Уравнение Гассмана

Уравнения Гассмана — уравнения, связывающие между собой упругие параметры пористой среды, насыщенной жидкостью или газом. Используются для оценки упругих свойств горных пород (скорости распространения упругих волн) при геофизических исследованиях земной коры. Получены в приближении линейной теории упругости, в рамках которой однородный изотропный материал характеризуются тремя независимыми параметрами (или производными от них величинами), например: модуль всестороннего сжатия <math>K</math>, модуль сдвига <math>G</math> и плотность <math>\rho</math>.

Упругие характеристики пористой среды

Модель пористой среды, используемая в уравнениях Гассмана, предполагает, что материал состоит из твердой и жидкой (газообразной) фаз. Твердая фаза формирует жесткий каркас (скелет), характеризующийся своими макроскопическими модулями упругости. Жидкая (газообразная) фаза полностью заполняет пустотное пространство. Применительно к физике осадочных горных пород, твердая фаза представлена кристаллами или зернами породообразующих минералов, а жидкая — флюидами, содержащимися в пористом пространстве породы. Предполагается, что пустотное пространство распределено равномерно внутри такой среды и его свойства не зависят от направления (изотропны). Основной характеристикой пустотного пространства является пористость — отношение объема пустот к объему всего образца: <math>\phi = \frac{V_{por}}{V}</math>.

Аналогично методике "эффективных" сред, при выводе уравнений Гассмана подбирается такой однородный изотропный материал, который при приложенной нагрузке «в среднем» ведёт себя также, как и изучаемая микронеоднородная пористая среда. Таким образом, рассматриваемая в модели Гассмана двухфазная система характеризуется следующими параметрами:

• эффективные упругие модули насыщенного материала: <math>K, G, \rho</math>;
• пористость: <math>\phi</math>;
• упругие модули твердой фазы (минерального вещества), слагающей скелет: <math>K_m, G_m, \rho_m</math>;
• упругие модули флюида: <math>K_f, \rho_f</math>;
• эффективные упругие модули каркаса породы (ненасыщенного): <math>K_{dry}, G_{dry}</math>;

Последние зависят как от свойств минерального вещества, так и от многих других факторов (геометрии порового пространства, характера контактов зерен, эффективного давления и проч.) и, как правило, не могут быть вычислены явно. Система уравнений Гассмана связывает перечисленные характеристики между собой, что позволяет выражать одни параметры через другие при решении различных прикладных задач (например задача о замещении флюида). Одним из допущений, используемых в данной модели, является предположение о независимости модуля сдвига <math>G</math> двухфазной среды от свойств флюида-порозаполнителя. Поэтому <math>G=G_{dry}</math> (однако <math>G_{dry}\ne G_m</math>). Плотность среды является средневзвешенной величиной между плотностью твердой фазы и плотностью флюида. Таким образом, основной смысл уравнений Гассмана заключен в выражении для модуля всестороннего сжатия пористых насыщенных сред. В самом общем виде данное выражение имеет следующий вид:

<math>F(K,K_m,K_{dry},K_f,\phi)=0;</math>

Любой из пяти параметров, входящих в это уравнение в качестве аргумента, может быть выражен через остальные четыре.

Основная форма записи

Для расчета эффективных упругих модулей насыщенного материала используют явную форму уравнений Гассмана:

<math>K = K_{dry}+\frac{\left(1-\frac{K_{dry}}{K_m}\right)^2}{\frac{\phi}{K_f}+\frac{1-\phi}{K_m}-\frac{K_{dry}}{K_m^2}};</math>

<math>G=G_{dry};</math>

<math>\rho=\rho_m(1-\phi)+\rho_f\phi;</math>

Данные выражения позволяют оценить степень влияния упругих параметров флюида-порозаполнителя на свойства породы. На их основе могут быть рассчитаны остальные упругие характеристики пористой насыщенной среды. Например:

скорость продольных волн: <math>V_P = \sqrt{\frac{K+\frac{4}{3}G}{\rho}};</math>

скорость поперечных волн: <math>V_S = \sqrt{\frac{G}{\rho}}=\sqrt{\frac{G_{dry}}{\rho}};</math>

Следует отметить, что, несмотря на то, что свойства флюида не влияют на модуль сдвига породы, скорость поперечных волн меняется при смене типа флюида за счет влияния плотности.

