Уравнение Дирака для графена
Квазичастицы в графене обладают линейным законом дисперсии вблизи дираковских точек и их свойства полностью описываются уравнением Дирака [1]. Сами дираковские точки находятся на краях зоны Бриллюэна, где электроны обладают большим волновым вектором. Если пренебречь процессами переброса между долинами, то этот большой вектор никак не влияет на транспорт в низкоэнергетическом приближении, поэтому волновой вектор, фигурирующий в уравнении Дирака, отсчитывают от дираковских точек и уравнение Дирака записывают для разных долин отдельно.
Содержание
Вывод
Зонная структура
Если учесть только вклад ближайших соседей в формирование энергетических зон, то гамильтониан в приближении сильной связи для гексагональной кристаллической решётки примет вид
- <math>
H=-t\sum_{i\in\Lambda_A}\sum_{j=1}^3a^{\dagger}(\textbf{r}_i)b(\textbf{r}_i+\textbf{u}_j)-t\sum_{i\in\Lambda_B}\sum_{j=1}^3b^{\dagger}(\textbf{r}_i)a(\textbf{r}_i+\textbf{v}_j),\qquad (1.1) </math> где <math>t</math> — интеграл перекрытия между волновыми функциями ближайших соседей, который определяет также вероятность перехода («прыжка») между соседними атомами (атомами из разных подрешёток), операторы <math>a^{\dagger}(\textbf{r}_i)</math> и <math>b^{\dagger}(\textbf{r}_i)</math> операторы рождения, действующие на треугольных подрешётках кристалла <math>\Lambda_A</math> и <math>\Lambda_B</math> соответственно, <math>a(\textbf{r}_i)</math> и <math>b(\textbf{r}_i)</math> — операторы уничтожения. Они удовлетворяют обычным антикоммутационным соотношениям для фермионов:
- <math>
[a(\textbf{r}_i),a^{\dagger}(\textbf{r}_{i^{'}})]_{+}=[b(\textbf{r}_i),b^{\dagger}(\textbf{r}_{i^{'}})]_{+}=\delta_{ii^{'}}. \qquad (1.2) </math>
Шесть векторов <math>\textbf{u}_i</math> и <math>\textbf{v}_i</math> указывают на ближайшие узлы от выбранного центрального атома и задаются соотношениями
- <math>
\textbf{u}_1=(-d,0),\,\textbf{u}_2=\left(\frac{1}{2}d,\frac{\sqrt{3}}{2}d\right),\,\textbf{u}_3=\left(\frac{1}{2}d,-\frac{\sqrt{3}}{2}d\right),\qquad (1.3) </math>
- <math>
\textbf{v}_1=(d,0),\,\textbf{v}_2=\left(-\frac{1}{2}d,-\frac{\sqrt{3}}{2}d\right),\,\textbf{v}_3=\left(-\frac{1}{2}d,\frac{\sqrt{3}}{2}d\right).\qquad (1.4) </math>
Фурье преобразование операторов рождения и уничтожения
- <math>
a(\textbf{r}_i)=\int\limits_{BZ}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}e^{i\textbf{k}\textbf{r}_i}\tilde{a}(\textbf{k}),b(\textbf{r}_i)=\int\limits_{BZ}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}e^{i\textbf{k}\textbf{r}_i}\tilde{b}(\textbf{k}),\qquad (1.5) </math>
где интегрирование по волновым векторам ведётся из первой зоны Бриллюэна, позволяет записать гамильтониан в виде
- <math>
H=\int\limits_{BZ}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}\tilde{\psi}^{\dagger}(\textbf{k})\tilde{H}\tilde{\psi}(\textbf{k}),\qquad (1.6) </math>
где приняты следующие обозначения:
- <math>
\tilde{\psi}(\textbf{k})=\left(\tilde{a}(\textbf{k}),\tilde{b}(\textbf{k})\right)^{T},\,\tilde{\psi}^{\dagger}(\textbf{k})=\left(\tilde{a}^{\dagger}(\textbf{k}),\tilde{b}^{\dagger}(\textbf{k})\right),\qquad (1.7) </math>
