Уравнение Бюргерса

Уравнением Бюргерса называют уравнение в частных производных, используемое в гидродинамике. Это уравнение известно в различных областях прикладной математики. Уравнение названо в честь Иоганна Мартинуса Бюргерса (1895—1981). Является частным случаем уравнений Навье — Стокса в одномерном случае.

Пусть задана скорость течения жидкости u и её кинематическая вязкость <math>\nu </math>. Уравнение Бюргерса в общем виде записывается так:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}</math>.

Если влиянием вязкости можно пренебречь, то есть <math>\nu = 0</math>, уравнение приобретает вид:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = 0</math>.

В этом случае мы получаем уравнение Хопфа — квазилинейное уравнение переноса — простейшее уравнение, описывающее разрывные течения или течения с ударными волнами.

Если <math>\nu</math> вещественно и не равно <math>0</math>, уравнение сводится к случаю <math>\nu=1</math> : для <math>\nu< 0 </math> нужно сначала сделать замену <math>u \to - u </math>, <math>x \to - x</math>, и для любого знака <math>\nu</math>: <math>u \to \sqrt{|\nu|} \,u </math>, <math>x \to \sqrt{|\nu|} \,x</math> .

Уравнение Бюргерса можно линеаризовать преобразованием Хопфа-Коула. Для этого (при <math>\nu=1</math>) нужно сделать замену функции:

<math>u= \frac{\partial \ln w }{\partial x} = w_x / w</math> .

При этом решения уравнения Бюргерса сводятся к положительным решениям линейного уравнения теплопроводности:

<math>u(x,t)= 2 \frac{\partial}{\partial x}\ln\Bigl\{(4\pi t)^{-1/2}\int_{-\infty}^\infty\exp\Bigl[-\frac{(x-x')^2}{4 t} -\frac{1}{2}\int_0^{x'}u(x,0)dx\Bigr]dx'\Bigr\}.</math>

См. также

• Уравнение Курамото-Сивашински

Ссылки

• [eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/npde/npde1301.pdf Burgers' Equation] at EqWorld: The World of Mathematical Equations.