Уравнение Кеплера

Уравне́ние Ке́плера описывает движение тела по эллиптической орбите в задаче двух тел и имеет вид:

<math>E- e \, \sin E = M</math>

где <math>E</math> — эксцентрическая аномалия, <math>e</math> — эксцентриситет орбиты, а <math>M</math> — средняя аномалия.

Впервые это уравнение было получено астрономом Иоганном Кеплером в 1619 году. Играет значительную роль в небесной механике.

Варианты уравнения Кеплера

Уравнение Кеплера в классической форме описывает движение только по эллиптическим орбитам, то есть при <math>0 \le e < 1</math>. Движение по гиперболическим орбитам <math>(e > 1)</math> подчиняется гиперболическому уравнению Кеплера, сходному по форме с классическим. Движение по прямой линии <math>(e = 1)</math> описывается радиальным уравнением Кеплера. Наконец, для описания движения по параболической орбите <math>(e = 1)</math> используют уравнение Баркера. При <math>e < 0</math> орбит не существует.

Задача, приводящая к уравнению Кеплера

Рассмотрим движение тела по орбите в поле другого тела. Найдем зависимость положения тела на орбите от времени. Из II закона Кеплера следует, что

<math> r^2 \frac{d\vartheta}{dt} = {\rm const} = \sqrt{\mu a \left(1-e^2\right)}</math>.

Здесь <math>r</math> — расстояние от тела до гравитирующего центра, <math>\vartheta</math> — истинная аномалия — угол между направлениями на перицентр орбиты и на тело, <math>\mu = G M_0</math> — произведение постоянной тяготения на массу гравитирующего тела, <math>a</math> — большая полуось орбиты. Отсюда можно получить зависимость времени движения по орбите от истинной аномалии:

<math>t - t_0 = \frac{1}{\sqrt{\mu a \left(1 - e^2\right)}} \int\limits_0^\vartheta r^2 d\vartheta</math>.

Здесь <math>t_0</math> — время прохождения через перицентр.

Дальнейшее решение задачи зависит от типа орбиты, по которой движется тело.

Эллиптическая орбита

Уравнение эллипса в полярных координатах имеет вид

<math>r = \frac{a(1-e^2)}{1+e\cos{\vartheta}}</math>

Тогда уравнение для времени приобретает вид

<math>t - t_0 = \frac{\left(a\left(1-e^2\right)\right)^{3/2}}{\sqrt{\mu}} \int\limits_0^\vartheta \frac{d\vartheta}{(1 + e\cos{\vartheta})^2}</math>

Для того, чтобы взять интеграл вводят следующую подстановку:

<math>\operatorname{tg}\frac {\vartheta} {2} = \sqrt{\frac {1+e} {1-e}}\cdot\operatorname{tg}\frac {E} {2}</math>

Величина E называется эксцентрической аномалией. Благодаря такой подстановке интеграл легко берется. Получается следующее уравнение:

<math>t - t_0 = \sqrt{\frac{a^3}{\mu}}\left(E - e\sin E\right)</math>

Величина <math>\sqrt{\frac{\mu}{a^3}}</math> является средней угловой скоростью движения тела по орбите. В небесной механике для этой величины используется термин среднее движение. Произведение среднего движения на время называется средней аномалией M. Эта величина представляет собой угол, на которой повернулся бы радиус-вектор тела, если бы оно двигалось по круговой орбите с радиусом, равным большой полуоси орбиты тела.

Таким образом получаем уравнение Кеплера для эллиптического движения:

<math>E-e\sin E = M</math>

Гиперболическая орбита

Уравнение гиперболы в полярных координатах имеет тот же вид, что и уравнение эллипса. Значит, интеграл получается такой же по виду. Однако, использовать эксцентрическую аномалию в данном случае нельзя. Воспользуемся параметрическим представлением гиперболы: <math>x = -a\,\mathrm{ch}\,H</math>, <math>y = a \sqrt{e^2 -1}\,\mathrm{sh}\,H</math>. Тогда уравнение для гиперболы принимает вид

<math>r = a \left(e\,\mathrm{ch}\,H - 1\right)</math>,

а связь между <math>\vartheta</math> и <math>H</math>

<math>\mathrm{tg}\,\frac{\vartheta}{2} = \sqrt{\frac{e +1}{e -1}}\,\mathrm{th}\,\frac{H}{2}</math>.