и
- <math>
\tilde{H}=\left(
\begin{array}{cc}
0 & -t\sum_{j=1}^3e^{i\textbf{k}\textbf{u}_j} \\
-t\sum_{j=1}^3e^{i\textbf{k}\textbf{v}_j} & 0 \\
\end{array}
\right). \qquad (1.8)
</math>
Выражение (1.6) можно получить если подставить (1.5) в (1.1). Рассмотрим сумму
- <math>
\sum_{i\in\Lambda_A}\sum_{j=1}^3a^{\dagger}(\textbf{r}_i)b(\textbf{r}_i+\textbf{u}_j),\qquad (1.9) </math>
которую, использовав соотношения (1.5) можно записать в виде
- <math>
\sum_{i\in\Lambda_A}\sum_{j=1}^3\int\limits_{BZ}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}e^{-i\textbf{k}\textbf{r}_i}\tilde{a\dagger}(\textbf{k})\int\limits_{BZ}\frac{d^2k^{'}}{(2\pi)^2}e^{i\textbf{k}^{'}(\textbf{r}_i+\textbf{u}_j)}\tilde{b}(\textbf{k}^{'}),\qquad (1.10) </math>
или
- <math>
\int\limits_{BZ}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}\tilde{a\dagger}(\textbf{k})\int\limits_{BZ}\frac{d^2k^{'}}{(2\pi)^2}\sum_{i\in\Lambda_A}e^{-i\textbf{k}\textbf{r}_i+i\textbf{k}^{'}\textbf{r}_i}\sum_{j=1}^3e^{i\textbf{k}^{'}\textbf{u}_j}\tilde{b}(\textbf{k}^{'}).\qquad (1.11) </math>
Используя соотношение
- <math>
\sum_{i\in\Lambda_A}e^{-i\textbf{k}\textbf{r}_i+i\textbf{k}^{'}\textbf{r}_i}=(2\pi)^2\delta\left(\textbf{k}^{'}-\textbf{k}\right),\qquad (1.12) </math>
получим после интегрирования по <math>\textbf{k}^{'}</math> выражение
- <math>
\int\limits_{BZ}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}\tilde{a\dagger}(\textbf{k})\sum_{j=1}^3e^{i\textbf{k}\textbf{u}_j}\tilde{b}(\textbf{k}).\qquad (1.13) </math>
Аналогичное преобразование второй суммы в гамильтониане (1.1) приводит к искомому результату (1.6).
Собственные значения гамильтониана (1.8) принимают значения
- <math>
E=\pm t\sqrt{\sum_{j=1}^3e^{i\textbf{k}\textbf{u}_j}\sum_{j^{'}=1}^3e^{i\textbf{k}\textbf{v}_{j^{'}}}}=\pm t\sqrt{\left(e^{-ik_xd}+2e^{ik_xd/2}\cos{\frac{\sqrt{3}}{2}dk_y}\right)\left(e^{ik_xd}+2e^{-ik_xd/2}\cos{\frac{\sqrt{3}}{2}dk_y}\right)}= </math>
- <math>
\pm t\sqrt{\left(1+2e^{i3k_xd/2}\cos{\frac{\sqrt{3}}{2}dk_y}\right)\left(1+2e^{-i3k_xd/2}\cos{\frac{\sqrt{3}}{2}dk_y}\right)}=\pm t\sqrt{1+4\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}k_yd\right)\left[\cos\left(\frac{3}{2}k_xd\right)+\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}k_yd\right)\right]},\qquad (1.14) </math>
которые определяют зонную структуру графена.[2]
Низкоэнергетическое приближение
Зоны (1.14) с положительной энергией (электронов) и с отрицательной энергией (дырок) касаются в шести точках, называемые дираковскими точками, поскольку вблизи них энергетический спектр приобретает линейную зависимость от волнового вектора. Координаты этих точек равны
- <math>
\left(0,\frac{4\pi}{3\sqrt{3}d}\right),\,\left(0,-\frac{4\pi}{3\sqrt{3}d}\right),\,\left(\frac{2\pi}{3d},\frac{2\pi }{3\sqrt{3}d}\right),\,\left(\frac{2\pi}{3d},-\frac{2\pi }{3\sqrt{3}d}\right),\,\left(-\frac{2\pi}{3d},\frac{2\pi }{3\sqrt{3}d}\right),\,\left(-\frac{2\pi}{3d},\frac{-2\pi }{3\sqrt{3}d}\right).\qquad (2.1) </math>
