Уравнение Джонсона — Мела — Аврами — Колмогорова
Уравнение Джонсона — Мела — Аврами — Колмогорова (англ. Johnson — Mehl — Avrami — Kolmogorov equation, JMAK) описывает процесс фазового перехода при постоянной температуре. Изначально оно было получено для случая кристаллизации расплавов в 1937 году А. Н. Колмогоровым[1], и независимым образом в 1939 году Р. Ф. Мелом и У. Джонсоном[2], а также было популяризировано в серии статей М. Аврами в 1939—1941 годах. Однако, формула может быть обобщена на случаи других фазовых переходов.
Основные постулаты
- Неограниченность объёма системы в которой происходит фазовый переход. Физически это значит, что объём системы много больше объёма образующихся зародышей новой фазы.
- Пуассоновский закон зарождения центров: центры новой фазы возникают в среде случайно и равномерно с некоторой интенсивностью <math>I(t)</math> на единицу объёма несконденсировавшейся среды в единицу времени, зависящей в общем случае от времени.
- Принцип геометрического подобия: каждый зародыш независимо от места и даты «рождения» растёт в виде кристаллита определенной, единой для всех зародышей выпуклой формы и ориентации, сохраняющихся во времени.
- Единство скорости роста: в каждый момент времени скорости роста одинаковы для всех имеющихся в этот момент зародышей. В силу этой посылки <math>\dot{R}</math> не зависит от выбранного зародыша и является функцией только текущего времени <math>t</math>, то есть <math>\dot{R} = v(t)</math>.
Формула Колмогорова
Обозначим <math>q(t)</math> долю в момент <math>t</math> несконденсировавшегося объёма по отношению к общему объёму <math>V_{0}</math>. Тогда формула Колмогорова имеет вид
- <math> q(t) = exp\left[-\int_{0}^{t}I(t')V(R(t',t))dt'\right]</math>
где <math>V(R(t',t))</math> объём изолированного зародыша зародившегося в момент времени <math>t'</math> и в момент времени <math>t</math> имеющего радиус <math>R</math>. Зная <math>q(t)</math> легко вычислить долю сконденсировшегося объёма <math>Q(t)</math>
- <math> Q(t) = 1 - q(t)</math>
Ограничения
Формула неприменима, например, для случая диффузионного роста зародышей (см. Спинодальный распад). В этом случае она даёт только оценку снизу для <math>q(t)</math>.
Напишите отзыв о статье "Уравнение Джонсона — Мела — Аврами — Колмогорова"
Примечания
- ↑ А. Н. Колмогоров, [www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=im&paperid=3359&option_lang=rus К статистической теории кристаллизации металлов], Изв. АН СССР Сер. матем., 1(3), 1937, С. 355—359
- ↑ W. A. Johnson, R. F. Mehl, Reaction kinetics in processes of nucleation and growth, Trans. AIME, 135, 1939, p. 416
Отрывок, характеризующий Уравнение Джонсона — Мела — Аврами — Колмогорова
– Этого только недоставало! – перебила его княжна, сардонически улыбаясь и не изменяя выражения глаз. – Я женщина; по вашему мы все глупы; но я настолько знаю, что незаконный сын не может наследовать… Un batard, [Незаконный,] – прибавила она, полагая этим переводом окончательно показать князю его неосновательность.– Как ты не понимаешь, наконец, Катишь! Ты так умна: как ты не понимаешь, – ежели граф написал письмо государю, в котором просит его признать сына законным, стало быть, Пьер уж будет не Пьер, а граф Безухой, и тогда он по завещанию получит всё? И ежели завещание с письмом не уничтожены, то тебе, кроме утешения, что ты была добродетельна et tout ce qui s'en suit, [и всего, что отсюда вытекает,] ничего не останется. Это верно.
– Я знаю, что завещание написано; но знаю тоже, что оно недействительно, и вы меня, кажется, считаете за совершенную дуру, mon cousin, – сказала княжна с тем выражением, с которым говорят женщины, полагающие, что они сказали нечто остроумное и оскорбительное.
– Милая ты моя княжна Катерина Семеновна, – нетерпеливо заговорил князь Василий. – Я пришел к тебе не за тем, чтобы пикироваться с тобой, а за тем, чтобы как с родной, хорошею, доброю, истинною родной, поговорить о твоих же интересах. Я тебе говорю десятый раз, что ежели письмо к государю и завещание в пользу Пьера есть в бумагах графа, то ты, моя голубушка, и с сестрами, не наследница. Ежели ты мне не веришь, то поверь людям знающим: я сейчас говорил с Дмитрием Онуфриичем (это был адвокат дома), он то же сказал.
Видимо, что то вдруг изменилось в мыслях княжны; тонкие губы побледнели (глаза остались те же), и голос, в то время как она заговорила, прорывался такими раскатами, каких она, видимо, сама не ожидала.
– Это было бы хорошо, – сказала она. – Я ничего не хотела и не хочу.
Она сбросила свою собачку с колен и оправила складки платья.
– Вот благодарность, вот признательность людям, которые всем пожертвовали для него, – сказала она. – Прекрасно! Очень хорошо! Мне ничего не нужно, князь.
– Да, но ты не одна, у тебя сестры, – ответил князь Василий.
Но княжна не слушала его.
– Да, я это давно знала, но забыла, что, кроме низости, обмана, зависти, интриг, кроме неблагодарности, самой черной неблагодарности, я ничего не могла ожидать в этом доме…
– Знаешь ли ты или не знаешь, где это завещание? – спрашивал князь Василий еще с большим, чем прежде, подергиванием щек.
– Да, я была глупа, я еще верила в людей и любила их и жертвовала собой. А успевают только те, которые подлы и гадки. Я знаю, чьи это интриги.