Благодаря такой подстановке интеграл приобретает ту же форму, что и в случае с эллиптической орбитой. После произведения преобразований получаем гиперболическое уравнение Кеплера:

<math>M = e\,\mathrm{sh}\,H - H</math>

Величина <math>H</math> называется гиперболической эксцентрической аномалией. Поскольку <math>\mathrm{sh}\,H = -i\sin{iH}</math>, то последнее уравнение можно преобразовать следующим образом:

<math>M = -ei\sin{iH} -H = i\left(iH - e\sin{iH}\right) = i\left(E-e\sin E\right)</math>.

Отсюда видно, что <math>E = i H</math>.

Параболическая орбита

Уравнение параболы в полярных координатах имеет вид

<math>r = \frac{2\,r_{\pi}}{1+\cos \vartheta}</math>

где <math>r_{\pi}</math> - расстояние до перицентра. Второй закон Кеплера для случая движения по параболической траектории

<math>r^2 \, \frac{d\vartheta}{dt} = {\rm const} = \sqrt{2\, \mu \, r_{\pi}}</math>

Откуда получаем интеграл, определяющий время движения

<math>t - t_0 = 2 \, r_{\pi} \, \sqrt{\frac{2\,r_{\pi}}{\mu}} \int\limits_{0}^{\vartheta} \frac{d\vartheta}{(1+\cos\vartheta)^2}</math>

Вводим универсальную тригонометрическую замену

<math>z = {\rm tg} \, \frac{\vartheta}{2}, \quad \vartheta = 2 \, {\rm arctg} \, z, \quad d\vartheta = \frac{2 \, dz}{1 + z^2}, \quad \cos\vartheta = \frac{1-z^2}{1+z^2}</math>

и преобразуем интеграл

<math>t - t_0 = 4 \, r_{\pi} \, \sqrt{\frac{2\,r_{\pi}}{\mu}} \int\limits_{0}^{{\rm tg \,}\frac{\vartheta}{2}} \frac{\cfrac{dz}{1+z^2}}{\left(1+\cfrac{1-z^2}{1+z^2}\right)^2} = r_{\pi} \, \sqrt{\frac{2\,r_{\pi}}{\mu}} \int\limits_{0}^{{\rm tg \,}\frac{\vartheta}{2}} (1 + z^2) \, dz = r_{\pi} \, \sqrt{\frac{2\,r_{\pi}}{\mu}} \left. \left(z + \frac{z^3}{3} \right) \right|_0^{{\rm tg \,}\frac{\vartheta}{2}}</math>

получаем окончательно

<math>t - t_0 = r_{\pi} \, \sqrt{\frac{2\,r_{\pi}}{\mu}} \left({\rm tg \,}\frac{\vartheta}{2} + \frac{1}{3}{\rm tg^3 \,}\frac{\vartheta}{2} \right)</math>

Последнее соотношение известно в небесной механике как уравнение Баркера.

Радиальная орбита

Радиальной называется орбита, представляющая собой прямую линию, проходящую через притягивающий центр. В этом случае вектор скорости направлен вдоль траектории и трансверсальная составляющая отсутствует, значит

<math> v = \frac{dr}{dt} </math>

Связь между положением тела на орбите и временем найдем из энергетических соображений

<math> \frac{m \, v^2}{2} - \frac{m \, \mu}{r} = {\rm const} </math>

<math> v^2 = \frac{2\mu}{r} + h </math>

- интеграл энергии. Отсюда имеем дифференциальное уравнение

<math> \frac{dr}{dt} = \pm \sqrt{\frac{2\mu}{r} + h} </math>

Разделяя переменные в этом уравнении, приходим к интегралу

<math> \mp \left(t_1 - t_0\right) = \int\limits_{r_0}^{r_1} \frac{dr}{\sqrt{\cfrac{2\mu}{r} + h}} </math>

способ вычисления которого определяется знаком константы <math>h</math>. Выделяют три случая

• <math>h < 0</math> прямолинейно-эллиптическая орбита

Соответствует случаю, когда полная механическая энергия тела отрицательна, и удалившись на некоторое максимальное расстояние от притягивающего центра, оно начнет двигаться в обратную сторону. Это аналогично движению по эллиптической орбите. Для вычисления интеграла введем замену