Две независимые долины можно выбрать так, что вершины валентных зон будут находиться в дираковских точах с координатами
- <math>
\textbf{K}^{\pm}=\left(0,\pm\frac{4\pi}{3\sqrt{3}d}\right).\qquad (2.2) </math>
Рассмотрим недиагональный элемент <math>\tilde{H}_{12}</math> гамильтониана (1.8). Разложим его вблизи дираковских точек (2.2) по малому параметру d
- <math>
\lim_{d\rightarrow 0}d^{-1}\tilde{H}_{12}|_{\textbf{k}=\textbf{K}^{\pm}+\boldsymbol{\kappa}}=-t\lim_{d\rightarrow 0}d^{-1}\left(e^{-i\kappa_xd}+2e^{i\kappa_xd/2}\cos{\frac{\sqrt{3}d}{2}}\left(\pm\frac{4\pi}{3\sqrt{3}d}+\kappa_y\right)\right)=\frac{3t}{2 }(i\kappa_x\pm\kappa_y).\qquad (2.3) </math>
Для <math>\tilde{H}_{21}</math> разложение вычисляется аналогично и в итоге можно записать гамильтониан для квазичастиц вблизи дираковских точек в виде
- <math>
\left(
\begin{array}{cc}
H^{+} & 0 \\
0 & H^{-} \\
\end{array}
\right)=\hbar v_F(\alpha^1\kappa_x+\alpha^2\kappa_y), \qquad (2.4) </math>
где фермиевская скорость <math>v_F=3td\hbar^{-1}/2</math> и
- <math>
\alpha^1=-\left(
\begin{array}{cc}
\sigma^2 & 0 \\
0 & \sigma^2 \\
\end{array}
\right),\,\alpha^2=\left(
\begin{array}{cc}
\sigma^1 & 0 \\
0 & -\sigma^1 \\
\end{array}
\right). \qquad (2.5) </math>
Здесь <math>\sigma^1</math> и <math>\sigma^2</math> — матрицы Паули.
Если теперь перейти в координатное представление сделав фурье преобразование гамильтониана (2.4), то придём к гамильтониану в уравнении Дирака для квазичастиц в графене
- <math>
H=-i\hbar v_F(\alpha^1\partial_x+\alpha^2\partial_y). \qquad (2.6) </math>
Решением уравнени Дирака для графена <math>H\psi=E\psi</math> будет четырёхкомпонентный столбец вида
- <math>
\psi=(\psi_A^{+},\psi_B^{+},\psi_A^{-},\psi_B^{-})^{T}, \qquad (2.7) </math> где индексы <math>A</math> и <math>B</math> соответствуют двум подрешёткам кристалла, а знаки «+» и «-» обозначают неэквивалентные дираковские точки k-пространстве.[2]
Произвольный поворот системы координат
Поскольку закон дисперсии не должен зависеть в низкоэнергетическом приближении от ориентации кристаллической решётки относительно системы координат, а уравнение Дирака для графена не обладает таким свойством, то возникает вопрос об общем виде уравнения Дирака при повороте системы координат. Ясно, что единственное различие между уравнениями Дирака в заданной системе координат и повёрнутой на угол <math>\alpha</math> системой координат, при условии сохранения закона дисперсии, заключается в добавке фазовых факторов. Вычисления приводят к гамильтониану для свободных частиц вида[3]
- <math>
H_{\pm}=-i\hbar v \left(
\begin{array}{cc}
0 & e^{\pm i\alpha}(i\partial_x\pm \partial_y) \\
e^{\mp i\alpha}(-i\partial_x\pm \partial_y) & 0 \\
\end{array}
\right),\qquad (3.1)</math> из которого можно получить все уравнения, которые используются в литературе (при условии выбора противолежащих K точек).
В литературе встречается гамильтониан в виде[4]
- <math>
H_{\pm}=-i\hbar v \left(
\begin{array}{cc}
0 & \pm\partial_x-i\partial_y \\
\pm\partial_x+i\partial_y & 0 \\
\end{array}
\right),\qquad (3.2)</math>
который получается из (3.1) если взять угол <math>\alpha=-\pi/2</math>.
