Уравнение Гельмгольца

Уравне́ние Гельмго́льца — это эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных:

<math> (\Delta + k^2)U=f </math>

где <math>\Delta = \nabla^2</math> — это оператор Лапласа, а неизвестная функция U определена в <math>\mathbb{R}^n</math> (на практике уравнение Гельмгольца применяется для n = 1, 2, 3).

Вывод уравнения

Как легко заметить, в уравнение Гельмгольца не входят операторы дифференцирования по времени, следовательно, сведение исходной задачи в частных производных к уравнению Гельмгольца может упростить её решение. Рассмотрим волновое уравнение:

<math> \triangle u(\bar{x},t) - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 u(\bar{x},t)}{\partial t^2}=f(\bar{x},t). </math>

Пусть функции u и f допускают разделение переменных: <math>u(\bar{x}, t)=U(\bar{x})T(t),\ f(\bar{x},t)=F(\bar{x})T(t)</math>, и пусть <math>T(t)=e^{i\omega t}</math>. Заметим, что в пространстве Фурье-преобразований дифференцирование по времени соответствует умножению на множитель iω. Таким образом, наше уравнение приводится к виду:

<math>

\triangle U(\bar{x}) + \frac{\omega^2}{c^2}U(\bar{x})=F(\bar{x}), </math>

где <math>\frac{\omega^2}{c^2}=k^2</math> — это квадрат модуля волнового вектора.

Решение уравнения Гельмгольца

Случай однородного уравнения

Решение уравнения Гельмгольца зависит от вида граничных условий. В двумерном случае уравнение Гельмгольца применяется для решения задачи о колеблющейся мембране, тогда естественным образом задаются однородные граничные условия, что физически соответствует закреплению мембраны на границе. В таком случае решение будет зависеть от формы мембраны. Так, для круглой мембраны радиуса a в полярных координатах (r, φ) уравнение принимает вид:

<math>U_{rr}+\frac{1}{r}U_r+\frac{1}{r^2}U_{\varphi\varphi}+k^2U=0, \qquad U(a, \varphi)=0.</math>

Методом разделения переменных приходим к задаче на собственные значения для части решения, зависящей только от <math>\varphi</math>:

<math>

U(r, \varphi)=R(r)\Phi(\varphi),</math>

<math>\frac{\Phi}{\Phi}=-\lambda^2,

</math>

а функция, зависящая только от радиуса, будет удовлетворять уравнению:

<math>\displaystyle

r^2R+rR'+R(r^2k^2-\lambda^2)=0. </math>

Фундаментальными решениями этих уравнений являются, соответственно, функции <math>\scriptstyle \sin(\lambda\varphi),\ \cos(\lambda\varphi)</math> и <math>\scriptstyle J_\lambda\left (\frac{\mu_i^{(\lambda)}}{a}r\right ),</math> где <math>\mu_i^{(\lambda)}</math> — i-й корень функции Бесселя λ-го порядка.

Случай неоднородного уравнения

Рассмотрим уравнение Гельмгольца в пространстве обобщённых функций:

<math>

\triangle U+k^2U=\delta(x). </math>

Покажем, что в трёхмерном случае <math>(x=(x_1, x_2, x_3))</math> фундаментальными решениями этого уравнения являются функции:

<math>

U_1^{(3)}(x)=-\frac{e^{ik|x|}}{4\pi |x|}, \qquad U_2^{(3)}=-\frac{e^{-ik|x|}}{4\pi |x|}. </math>

В самом деле, воспользуемся равенствами:

<math>\frac{\partial}{\partial x_j}\frac{1}{|x|}=-\frac{x_j}{|x|^3}</math>

<math>\frac{\partial}{\partial x_j}e^{ik|x|}=\frac{ikx_j}{|x|}e^{ik|x|}</math>

<math>\triangle e^{ik|x|}=\left ( \frac{2ik}{|x|}-k^2\right )e^{ik|x|}</math>

и формулой, доказываемой в курсе математической физики:

<math> \triangle\frac{1}{|x|}=-\frac{2\pi^{3/2}}{\Gamma(3/2)}\delta(x). </math>

Получаем:

<math>

(\triangle +k^2)\frac{1}{|x|}e^{ik|x|} =e^{ik|x|}\triangle\frac{1}{|x|}+2\left ( \operatorname{grad}\,\,e^{ik|x|}, \operatorname{grad}\frac{1}{|x|}\right )+\frac{1}{|x|}\triangle e^{ik|x|}+\frac{k^2}{|x|}e^{ik|x|}=</math>

<math> =-4\pi e^{ik|x|}\delta(x)+\left ( -\frac{2ik}{|x|^2}+\frac{2ik}{|x|^2}-\frac{k^2}{|x|}+\frac{k^2}{|x|}\right )e^{ik|x|}=-4\pi\delta(x). </math>

Прямыми вычислениями также проверяется, что в двумерном случае фундаментальным решением будут функции Ханкеля первого и второго рода:

<math>

U_1^{(2)}=-\frac{i}{4}H_0^{(1)}(k|x|), \qquad U_2^{(2)}=\frac{i}{4}H_0^{(2)}(k|x|), </math>

а в одномерном:

<math>

U_1^{(1)}(x)=\frac{e^{ik|x|}}{2ik}, \qquad U_2^{(1)}=-\frac{e^{-ik|x|}}{2ik}. </math>

Литература

• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5.