<math> \frac{2\,\mu}{r} = \frac{-h}{\sin^2 u}, \quad u_0 = {\rm arcsin} \sqrt{\frac{-h\,r_0}{2\,\mu}}, \quad u_1 = {\rm arcsin} \sqrt{\frac{-h\,r_1}{2\,\mu}}, \quad dr = \frac{4\,\mu}{-h} \sin u \cos u \,du </math>

вычисляем интеграл

<math> \mp \left(t_1 - t_0\right) = \frac{4\,\mu}{-h\sqrt{-h}} \int\limits_{u_0}^{u_1} \sin^2 u \, du = \frac{2\,\mu}{-h\sqrt{-h}} \int\limits_{u_0}^{u_1} \left(1 - \cos{2u} \right) \, du

=\frac{\mu}{-h\sqrt{-h}} \left. 

\left(2\, u - \sin 2u \right) \right|_{u_0}^{u_1} </math>

Полагая <math>E = 2\,u</math>, запишем результат

<math> \mp \left(t_1 - t_0\right) = \frac{\mu}{-h\sqrt{-h}} \left(E_1 - E_0 - \sin E_1 + \sin E_0 \right) </math>

приняв в качестве (недостижимого в реальности) условного перицентра <math>r_0 = 0</math>, и направление начальной скорости от притягивающего центра, получим так называемое радиальное уравнение Кеплера, связывающее расстояние от притягивающего центра со временем движения

<math> t_1 - t_0 = \frac{\mu}{-h\sqrt{-h}} \left(E - \sin E\right) </math>

где <math>E = 2 \arcsin \sqrt{\frac{-h\,r}{2\,\mu}}</math>.

• <math>h = 0</math> прямолинейно-параболическая орбита

Запущенное радиально тело удалится на бесконечность от притягивающего центра, имея на бесконечности скорость равную нулю. Соответствует случаю движения с параболической скоростью. Самый простой случай, ибо не требует замены в интеграле

<math> \mp \left(t_1 - t_0\right) = \int\limits_{r_0}^{r_1} \frac{dr}{\sqrt{\cfrac{2\mu}{r}}} = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{2}{\mu}} \left( r_1 \sqrt{r_1} - r_0 \sqrt{r_0}\right) </math>

Принимая начальные условия первого случая, получаем явный закон движения

<math> r(t) = \left[3 \sqrt{\frac{\mu}{2}} \left(t_1 - t_0 \right) \right]^{\frac{2}{3}} </math>

• <math>h > 0</math> прямолинейно-гиперболическая орбита

Соответствует уходу от притягивающего центра на бесконечность. На бесконечности тело будет иметь скорость, <math>v_{\infty} = \sqrt{h}</math>. Вводим замену

<math> \frac{2\,\mu}{r} = \frac{h}{{\rm sh}^2 u}, \quad u_0 = {\rm arcsh} \sqrt{\frac{h\,r_0}{2\,\mu}}, \quad u_1 = {\rm arcsh} \sqrt{\frac{h\,r_1}{2\,\mu}}, \quad dr = \frac{4\,\mu}{h} \, {\rm sh} u \, {\rm ch} u \,du </math>

и вычисляем интеграл

<math> \mp \left(t_1 - t_0\right) = \frac{4\,\mu}{h\sqrt{h}} \int\limits_{u_0}^{u_1} {\rm sh}^2 u \, du = \frac{2\,\mu}{h\sqrt{h}} \int\limits_{u_0}^{u_1} \left({\rm ch}{2u} - 1 \right) \, du = \frac{\mu}{h\sqrt{h}} \left. \left({\rm sh} 2u - 2\,u \right) \right|_{u_0}^{u_1} </math>

Полагая <math>H = 2\,u</math>, получаем

<math> \mp \left(t_1 - t_0\right) = \frac{\mu}{h\sqrt{h}} \left({\rm sh} \, H_1 - {\rm sh} \, H_0 - H_1 + H_0 \right) </math>

Полагая начальные условия аналогичными первому случаю, имеем гиперболическое радиальное уравнение Кеплера