Решение уравнения Дирака
Рассмотрим гамильтониан для одной долины
- <math>H_{+}=-i\hbar v\begin{pmatrix} 0 & i\frac{\partial}{\partial x}+ \frac{\partial}{\partial y}\\ -i\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y} & 0 \end{pmatrix}.\qquad (4.1)</math>
Волновая функция представляется в виде спинора состоящего из двух компонентов
- <math>\Psi=\begin{pmatrix} \phi\\ \chi\end{pmatrix}.\qquad (4.2)</math>
Эта функция удовлетворяет следующему уравнению для свободных частиц
- <math>\left\{\begin{matrix} -i\hbar v\left(i\frac{\partial\chi}{\partial x}+\frac{\partial\chi}{\partial y}\right)=E\phi & \\ -i\hbar v\left(-i\frac{\partial\phi}{\partial x}+\frac{\partial\phi}{\partial y}\right)=E\chi & \end{matrix}\right.\qquad (4.3)</math>
Подставляя второе уравнение в первое получим волновое уравнение
- <math>\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}=-\frac{E^2}{\hbar^2v^2}\phi,\qquad (4.4)</math>
решением которого будет плоская волна
- <math>\phi=\frac{1}{\sqrt{2}}e^{ik_xx+ik_yy}.\qquad (4.5)</math>
Собственные значение имеют вид непрерывного линейного спектра
- <math>E=\pm\hbar vk_F=\pm\hbar v\sqrt{k_x^2+k_y^2}.\qquad (4.6)</math>
Вторую компоненту волновой функции легко найти подставив найденное решение во второе уравнение (4.3)
- <math>\chi=-i\frac{\hbar v \left(k_x+ik_y\right)}{E}\frac{1}{\sqrt{2}}e^{ik_xx+ik_yy}=-ie^{i\theta}\frac{\hbar vk_F }{E}\frac{1}{\sqrt{2}}e^{ik_xx+ik_yy}.\qquad (4.7)</math>
Поэтому волновая функция для <math>K^{+}</math> долины запишется в виде
- <math>\Psi=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1\\-ie^{i\theta}\frac{\hbar vk_F}{E}\end{pmatrix}e^{ik_xx+ik_yy}.\qquad (4.8)</math>
Напишите отзыв о статье "Уравнение Дирака для графена"
Литература
- Лозовик Ю. Е. , Меркулова С.П., Соколик А.А. [ufn.ru/ru/articles/2008/7/h/ Коллективные электронные явления в графене] // УФН. — 2008. — Т. 178, № 7. — С. 757–776.
Ссылки
- ↑ Novoselov K. S. et al. «Two-dimensional gas of massless Dirac fermions in graphene», Nature 438, 197 (2005) DOI:10.1038/nature04233
- ↑ 1 2 Sitenko Yu. A., Vlasii N. D. Electronic properties of graphene with a topological defect Nucl. Phys. B 787, 241 (2007) DOI:10.1016/j.nuclphysb.2007.06.001 [arxiv.org/abs/0706.2756 Препринт]
- ↑ Ando T. «Theory of Electronic States and Transport in Carbon Nanotubes» J. Phys. Soc. Jpn. 74, 777 (2005) DOI:10.1143/JPSJ.74.777
- ↑ Gusynin V. P., et. al. AC conductivity of graphene: from tight-binding model to 2+1-dimensional quantum electrodynamics Int. J. Mod. Phys. B 21, 4611 (2007) DOI:10.1142/S0217979207038022
Отрывок, характеризующий Уравнение Дирака для графена
Он поравнялся с коляской и бежал с ней рядом.– Трижды убили меня, трижды воскресал из мертвых. Они побили каменьями, распяли меня… Я воскресну… воскресну… воскресну. Растерзали мое тело. Царствие божие разрушится… Трижды разрушу и трижды воздвигну его, – кричал он, все возвышая и возвышая голос. Граф Растопчин вдруг побледнел так, как он побледнел тогда, когда толпа бросилась на Верещагина. Он отвернулся.
– Пош… пошел скорее! – крикнул он на кучера дрожащим голосом.
Коляска помчалась во все ноги лошадей; но долго еще позади себя граф Растопчин слышал отдаляющийся безумный, отчаянный крик, а перед глазами видел одно удивленно испуганное, окровавленное лицо изменника в меховом тулупчике.
Как ни свежо было это воспоминание, Растопчин чувствовал теперь, что оно глубоко, до крови, врезалось в его сердце. Он ясно чувствовал теперь, что кровавый след этого воспоминания никогда не заживет, но что, напротив, чем дальше, тем злее, мучительнее будет жить до конца жизни это страшное воспоминание в его сердце. Он слышал, ему казалось теперь, звуки своих слов:
«Руби его, вы головой ответите мне!» – «Зачем я сказал эти слова! Как то нечаянно сказал… Я мог не сказать их (думал он): тогда ничего бы не было». Он видел испуганное и потом вдруг ожесточившееся лицо ударившего драгуна и взгляд молчаливого, робкого упрека, который бросил на него этот мальчик в лисьем тулупе… «Но я не для себя сделал это. Я должен был поступить так. La plebe, le traitre… le bien publique», [Чернь, злодей… общественное благо.] – думал он.
