Осциллятор Ван дер Поля
Поделись знанием:
– Ну, что ж вы молчите? Кто у вас там в венгерца наряжен? – строго шутил полковой командир.
– Ваше превосходительство…
– Ну что «ваше превосходительство»? Ваше превосходительство! Ваше превосходительство! А что ваше превосходительство – никому неизвестно.
– Ваше превосходительство, это Долохов, разжалованный… – сказал тихо капитан.
– Что он в фельдмаршалы, что ли, разжалован или в солдаты? А солдат, так должен быть одет, как все, по форме.
– Ваше превосходительство, вы сами разрешили ему походом.
– Разрешил? Разрешил? Вот вы всегда так, молодые люди, – сказал полковой командир, остывая несколько. – Разрешил? Вам что нибудь скажешь, а вы и… – Полковой командир помолчал. – Вам что нибудь скажешь, а вы и… – Что? – сказал он, снова раздражаясь. – Извольте одеть людей прилично…
И полковой командир, оглядываясь на адъютанта, своею вздрагивающею походкой направился к полку. Видно было, что его раздражение ему самому понравилось, и что он, пройдясь по полку, хотел найти еще предлог своему гневу. Оборвав одного офицера за невычищенный знак, другого за неправильность ряда, он подошел к 3 й роте.
– Кааак стоишь? Где нога? Нога где? – закричал полковой командир с выражением страдания в голосе, еще человек за пять не доходя до Долохова, одетого в синеватую шинель.
Долохов медленно выпрямил согнутую ногу и прямо, своим светлым и наглым взглядом, посмотрел в лицо генерала.
– Зачем синяя шинель? Долой… Фельдфебель! Переодеть его… дря… – Он не успел договорить.
– Генерал, я обязан исполнять приказания, но не обязан переносить… – поспешно сказал Долохов.
– Во фронте не разговаривать!… Не разговаривать, не разговаривать!…
– Не обязан переносить оскорбления, – громко, звучно договорил Долохов.
Глаза генерала и солдата встретились. Генерал замолчал, сердито оттягивая книзу тугой шарф.
– Извольте переодеться, прошу вас, – сказал он, отходя.
– Едет! – закричал в это время махальный.
Полковой командир, покраснел, подбежал к лошади, дрожащими руками взялся за стремя, перекинул тело, оправился, вынул шпагу и с счастливым, решительным лицом, набок раскрыв рот, приготовился крикнуть. Полк встрепенулся, как оправляющаяся птица, и замер.
– Смир р р р на! – закричал полковой командир потрясающим душу голосом, радостным для себя, строгим в отношении к полку и приветливым в отношении к подъезжающему начальнику.
По широкой, обсаженной деревьями, большой, бесшоссейной дороге, слегка погромыхивая рессорами, шибкою рысью ехала высокая голубая венская коляска цугом. За коляской скакали свита и конвой кроатов. Подле Кутузова сидел австрийский генерал в странном, среди черных русских, белом мундире. Коляска остановилась у полка. Кутузов и австрийский генерал о чем то тихо говорили, и Кутузов слегка улыбнулся, в то время как, тяжело ступая, он опускал ногу с подножки, точно как будто и не было этих 2 000 людей, которые не дыша смотрели на него и на полкового командира.
Раздался крик команды, опять полк звеня дрогнул, сделав на караул. В мертвой тишине послышался слабый голос главнокомандующего. Полк рявкнул: «Здравья желаем, ваше го го го го ство!» И опять всё замерло. Сначала Кутузов стоял на одном месте, пока полк двигался; потом Кутузов рядом с белым генералом, пешком, сопутствуемый свитою, стал ходить по рядам.
По тому, как полковой командир салютовал главнокомандующему, впиваясь в него глазами, вытягиваясь и подбираясь, как наклоненный вперед ходил за генералами по рядам, едва удерживая подрагивающее движение, как подскакивал при каждом слове и движении главнокомандующего, – видно было, что он исполнял свои обязанности подчиненного еще с большим наслаждением, чем обязанности начальника. Полк, благодаря строгости и старательности полкового командира, был в прекрасном состоянии сравнительно с другими, приходившими в то же время к Браунау. Отсталых и больных было только 217 человек. И всё было исправно, кроме обуви.