<math> t_1 - t_0 = \frac{\mu}{h\sqrt{h}} \left({\rm sh} H - H\right) </math>

где <math>H = 2 \, {\rm arcsh} \sqrt{\frac{h\,r}{2\,\mu}}</math>

Решение уравнения Кеплера

Решение уравнения Кеплера в эллиптическом и гиперболическом случаях существует и единственно при любых вещественных M. Для круговой орбиты (e = 0) уравнение Кеплера принимает тривиальный вид М = E. В общем виде Уравнение Кеплера трансцендентное. Оно не решается в алгебраических функциях. Однако, его решение можно найти различными способами с помощью сходящихся рядов. Общее решение уравнения Кеплера можно записать с помощью рядов Фурье:

<math>E = M + 2\cdot\sum_{n=1}^{n} \frac{1}{n}J_n\left(n\, e \, \right)\cdot\sin{nM}</math>,

где

<math>J_m\left(x\right) = \frac{1}{\pi}\int\limits_0^\pi \cos\left(mE - x\sin{E}\right) dE</math>

— функция Бесселя.

Этот ряд сходится, когда величина ε не превышает значения предела Лапласа.

Приближённые методы

Среди численных методов решения уравнения Кеплера часто используются метод неподвижной точки («метод простой итерации») и метод Ньютона. Для эллиптического случая в методе неподвижной точки за начальное значение E₀ можно взять M, а последовательные приближения имеют следующий вид:

<math>E_{n+1}=e \, \sin E_n+M</math>

В гиперболическом случае метод неподвижной точки подобным образом использовать нельзя, однако этот метод даёт возможность вывести для такого случая другую формулу приближений (с гиперболическим арксинусом):

<math>H_{n+1}=\operatorname{Ar sh}\frac{H_n+M}{e}</math>

Литература

• Д. Е. Охоцимский, Ю. Г. Сихарулидзе. Основы механики космического полета.. — Москва: «Наука», 1990.
• В. Е. Жаров. Сферическая астрономия. — Фрязино, 2006. — С. 480. — ISBN ISBN 5-85099-168-9.
• Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3.
• Лукьянов Л.Г., Ширмин Г. И. Лекции по небесной механике. — Алматы, 209. — С. 276.

Отрывок, характеризующий Уравнение Кеплера

Полковой командир подъехал к своей избе. Полк прошел деревню и у крайних изб на дороге поставил ружья в козлы.
Как огромное, многочленное животное, полк принялся за работу устройства своего логовища и пищи. Одна часть солдат разбрелась, по колено в снегу, в березовый лес, бывший вправо от деревни, и тотчас же послышались в лесу стук топоров, тесаков, треск ломающихся сучьев и веселые голоса; другая часть возилась около центра полковых повозок и лошадей, поставленных в кучку, доставая котлы, сухари и задавая корм лошадям; третья часть рассыпалась в деревне, устраивая помещения штабным, выбирая мертвые тела французов, лежавшие по избам, и растаскивая доски, сухие дрова и солому с крыш для костров и плетни для защиты.
Человек пятнадцать солдат за избами, с края деревни, с веселым криком раскачивали высокий плетень сарая, с которого снята уже была крыша.
– Ну, ну, разом, налегни! – кричали голоса, и в темноте ночи раскачивалось с морозным треском огромное, запорошенное снегом полотно плетня. Чаще и чаще трещали нижние колья, и, наконец, плетень завалился вместе с солдатами, напиравшими на него. Послышался громкий грубо радостный крик и хохот.
– Берись по двое! рочаг подавай сюда! вот так то. Куда лезешь то?
– Ну, разом… Да стой, ребята!.. С накрика!
Все замолкли, и негромкий, бархатно приятный голос запел песню. В конце третьей строфы, враз с окончанием последнего звука, двадцать голосов дружно вскрикнули: «Уууу! Идет! Разом! Навались, детки!..» Но, несмотря на дружные усилия, плетень мало тронулся, и в установившемся молчании слышалось тяжелое пыхтенье.
– Эй вы, шестой роты! Черти, дьяволы! Подсоби… тоже мы пригодимся.
Шестой роты человек двадцать, шедшие в деревню, присоединились к тащившим; и плетень, саженей в пять длины и в сажень ширины, изогнувшись, надавя и режа плечи пыхтевших солдат, двинулся вперед по улице деревни.
– Иди, что ли… Падай, эка… Чего стал? То то… Веселые, безобразные ругательства не замолкали.
– Вы чего? – вдруг послышался начальственный голос солдата, набежавшего на несущих.
– Господа тут; в избе сам анарал, а вы, черти, дьяволы, матершинники. Я вас! – крикнул фельдфебель и с размаху ударил в спину первого подвернувшегося солдата. – Разве тихо нельзя?
Солдаты замолкли. Солдат, которого ударил фельдфебель, стал, покряхтывая, обтирать лицо, которое он в кровь разодрал, наткнувшись на плетень.
– Вишь, черт, дерется как! Аж всю морду раскровянил, – сказал он робким шепотом, когда отошел фельдфебель.
– Али не любишь? – сказал смеющийся голос; и, умеряя звуки голосов, солдаты пошли дальше. Выбравшись за деревню, они опять заговорили так же громко, пересыпая разговор теми же бесцельными ругательствами.
В избе, мимо которой проходили солдаты, собралось высшее начальство, и за чаем шел оживленный разговор о прошедшем дне и предполагаемых маневрах будущего. Предполагалось сделать фланговый марш влево, отрезать вице короля и захватить его.
Когда солдаты притащили плетень, уже с разных сторон разгорались костры кухонь. Трещали дрова, таял снег, и черные тени солдат туда и сюда сновали по всему занятому, притоптанному в снегу, пространству.
Топоры, тесаки работали со всех сторон. Все делалось без всякого приказания. Тащились дрова про запас ночи, пригораживались шалашики начальству, варились котелки, справлялись ружья и амуниция.
Притащенный плетень осьмою ротой поставлен полукругом со стороны севера, подперт сошками, и перед ним разложен костер. Пробили зарю, сделали расчет, поужинали и разместились на ночь у костров – кто чиня обувь, кто куря трубку, кто, донага раздетый, выпаривая вшей.