Упругие модули «сухого» скелета

Для расчета упругих характеристик насыщенного пористого материала с использованием явной формы уравнения Гассмана необходимо задавать параметры <math>K_{dry}</math> и <math>G_{dry}</math>. Для этого обычно пользуются эмпирическими зависимостями. Широкое применение нашла обобщенная модель критической пористости Нура (A.Nur), хорошо согласующаяся с экспериментами и подтвержденная результатами численного моделирования:

<math>K_{dry}=K_m\left(1-\frac{\phi}{\phi_{cr}}\right)^a, \ \ \phi < \phi_{cr}</math>

<math>G_{dry}=G_m\left(1-\frac{\phi}{\phi_{cr}}\right)^b, \ \ \phi < \phi_{cr}</math>

Здесь <math>\phi_{cr}</math> — критическая пористость, а <math>a</math> и <math>b</math> — управляющие коэффициенты, калибруемые на результаты измерений.

Физический смысл критической пористости — относительный объем пустот, выше которого материал теряет жесткость (например, точка перехода от песчаника к песку или от насыщенной породы ко взвеси). Для значения пористости выше критического принимается <math>K_{dry}=G_{dry}=0</math>. При этом уравнение Гассмана переходит в уравнение Вуда (Wood).

Значения параметров <math>a</math> и <math>b</math> зависят от геометрии пустотного пространства, характера контакта и формы зерен и других характеристик скелета породы.

Многокомпонентный состав твердой фазы и флюида

Как правило, в состав твердой фазы реальных горных пород входят несколько породообразующих минералов. В этом случае для оценки упругих модулей минерального вещества <math>K_m</math> и <math>G_m</math> используют различные методики осреднения. Как правило, хорошие результаты дает метод самосогласованного поля. Так же может быть использован способ осреднения Хилла (Hill).

Для оценки модуля всестороннего сжатия флюида при его многокомпонентном составе может быть использовано уравнение Вуда. Однако следует иметь в виду, что данное уравнение применимо лишь к несмешивающимся компонентам. Например, для оценки свойств пластовой нефти, содержащей определенное количество природного газа в растворенном состоянии, оно может давать большие погрешности.

Основные допущения. Область применимости

Уравнения Гассмана могут быть использованы как для определения статических модулей упругости, так и в динамическом случае (например для оценки скоростей распространения сейсмических волн в горных породах). Однако при выводе уравнений используются следующие допущения, ограничивающие область применения данной теории:

• Минеральный скелет и флюид движутся вместе (без проскальзывания). Изменение элементарного объема породы складывается из изменения объема флюида и объема твердой фазы;
• Свойства флюида не влияют на модуль сдвига породы;
• Напряжение в породе складывается из напряжения в скелете и давления во флюиде (порового давления);

Первое допущение накладывает ограничения на частотный диапазон сигналов при использовании теории Гассмана в динамических задачах. При достаточно малой длине волны жидкая фаза будет «проскальзывать» относительно скелета породы. В результате будет наблюдаться частотная дисперсия скорости волн и диссипация энергии. Эти эффекты рассматриваются в рамках более общей теории Био-Николаевского, из которой уравнения Гассмана могут быть получены как частный случай.

Частотный диапазон, в пределах которого теория Гассмана хорошо описывает экспериментальные данные, обычно оценивают величиной, равной 10 % от резонансной частоты Био:

<math>f_{max}=0.1f_{Bio}=0.1\frac{\eta\phi}{2\pi\kappa\rho_f};</math>

<math>\eta</math> — динамическая вязкость флюида,

<math>\kappa</math> — коэффициент проницаемости материала (абсолютная проницаемость горной породы).