(перенаправлено с «Уравнение Ван дер Поля»)
Осциллятор Ван дер Поля — осциллятор с нелинейным затуханием, подчиняющийся уравнению
- <math>{d^2x \over dt^2}-\mu(1-x^2){dx \over dt}+x= 0</math>, где
- <math>x</math> — координата точки, зависящая от времени <math>t</math>;
- <math>\mu </math> — некий коэффициент, характеризующий нелинейность и силу затухания колебаний.
Содержание
История
Осциллятор Ван дер Поля был предложен голландским инженером и физиком Бальтазаром ван дер Полем, во время его работы в компании Philips.[1] Ван дер Полем были найдены устойчивые колебания, которые были названы релаксационными,[2] известные как «предельные циклы» В сентябре 1927 года Ван дер Поль и его коллега ван дер Марк сообщили,[3] что на определенных частотах были зафиксированы шумы, всегда находящиеся рядом с собственными частотами волн. Это было одним из первых наблюдений детерминированного хаоса.[4]
Уравнение Ван дер Поля применяется и в физике, и в биологии. Так, например, в биологии создана модель Фитц Хью-Нагумо Данное уравнение также было использовано в сейсмологии для моделирования геологических разломов.[5]
Двухмерный случай
С помощью теоремы Льенара можно доказать, что система имеет предельный цикл. Из данной теоремы следует, что <math>y = x - \frac {x^3} {3} - \frac {1} {\mu} \frac {dx} {dt}</math>. Отсюда можно вывести[6] уравнения осциллятора Ван дер Поля для двумерного случая:
- <math>\left \{ \begin{align} \frac {dx} {dt} &= \mu \left(x-\frac{1}{3}x^3-y\right) \\ \frac {dy} {dt} &= \frac{1}{\mu} x \end{align} \right.</math>.
Можно также совершить другую замену <math>y = \frac {dx} {dt} </math> и получить
- <math>\left \{ \begin{align} \frac {dx} {dt} &= y \\ \frac {dy} {dt} &= \mu(1-x^2) y-x\end{align} \right. </math>.
Осциллятор со свободными колебаниями
У осциллятора Ван дер Поля существуют два интересных режима: при <math>\mu=0</math> и при <math>\mu>0</math>. Очевидно, что третьего режима — <math>\mu<0</math> — не существует, так как трение в системе не может быть отрицательным.
- 1) Когда <math>\mu=0</math>, то есть осциллятор рассчитывается без затухания, то указанные выше уравнения преобразуются к виду
- <math>{d^2x \over dt^2}+x= 0</math>.
- Это уравнение гармонического осциллятора.
- 2) При <math>\mu>0</math> система имеет некие предельные циклы. Чем дальше <math>\mu</math> от нуля, тем колебания осциллятора менее похожи на гармонические.
Вынужденные колебания
Вынужденные колебания осциллятора Ван дер Поля как с потерями энергии, так и без оных рассчитываются по формуле
- <math>{d^2x \over dt^2}-\mu(1-x^2){dx \over dt}+x=A \sin(\omega t)</math>, где
- <math>A</math> — амплитуда внешнего гармонического сигнала,
- <math>\omega</math> — его угловая частота.
Напишите отзыв о статье "Осциллятор Ван дер Поля"
Примечания
- ↑ Cartwright, M.L., [jlms.oxfordjournals.org/cgi/pdf_extract/s1-35/3/367 «Balthazar van der Pol»], J. London Math. Soc., 35, 367—376, (1960).
- ↑ Van der Pol, B., «On relaxation-oscillations», The London, Edinburgh and Dublin Phil. Mag. & J. of Sci., 2(7), 978—992 (1927).
- ↑ Van der Pol, B. and Van der Mark, J., «Frequency demultiplication», Nature, 120, 363—364, (1927).
- ↑ Kanamaru, T., [www.scholarpedia.org/article/Van_der_Pol_oscillator «Van der Pol oscillator»], Scholarpedia, 2(1), 2202, (2007).
- ↑ Cartwright, J., Eguiluz, V., Hernandez-Garcia, E. and Piro, O., «Dynamics of elastic excitable media», Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg., 9, 2197—2202, (1999).
- ↑ Kaplan, D. and Glass, L., Understanding Nonlinear Dynamics, Springer, 240—244, (1995)
См. также
Ссылки
- [www.cmp.caltech.edu/~mcc/Chaos_Course/Lesson3/Demos.html Примеры фазовых портретов осциллятора].