Казалось бы, что в тех, почти невообразимо тяжелых условиях существования, в которых находились в то время русские солдаты, – без теплых сапог, без полушубков, без крыши над головой, в снегу при 18° мороза, без полного даже количества провианта, не всегда поспевавшего за армией, – казалось, солдаты должны бы были представлять самое печальное и унылое зрелище.
Напротив, никогда, в самых лучших материальных условиях, войско не представляло более веселого, оживленного зрелища. Это происходило оттого, что каждый день выбрасывалось из войска все то, что начинало унывать или слабеть. Все, что было физически и нравственно слабого, давно уже осталось назади: оставался один цвет войска – по силе духа и тела.
К осьмой роте, пригородившей плетень, собралось больше всего народа. Два фельдфебеля присели к ним, и костер их пылал ярче других. Они требовали за право сиденья под плетнем приношения дров.
– Эй, Макеев, что ж ты …. запропал или тебя волки съели? Неси дров то, – кричал один краснорожий рыжий солдат, щурившийся и мигавший от дыма, но не отодвигавшийся от огня. – Поди хоть ты, ворона, неси дров, – обратился этот солдат к другому. Рыжий был не унтер офицер и не ефрейтор, но был здоровый солдат, и потому повелевал теми, которые были слабее его. Худенький, маленький, с вострым носиком солдат, которого назвали вороной, покорно встал и пошел было исполнять приказание, но в это время в свет костра вступила уже тонкая красивая фигура молодого солдата, несшего беремя дров.
– Давай сюда. Во важно то!
Дрова наломали, надавили, поддули ртами и полами шинелей, и пламя зашипело и затрещало. Солдаты, придвинувшись, закурили трубки. Молодой, красивый солдат, который притащил дрова, подперся руками в бока и стал быстро и ловко топотать озябшими ногами на месте.
– Ах, маменька, холодная роса, да хороша, да в мушкатера… – припевал он, как будто икая на каждом слоге песни.
– Эй, подметки отлетят! – крикнул рыжий, заметив, что у плясуна болталась подметка. – Экой яд плясать!
Плясун остановился, оторвал болтавшуюся кожу и бросил в огонь.
– И то, брат, – сказал он; и, сев, достал из ранца обрывок французского синего сукна и стал обвертывать им ногу. – С пару зашлись, – прибавил он, вытягивая ноги к огню.
– Скоро новые отпустят. Говорят, перебьем до копца, тогда всем по двойному товару.
– А вишь, сукин сын Петров, отстал таки, – сказал фельдфебель.
– Я его давно замечал, – сказал другой.
– Да что, солдатенок…
– А в третьей роте, сказывали, за вчерашний день девять человек недосчитали.
– Да, вот суди, как ноги зазнобишь, куда пойдешь?
– Э, пустое болтать! – сказал фельдфебель.
– Али и тебе хочется того же? – сказал старый солдат, с упреком обращаясь к тому, который сказал, что ноги зазнобил.
– А ты что же думаешь? – вдруг приподнявшись из за костра, пискливым и дрожащим голосом заговорил востроносенький солдат, которого называли ворона. – Кто гладок, так похудает, а худому смерть. Вот хоть бы я. Мочи моей нет, – сказал он вдруг решительно, обращаясь к фельдфебелю, – вели в госпиталь отослать, ломота одолела; а то все одно отстанешь…
– Ну буде, буде, – спокойно сказал фельдфебель. Солдатик замолчал, и разговор продолжался.