При более высокочастотных колебаниях в пористой и проницаемой насыщенной среде помимо продольных и поперечных волн возникает продольная волна II-рода.

Для большинства реальных горных пород резонансная частота Био существенно выше 20-30 кГц. Это позволяет использовать уравнения Гассмана в процессе интерпретации данных сейсморазведки и акустического каротажа.

Ниже в таблице приведен пример оценки граничной частоты применимости уравнений Гассмана для некоторых типичных значений пористости и проницаемости реальных водонасыщенных горных пород.

Пример оценки граничной частоты <math>f_{max}</math> (кГц):
	пористость
проницаемость	10%	20%	30%	40%
<math>\kappa</math>= 1 мД	882	1764	2646	3528
<math>\kappa</math>= 10 мД	88	176	265	353
<math>\kappa</math>= 100 мД	9	18	27	35

Другие формы записи

В ряде прикладных задач удобно пользоваться другими представлениями уравнений Гассмана, которые могут быть выведены из основной формы.

1. Неявная форма

<math>\frac{K}{K_m-K}=\frac{K_{dry}}{K_m-K_{dry}}+\frac{K_f}{\phi(K_m-K_f)};</math>

2. Форма Ройсса (Reuss)

<math>\frac{K}{K_m-K}=\frac{K_{dry}}{K_m-K_{dry}}+\frac{K_R}{K_m-K_R},</math>

<math>\frac{1}{K_R}=\frac{\phi}{K_f}+\frac{1-\phi}{K_m};</math>

3. Форма Био (Biot)

<math>K = K_{dry}+B^2M,</math>

<math>\frac{1}{M}=\frac{B-\phi}{K_m}+\frac{\phi}{K_f};</math>

<math>B = 1-\frac{K_{dry}}{K_m},</math>

Величина коэффициента Био <math>B</math> определяется свойствами пустотного пространства. Можно показать, что данный параметр характеризует отношение изменения объема пор к изменению общего объема породы при деформации.

Недостатки и ограничения

Основным недостатком уравнений Гассмана на практике является необходимость задания упругих свойств скелета <math>(K_{dry}, G_{dry})</math>, которые зависят от многих факторов и трудно поддаются оценке.

Важно также учитывать ограничение по частотному составу — при частоте упругих колебаний, большей чем частота Био, уравнение Гассмана плохо описывает упругие характеристики двухфазных сред из-за неучета движения флюида относительно твердой фазы.

Задача о замещении флюида

Используя приведенные уравнения, можно оценить, как изменятся свойства насыщенной породы с известными упругими свойствами, если изменить тип насыщающего флюида. При этом, если известны упругие модули флюидов, а также минеральной составляющей породы, то для решения задачи не требуется задания упругих характеристик скелета породы. Данная задача играет большое практическое значение при оценке степени влияния залежей нефти или газа на результаты геофизических исследований.

См. также

• Закон Гука
• Осадочные горные породы
• Дисперсная система
• Петрофизика
• en:Poromechanics (англ.)

Ссылки

• [www.rockphysicists.org/ RockPhysicists] (англ.)

Литература

1. Уайт Дж.Э. Возбуждение и распространение сейсмических волн = Underground sound / редактор пер. Н.Н. Пузырев. — М.: Недра, 1986. — 261 с.
2. Gassmann, F. Uber Die elastizitat poroser medien // Vier, der Natur Gesellschaft. — 1951. — № 96. — С. 1-23. (нем.) (есть [sepwww.stanford.edu/sep/berryman/PS/gassmann.pdf англ. перевод])
3. Mavko G., Mukerji T., Dvorkin J. The Rock Physics Handbook. — Cambridge University Press, 2009. (англ.)
4. Nur, A., Mavko, G., Dvorkin, J., and Galmundi, D. Critical porosity: the key to relating physical properties to porosity in rocks // Proc. 65th Ann Int. Meeting Soc. Expl. Geophys.. — 1995. — № 878. (англ.)
5. ↑ Roberts, A. P., and Garboczi, E. J. [ciks.cbt.nist.gov/~garbocz/Tonycer/ Elastic properties of model porous ceramics] // J. Amer. Ceramic Society. — 2000. — № 83. — С. 3041-3048. (англ.)