Отрывок, характеризующий Осциллятор Ван дер Поля
Ротный командир, не спуская глаз с начальника, всё больше и больше прижимал свои два пальца к козырьку, как будто в одном этом прижимании он видел теперь свое спасенье.– Ну, что ж вы молчите? Кто у вас там в венгерца наряжен? – строго шутил полковой командир.
– Ваше превосходительство…
– Ну что «ваше превосходительство»? Ваше превосходительство! Ваше превосходительство! А что ваше превосходительство – никому неизвестно.
– Ваше превосходительство, это Долохов, разжалованный… – сказал тихо капитан.
– Что он в фельдмаршалы, что ли, разжалован или в солдаты? А солдат, так должен быть одет, как все, по форме.
– Ваше превосходительство, вы сами разрешили ему походом.
– Разрешил? Разрешил? Вот вы всегда так, молодые люди, – сказал полковой командир, остывая несколько. – Разрешил? Вам что нибудь скажешь, а вы и… – Полковой командир помолчал. – Вам что нибудь скажешь, а вы и… – Что? – сказал он, снова раздражаясь. – Извольте одеть людей прилично…
И полковой командир, оглядываясь на адъютанта, своею вздрагивающею походкой направился к полку. Видно было, что его раздражение ему самому понравилось, и что он, пройдясь по полку, хотел найти еще предлог своему гневу. Оборвав одного офицера за невычищенный знак, другого за неправильность ряда, он подошел к 3 й роте.
– Кааак стоишь? Где нога? Нога где? – закричал полковой командир с выражением страдания в голосе, еще человек за пять не доходя до Долохова, одетого в синеватую шинель.
Долохов медленно выпрямил согнутую ногу и прямо, своим светлым и наглым взглядом, посмотрел в лицо генерала.
– Зачем синяя шинель? Долой… Фельдфебель! Переодеть его… дря… – Он не успел договорить.
– Генерал, я обязан исполнять приказания, но не обязан переносить… – поспешно сказал Долохов.
– Во фронте не разговаривать!… Не разговаривать, не разговаривать!…
– Не обязан переносить оскорбления, – громко, звучно договорил Долохов.
Глаза генерала и солдата встретились. Генерал замолчал, сердито оттягивая книзу тугой шарф.
– Извольте переодеться, прошу вас, – сказал он, отходя.
– Едет! – закричал в это время махальный.
Полковой командир, покраснел, подбежал к лошади, дрожащими руками взялся за стремя, перекинул тело, оправился, вынул шпагу и с счастливым, решительным лицом, набок раскрыв рот, приготовился крикнуть. Полк встрепенулся, как оправляющаяся птица, и замер.
– Смир р р р на! – закричал полковой командир потрясающим душу голосом, радостным для себя, строгим в отношении к полку и приветливым в отношении к подъезжающему начальнику.
По широкой, обсаженной деревьями, большой, бесшоссейной дороге, слегка погромыхивая рессорами, шибкою рысью ехала высокая голубая венская коляска цугом. За коляской скакали свита и конвой кроатов. Подле Кутузова сидел австрийский генерал в странном, среди черных русских, белом мундире. Коляска остановилась у полка. Кутузов и австрийский генерал о чем то тихо говорили, и Кутузов слегка улыбнулся, в то время как, тяжело ступая, он опускал ногу с подножки, точно как будто и не было этих 2 000 людей, которые не дыша смотрели на него и на полкового командира.
Раздался крик команды, опять полк звеня дрогнул, сделав на караул. В мертвой тишине послышался слабый голос главнокомандующего. Полк рявкнул: «Здравья желаем, ваше го го го го ство!» И опять всё замерло. Сначала Кутузов стоял на одном месте, пока полк двигался; потом Кутузов рядом с белым генералом, пешком, сопутствуемый свитою, стал ходить по рядам.
По тому, как полковой командир салютовал главнокомандующему, впиваясь в него глазами, вытягиваясь и подбираясь, как наклоненный вперед ходил за генералами по рядам, едва удерживая подрагивающее движение, как подскакивал при каждом слове и движении главнокомандующего, – видно было, что он исполнял свои обязанности подчиненного еще с большим наслаждением, чем обязанности начальника. Полк, благодаря строгости и старательности полкового командира, был в прекрасном состоянии сравнительно с другими, приходившими в то же время к Браунау. Отсталых и больных было только 217 человек. И всё было исправно, кроме обуви.