– Нынче мало ли французов этих побрали; а сапог, прямо сказать, ни на одном настоящих нет, так, одна названье, – начал один из солдат новый разговор.
– Всё казаки поразули. Чистили для полковника избу, выносили их. Жалости смотреть, ребята, – сказал плясун. – Разворочали их: так живой один, веришь ли, лопочет что то по своему.
– А чистый народ, ребята, – сказал первый. – Белый, вот как береза белый, и бравые есть, скажи, благородные.
– А ты думаешь как? У него от всех званий набраны.
– А ничего не знают по нашему, – с улыбкой недоумения сказал плясун. – Я ему говорю: «Чьей короны?», а он свое лопочет. Чудесный народ!
– Ведь то мудрено, братцы мои, – продолжал тот, который удивлялся их белизне, – сказывали мужики под Можайским, как стали убирать битых, где страженья то была, так ведь что, говорит, почитай месяц лежали мертвые ихние то. Что ж, говорит, лежит, говорит, ихний то, как бумага белый, чистый, ни синь пороха не пахнет.
– Что ж, от холода, что ль? – спросил один.
– Эка ты умный! От холода! Жарко ведь было. Кабы от стужи, так и наши бы тоже не протухли. А то, говорит, подойдешь к нашему, весь, говорит, прогнил в червях. Так, говорит, платками обвяжемся, да, отворотя морду, и тащим; мочи нет. А ихний, говорит, как бумага белый; ни синь пороха не пахнет.
Все помолчали.
– Должно, от пищи, – сказал фельдфебель, – господскую пищу жрали.
Никто не возражал.
– Сказывал мужик то этот, под Можайским, где страженья то была, их с десяти деревень согнали, двадцать дён возили, не свозили всех, мертвых то. Волков этих что, говорит…
– Та страженья была настоящая, – сказал старый солдат. – Только и было чем помянуть; а то всё после того… Так, только народу мученье.
– И то, дядюшка. Позавчера набежали мы, так куда те, до себя не допущают. Живо ружья покидали. На коленки. Пардон – говорит. Так, только пример один. Сказывали, самого Полиона то Платов два раза брал. Слова не знает. Возьмет возьмет: вот на те, в руках прикинется птицей, улетит, да и улетит. И убить тоже нет положенья.
– Эка врать здоров ты, Киселев, посмотрю я на тебя.
– Какое врать, правда истинная.
– А кабы на мой обычай, я бы его, изловимши, да в землю бы закопал. Да осиновым колом. А то что народу загубил.
– Все одно конец сделаем, не будет ходить, – зевая, сказал старый солдат.
Разговор замолк, солдаты стали укладываться.
– Вишь, звезды то, страсть, так и горят! Скажи, бабы холсты разложили, – сказал солдат, любуясь на Млечный Путь.
– Это, ребята, к урожайному году.
– Дровец то еще надо будет.
– Спину погреешь, а брюха замерзла. Вот чуда.
– О, господи!
– Что толкаешься то, – про тебя одного огонь, что ли? Вишь… развалился.
Из за устанавливающегося молчания послышался храп некоторых заснувших; остальные поворачивались и грелись, изредка переговариваясь. От дальнего, шагов за сто, костра послышался дружный, веселый хохот.
– Вишь, грохочат в пятой роте, – сказал один солдат. – И народу что – страсть!
Один солдат поднялся и пошел к пятой роте.
– То то смеху, – сказал он, возвращаясь. – Два хранцуза пристали. Один мерзлый вовсе, а другой такой куражный, бяда! Песни играет.