Отрывок, характеризующий Уравнение Гассмана

И он с теми свободными и фамильярными, грациозными движениями, которые его отличали, взял за руку фрейлину, поцеловал ее и, поцеловав, помахал фрейлинскою рукой, развалившись на креслах и глядя в сторону.
– Attendez [Подождите], – сказала Анна Павловна, соображая. – Я нынче же поговорю Lise (la femme du jeune Болконский). [с Лизой (женой молодого Болконского).] И, может быть, это уладится. Ce sera dans votre famille, que je ferai mon apprentissage de vieille fille. [Я в вашем семействе начну обучаться ремеслу старой девки.]


Гостиная Анны Павловны начала понемногу наполняться. Приехала высшая знать Петербурга, люди самые разнородные по возрастам и характерам, но одинаковые по обществу, в каком все жили; приехала дочь князя Василия, красавица Элен, заехавшая за отцом, чтобы с ним вместе ехать на праздник посланника. Она была в шифре и бальном платье. Приехала и известная, как la femme la plus seduisante de Petersbourg [самая обворожительная женщина в Петербурге,], молодая, маленькая княгиня Болконская, прошлую зиму вышедшая замуж и теперь не выезжавшая в большой свет по причине своей беременности, но ездившая еще на небольшие вечера. Приехал князь Ипполит, сын князя Василия, с Мортемаром, которого он представил; приехал и аббат Морио и многие другие.
– Вы не видали еще? или: – вы не знакомы с ma tante [с моей тетушкой]? – говорила Анна Павловна приезжавшим гостям и весьма серьезно подводила их к маленькой старушке в высоких бантах, выплывшей из другой комнаты, как скоро стали приезжать гости, называла их по имени, медленно переводя глаза с гостя на ma tante [тетушку], и потом отходила.
Все гости совершали обряд приветствования никому неизвестной, никому неинтересной и ненужной тетушки. Анна Павловна с грустным, торжественным участием следила за их приветствиями, молчаливо одобряя их. Ma tante каждому говорила в одних и тех же выражениях о его здоровье, о своем здоровье и о здоровье ее величества, которое нынче было, слава Богу, лучше. Все подходившие, из приличия не выказывая поспешности, с чувством облегчения исполненной тяжелой обязанности отходили от старушки, чтобы уж весь вечер ни разу не подойти к ней.
Молодая княгиня Болконская приехала с работой в шитом золотом бархатном мешке. Ее хорошенькая, с чуть черневшимися усиками верхняя губка была коротка по зубам, но тем милее она открывалась и тем еще милее вытягивалась иногда и опускалась на нижнюю. Как это всегда бывает у вполне привлекательных женщин, недостаток ее – короткость губы и полуоткрытый рот – казались ее особенною, собственно ее красотой. Всем было весело смотреть на эту, полную здоровья и живости, хорошенькую будущую мать, так легко переносившую свое положение. Старикам и скучающим, мрачным молодым людям, смотревшим на нее, казалось, что они сами делаются похожи на нее, побыв и поговорив несколько времени с ней. Кто говорил с ней и видел при каждом слове ее светлую улыбочку и блестящие белые зубы, которые виднелись беспрестанно, тот думал, что он особенно нынче любезен. И это думал каждый.
Маленькая княгиня, переваливаясь, маленькими быстрыми шажками обошла стол с рабочею сумочкою на руке и, весело оправляя платье, села на диван, около серебряного самовара, как будто всё, что она ни делала, было part de plaisir [развлечением] для нее и для всех ее окружавших.
– J'ai apporte mon ouvrage [Я захватила работу], – сказала она, развертывая свой ридикюль и обращаясь ко всем вместе.
– Смотрите, Annette, ne me jouez pas un mauvais tour, – обратилась она к хозяйке. – Vous m'avez ecrit, que c'etait une toute petite soiree; voyez, comme je suis attifee. [Не сыграйте со мной дурной шутки; вы мне писали, что у вас совсем маленький вечер. Видите, как я одета дурно.]
И она развела руками, чтобы показать свое, в кружевах, серенькое изящное платье, немного ниже грудей опоясанное широкою лентой.
– Soyez tranquille, Lise, vous serez toujours la plus jolie [Будьте спокойны, вы всё будете лучше всех], – отвечала Анна Павловна.