У Яузского моста все еще теснилось войско. Было жарко. Кутузов, нахмуренный, унылый, сидел на лавке около моста и плетью играл по песку, когда с шумом подскакала к нему коляска. Человек в генеральском мундире, в шляпе с плюмажем, с бегающими не то гневными, не то испуганными глазами подошел к Кутузову и стал по французски говорить ему что то. Это был граф Растопчин. Он говорил Кутузову, что явился сюда, потому что Москвы и столицы нет больше и есть одна армия.
– Было бы другое, ежели бы ваша светлость не сказали мне, что вы не сдадите Москвы, не давши еще сражения: всего этого не было бы! – сказал он.
Кутузов глядел на Растопчина и, как будто не понимая значения обращенных к нему слов, старательно усиливался прочесть что то особенное, написанное в эту минуту на лице говорившего с ним человека. Растопчин, смутившись, замолчал. Кутузов слегка покачал головой и, не спуская испытующего взгляда с лица Растопчина, тихо проговорил:
– Да, я не отдам Москвы, не дав сражения.
Думал ли Кутузов совершенно о другом, говоря эти слова, или нарочно, зная их бессмысленность, сказал их, но граф Растопчин ничего не ответил и поспешно отошел от Кутузова. И странное дело! Главнокомандующий Москвы, гордый граф Растопчин, взяв в руки нагайку, подошел к мосту и стал с криком разгонять столпившиеся повозки.
В четвертом часу пополудни войска Мюрата вступали в Москву. Впереди ехал отряд виртембергских гусар, позади верхом, с большой свитой, ехал сам неаполитанский король.
Около середины Арбата, близ Николы Явленного, Мюрат остановился, ожидая известия от передового отряда о том, в каком положении находилась городская крепость «le Kremlin».
Вокруг Мюрата собралась небольшая кучка людей из остававшихся в Москве жителей. Все с робким недоумением смотрели на странного, изукрашенного перьями и золотом длинноволосого начальника.
– Что ж, это сам, что ли, царь ихний? Ничево! – слышались тихие голоса.
Переводчик подъехал к кучке народа.
– Шапку то сними… шапку то, – заговорили в толпе, обращаясь друг к другу. Переводчик обратился к одному старому дворнику и спросил, далеко ли до Кремля? Дворник, прислушиваясь с недоумением к чуждому ему польскому акценту и не признавая звуков говора переводчика за русскую речь, не понимал, что ему говорили, и прятался за других.
Мюрат подвинулся к переводчику в велел спросить, где русские войска. Один из русских людей понял, чего у него спрашивали, и несколько голосов вдруг стали отвечать переводчику. Французский офицер из передового отряда подъехал к Мюрату и доложил, что ворота в крепость заделаны и что, вероятно, там засада.
– Хорошо, – сказал Мюрат и, обратившись к одному из господ своей свиты, приказал выдвинуть четыре легких орудия и обстрелять ворота.
Артиллерия на рысях выехала из за колонны, шедшей за Мюратом, и поехала по Арбату. Спустившись до конца Вздвиженки, артиллерия остановилась и выстроилась на площади. Несколько французских офицеров распоряжались пушками, расстанавливая их, и смотрели в Кремль в зрительную трубу.
В Кремле раздавался благовест к вечерне, и этот звон смущал французов. Они предполагали, что это был призыв к оружию. Несколько человек пехотных солдат побежали к Кутафьевским воротам. В воротах лежали бревна и тесовые щиты. Два ружейные выстрела раздались из под ворот, как только офицер с командой стал подбегать к ним. Генерал, стоявший у пушек, крикнул офицеру командные слова, и офицер с солдатами побежал назад.
Послышалось еще три выстрела из ворот.
