раз, когда были завоевания, были завоеватели; всякий раз, когда делались перевороты в государстве, были великие люди», – говорит история. Действительно, всякий раз, когда являлись завоеватели, были и войны, отвечает ум человеческий, но это не доказывает, чтобы завоеватели были причинами войн и чтобы возможно было найти законы войны в личной деятельности одного человека. Всякий раз, когда я, глядя на свои часы, вижу, что стрелка подошла к десяти, я слышу, что в соседней церкви начинается благовест, но из того, что всякий раз, что стрелка приходит на десять часов тогда, как начинается благовест, я не имею права заключить, что положение стрелки есть причина движения колоколов.
Всякий раз, как я вижу движение паровоза, я слышу звук свиста, вижу открытие клапана и движение колес; но из этого я не имею права заключить, что свист и движение колес суть причины движения паровоза.
Крестьяне говорят, что поздней весной дует холодный ветер, потому что почка дуба развертывается, и действительно, всякую весну дует холодный ветер, когда развертывается дуб. Но хотя причина дующего при развертыванье дуба холодного ветра мне неизвестна, я не могу согласиться с крестьянами в том, что причина холодного ветра есть раэвертыванье почки дуба, потому только, что сила ветра находится вне влияний почки. Я вижу только совпадение тех условий, которые бывают во всяком жизненном явлении, и вижу, что, сколько бы и как бы подробно я ни наблюдал стрелку часов, клапан и колеса паровоза и почку дуба, я не узнаю причину благовеста, движения паровоза и весеннего ветра. Для этого я должен изменить совершенно свою точку наблюдения и изучать законы движения пара, колокола и ветра. То же должна сделать история. И попытки этого уже были сделаны.
Для изучения законов истории мы должны изменить совершенно предмет наблюдения, оставить в покое царей, министров и генералов, а изучать однородные, бесконечно малые элементы, которые руководят массами. Никто не может сказать, насколько дано человеку достигнуть этим путем понимания законов истории; но очевидно, что на этом пути только лежит возможность уловления исторических законов и что на этом пути не положено еще умом человеческим одной миллионной доли тех усилий, которые положены историками на описание деяний различных царей, полководцев и министров и на изложение своих соображений по случаю этих деяний.


Силы двунадесяти языков Европы ворвались в Россию. Русское войско и население отступают, избегая столкновения, до Смоленска и от Смоленска до Бородина. Французское войско с постоянно увеличивающеюся силой стремительности несется к Москве, к цели своего движения. Сила стремительности его, приближаясь к цели, увеличивается подобно увеличению быстроты падающего тела по мере приближения его к земле. Назади тысяча верст голодной, враждебной страны; впереди десятки верст, отделяющие от цели. Это чувствует всякий солдат наполеоновской армии, и нашествие надвигается само собой, по одной силе стремительности.
В русском войске по мере отступления все более и более разгорается дух озлобления против врага: отступая назад, оно сосредоточивается и нарастает. Под Бородиным происходит столкновение. Ни то, ни другое войско не распадаются, но русское войско непосредственно после столкновения отступает так же необходимо, как необходимо откатывается шар, столкнувшись с другим, с большей стремительностью несущимся на него шаром; и так же необходимо (хотя и потерявший всю свою силу в столкновении) стремительно разбежавшийся шар нашествия прокатывается еще некоторое пространство.