– Vous savez, mon mari m'abandonne, – продолжала она тем же тоном, обращаясь к генералу, – il va se faire tuer. Dites moi, pourquoi cette vilaine guerre, [Вы знаете, мой муж покидает меня. Идет на смерть. Скажите, зачем эта гадкая война,] – сказала она князю Василию и, не дожидаясь ответа, обратилась к дочери князя Василия, к красивой Элен.
– Quelle delicieuse personne, que cette petite princesse! [Что за прелестная особа эта маленькая княгиня!] – сказал князь Василий тихо Анне Павловне.
Вскоре после маленькой княгини вошел массивный, толстый молодой человек с стриженою головой, в очках, светлых панталонах по тогдашней моде, с высоким жабо и в коричневом фраке. Этот толстый молодой человек был незаконный сын знаменитого Екатерининского вельможи, графа Безухого, умиравшего теперь в Москве. Он нигде не служил еще, только что приехал из за границы, где он воспитывался, и был в первый раз в обществе. Анна Павловна приветствовала его поклоном, относящимся к людям самой низшей иерархии в ее салоне. Но, несмотря на это низшее по своему сорту приветствие, при виде вошедшего Пьера в лице Анны Павловны изобразилось беспокойство и страх, подобный тому, который выражается при виде чего нибудь слишком огромного и несвойственного месту. Хотя, действительно, Пьер был несколько больше других мужчин в комнате, но этот страх мог относиться только к тому умному и вместе робкому, наблюдательному и естественному взгляду, отличавшему его от всех в этой гостиной.
– C'est bien aimable a vous, monsieur Pierre , d'etre venu voir une pauvre malade, [Очень любезно с вашей стороны, Пьер, что вы пришли навестить бедную больную,] – сказала ему Анна Павловна, испуганно переглядываясь с тетушкой, к которой она подводила его. Пьер пробурлил что то непонятное и продолжал отыскивать что то глазами. Он радостно, весело улыбнулся, кланяясь маленькой княгине, как близкой знакомой, и подошел к тетушке. Страх Анны Павловны был не напрасен, потому что Пьер, не дослушав речи тетушки о здоровье ее величества, отошел от нее. Анна Павловна испуганно остановила его словами:
– Вы не знаете аббата Морио? он очень интересный человек… – сказала она.
– Да, я слышал про его план вечного мира, и это очень интересно, но едва ли возможно…
– Вы думаете?… – сказала Анна Павловна, чтобы сказать что нибудь и вновь обратиться к своим занятиям хозяйки дома, но Пьер сделал обратную неучтивость. Прежде он, не дослушав слов собеседницы, ушел; теперь он остановил своим разговором собеседницу, которой нужно было от него уйти. Он, нагнув голову и расставив большие ноги, стал доказывать Анне Павловне, почему он полагал, что план аббата был химера.
– Мы после поговорим, – сказала Анна Павловна, улыбаясь.
И, отделавшись от молодого человека, не умеющего жить, она возвратилась к своим занятиям хозяйки дома и продолжала прислушиваться и приглядываться, готовая подать помощь на тот пункт, где ослабевал разговор. Как хозяин прядильной мастерской, посадив работников по местам, прохаживается по заведению, замечая неподвижность или непривычный, скрипящий, слишком громкий звук веретена, торопливо идет, сдерживает или пускает его в надлежащий ход, так и Анна Павловна, прохаживаясь по своей гостиной, подходила к замолкнувшему или слишком много говорившему кружку и одним словом или перемещением опять заводила равномерную, приличную разговорную машину. Но среди этих забот всё виден был в ней особенный страх за Пьера. Она заботливо поглядывала на него в то время, как он подошел послушать то, что говорилось около Мортемара, и отошел к другому кружку, где говорил аббат. Для Пьера, воспитанного за границей, этот вечер Анны Павловны был первый, который он видел в России. Он знал, что тут собрана вся интеллигенция Петербурга, и у него, как у ребенка в игрушечной лавке, разбегались глаза. Он всё боялся пропустить умные разговоры, которые он может услыхать. Глядя на уверенные и изящные выражения лиц, собранных здесь, он всё ждал чего нибудь особенно умного. Наконец, он подошел к Морио. Разговор показался ему интересен, и он остановился, ожидая случая высказать свои мысли, как это любят молодые люди.