Один выстрел задел в ногу французского солдата, и странный крик немногих голосов послышался из за щитов. На лицах французского генерала, офицеров и солдат одновременно, как по команде, прежнее выражение веселости и спокойствия заменилось упорным, сосредоточенным выражением готовности на борьбу и страдания. Для них всех, начиная от маршала и до последнего солдата, это место не было Вздвиженка, Моховая, Кутафья и Троицкие ворота, а это была новая местность нового поля, вероятно, кровопролитного сражения. И все приготовились к этому сражению. Крики из ворот затихли. Орудия были выдвинуты. Артиллеристы сдули нагоревшие пальники. Офицер скомандовал «feu!» [пали!], и два свистящие звука жестянок раздались один за другим. Картечные пули затрещали по камню ворот, бревнам и щитам; и два облака дыма заколебались на площади.
Несколько мгновений после того, как затихли перекаты выстрелов по каменному Кремлю, странный звук послышался над головами французов. Огромная стая галок поднялась над стенами и, каркая и шумя тысячами крыл, закружилась в воздухе. Вместе с этим звуком раздался человеческий одинокий крик в воротах, и из за дыма появилась фигура человека без шапки, в кафтане. Держа ружье, он целился во французов. Feu! – повторил артиллерийский офицер, и в одно и то же время раздались один ружейный и два орудийных выстрела. Дым опять закрыл ворота.
За щитами больше ничего не шевелилось, и пехотные французские солдаты с офицерами пошли к воротам. В воротах лежало три раненых и четыре убитых человека. Два человека в кафтанах убегали низом, вдоль стен, к Знаменке.
– Enlevez moi ca, [Уберите это,] – сказал офицер, указывая на бревна и трупы; и французы, добив раненых, перебросили трупы вниз за ограду. Кто были эти люди, никто не знал. «Enlevez moi ca», – сказано только про них, и их выбросили и прибрали потом, чтобы они не воняли. Один Тьер посвятил их памяти несколько красноречивых строк: «Ces miserables avaient envahi la citadelle sacree, s'etaient empares des fusils de l'arsenal, et tiraient (ces miserables) sur les Francais. On en sabra quelques'uns et on purgea le Kremlin de leur presence. [Эти несчастные наполнили священную крепость, овладели ружьями арсенала и стреляли во французов. Некоторых из них порубили саблями, и очистили Кремль от их присутствия.]
Мюрату было доложено, что путь расчищен. Французы вошли в ворота и стали размещаться лагерем на Сенатской площади. Солдаты выкидывали стулья из окон сената на площадь и раскладывали огни.
Другие отряды проходили через Кремль и размещались по Маросейке, Лубянке, Покровке. Третьи размещались по Вздвиженке, Знаменке, Никольской, Тверской. Везде, не находя хозяев, французы размещались не как в городе на квартирах, а как в лагере, который расположен в городе.
Хотя и оборванные, голодные, измученные и уменьшенные до 1/3 части своей прежней численности, французские солдаты вступили в Москву еще в стройном порядке. Это было измученное, истощенное, но еще боевое и грозное войско. Но это было войско только до той минуты, пока солдаты этого войска не разошлись по квартирам. Как только люди полков стали расходиться по пустым и богатым домам, так навсегда уничтожалось войско и образовались не жители и не солдаты, а что то среднее, называемое мародерами. Когда, через пять недель, те же самые люди вышли из Москвы, они уже не составляли более войска. Это была толпа мародеров, из которых каждый вез или нес с собой кучу вещей, которые ему казались ценны и нужны. Цель каждого из этих людей при выходе из Москвы не состояла, как прежде, в том, чтобы завоевать, а только в том, чтобы удержать приобретенное. Подобно той обезьяне, которая, запустив руку в узкое горло кувшина и захватив горсть орехов, не разжимает кулака, чтобы не потерять схваченного, и этим губит себя, французы, при выходе из Москвы, очевидно, должны были погибнуть вследствие того, что они тащили с собой награбленное, но бросить это награбленное им было так же невозможно, как невозможно обезьяне разжать горсть с орехами. Через десять минут после вступления каждого французского полка в какой нибудь квартал Москвы, не оставалось ни одного солдата и офицера. В окнах домов видны были люди в шинелях и штиблетах, смеясь прохаживающиеся по комнатам; в погребах, в подвалах такие же люди хозяйничали с провизией; на дворах такие же люди отпирали или отбивали ворота сараев и конюшен; в кухнях раскладывали огни, с засученными руками пекли, месили и варили, пугали, смешили и ласкали женщин и детей. И этих людей везде, и по лавкам и по домам, было много; но войска уже не было.