Вечер Анны Павловны был пущен. Веретена с разных сторон равномерно и не умолкая шумели. Кроме ma tante, около которой сидела только одна пожилая дама с исплаканным, худым лицом, несколько чужая в этом блестящем обществе, общество разбилось на три кружка. В одном, более мужском, центром был аббат; в другом, молодом, красавица княжна Элен, дочь князя Василия, и хорошенькая, румяная, слишком полная по своей молодости, маленькая княгиня Болконская. В третьем Мортемар и Анна Павловна.
Виконт был миловидный, с мягкими чертами и приемами, молодой человек, очевидно считавший себя знаменитостью, но, по благовоспитанности, скромно предоставлявший пользоваться собой тому обществу, в котором он находился. Анна Павловна, очевидно, угощала им своих гостей. Как хороший метрд`отель подает как нечто сверхъестественно прекрасное тот кусок говядины, который есть не захочется, если увидать его в грязной кухне, так в нынешний вечер Анна Павловна сервировала своим гостям сначала виконта, потом аббата, как что то сверхъестественно утонченное. В кружке Мортемара заговорили тотчас об убиении герцога Энгиенского. Виконт сказал, что герцог Энгиенский погиб от своего великодушия, и что были особенные причины озлобления Бонапарта.
– Ah! voyons. Contez nous cela, vicomte, [Расскажите нам это, виконт,] – сказала Анна Павловна, с радостью чувствуя, как чем то a la Louis XV [в стиле Людовика XV] отзывалась эта фраза, – contez nous cela, vicomte.
Виконт поклонился в знак покорности и учтиво улыбнулся. Анна Павловна сделала круг около виконта и пригласила всех слушать его рассказ.
– Le vicomte a ete personnellement connu de monseigneur, [Виконт был лично знаком с герцогом,] – шепнула Анна Павловна одному. – Le vicomte est un parfait conteur [Bиконт удивительный мастер рассказывать], – проговорила она другому. – Comme on voit l'homme de la bonne compagnie [Как сейчас виден человек хорошего общества], – сказала она третьему; и виконт был подан обществу в самом изящном и выгодном для него свете, как ростбиф на горячем блюде, посыпанный зеленью.
Виконт хотел уже начать свой рассказ и тонко улыбнулся.
– Переходите сюда, chere Helene, [милая Элен,] – сказала Анна Павловна красавице княжне, которая сидела поодаль, составляя центр другого кружка.
Княжна Элен улыбалась; она поднялась с тою же неизменяющеюся улыбкой вполне красивой женщины, с которою она вошла в гостиную. Слегка шумя своею белою бальною робой, убранною плющем и мохом, и блестя белизною плеч, глянцем волос и брильянтов, она прошла между расступившимися мужчинами и прямо, не глядя ни на кого, но всем улыбаясь и как бы любезно предоставляя каждому право любоваться красотою своего стана, полных плеч, очень открытой, по тогдашней моде, груди и спины, и как будто внося с собою блеск бала, подошла к Анне Павловне. Элен была так хороша, что не только не было в ней заметно и тени кокетства, но, напротив, ей как будто совестно было за свою несомненную и слишком сильно и победительно действующую красоту. Она как будто желала и не могла умалить действие своей красоты. Quelle belle personne! [Какая красавица!] – говорил каждый, кто ее видел.