Уравнение Клейна — Гордона

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск
Для термина «Клейн» см. также другие значения.
Для термина «Гордон» см. также другие значения.
   Квантовая механика
<math>\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2} </math>
Принцип неопределённости
Введение
Математические основы
См. также: Портал:Физика

Уравнение Клейна — Гордона (Уравнение Клейна — Гордона — Фока, более правильное название уравнение Клейна—Фока[1],[2]):

<math>

\partial^2_x \psi + \partial^2_y \psi + \partial^2_z \psi - {1\over c^2}\partial^2_t \psi - {m^2 c^2\over \hbar^2} \psi = 0. </math>

или, кратко, используя вдобавок естественные единицы (где <math>\hbar=c=1</math>):

<math>

(\square\ - m^2) \psi = 0. </math>

где <math>\square\ </math> — оператор Д’Аламбера.

— является релятивистской версией уравнения Шрёдингера. Используется для описания быстро движущихся частиц, имеющих массу (массу покоя). Строго применимо к описанию скалярных массивных полей (впрочем, пока с определённостью не известных в фундаментальной физике). Может быть обобщено для частиц с целым и полуцелым спинами.[3] Кроме прочего, ясно, что уравнение является обобщением волнового уравнения, подходящего для описания безмассовых скалярных и векторных полей.

Механические системы (реальные или воображаемые), описывающиеся уравнением Клейна — Гордона — Фока, могут быть простыми модификациями систем, описывающихся волновым уравнением, например:

  • в одномерном случае — натянутая тяжёлая нить, лежащая (приклеенная) на упругой (гуковской) подкладке.
  • макроскопически изотропный кристалл, каждый атом которого находится, кроме связи с соседними атомами, ещё и в фиксированной в пространстве квадратичной потенциальной яме.
  • более реалистично, если говорить о реальных кристаллах, рассмотреть моды поперечных колебаний, при которых, например, соседние слои атомов колеблются в противофазе: такие моды (в линейном приближении) будут подчиняться двумерному уравнению Клейна — Гордона — Фока в координатах, лежащих в плоскости слоев.

Уравнение, в котором последний («массовый») член имеет знак, противоположный обычному, описывает в теоретической физике тахион. Такой вариант уравнения также допускает простую механическую реализацию.

Уравнение Клейна — Гордона — Фока для свободной частицы (которое и приведено выше) имеет простое решение в виде синусоидальных плоских волн.

  • Замечание: положив пространственные производные нулю (что в квантовой механике соответствует нулевому импульсу частицы), мы имеем для обычного уравнения Клейна — Гордона — Фока гармонический осциллятор с частотой <math>\pm mc^2 / \hbar</math>, что соответствует ненулевой энергии покоя, определяемой массой <math>m</math> частицы. Тахионный же вариант уравнения в этом случае неустойчив, а решение его включает в общем случае неограниченно возрастающую экспоненту.




История

Уравнение Клейна — Гордона первоначально записал Эрвин Шрёдингер до записи нерелятивистского уравнения, которое носит сейчас его имя. Он отказался от него (не опубликовав), потому что не смог включить спин электрона в уравнение. Шрёдингер сделал упрощение уравнения Клейна — Гордона и нашёл «своё» уравнение.

В 1926 году, вскоре после публикации уравнения Шрёдингера, Фок[4][5] написал статью о его обобщении на случай магнитных полей, где силы зависели от скорости и независимо вывел это уравнение. И Клейн[6] (его работа появилась несколько раньше, но вышла из печати уже после того, как статья Фока была принята в журнал), и Фок использовали метод Калуцы — Клейна. Фок также ввёл калибровочную теорию для волнового уравнения.

Статья Гордона (конец 1926) была посвящена эффекту Комптона.[7]

Вывод

(Здесь использованы естественные единицы где <math>\hbar=c=1</math>).

Уравнение Шрёдингера для свободной частицы записывается так:

<math>

\frac{\hat{\mathbf{p}}^2}{2m} \psi = i \partial_t \psi </math> где <math>\hat{\mathbf{p}} = -i\mathbf{\nabla}</math> — оператор импульса, оператор же <math> \hat{E} = i \partial_t </math> — будем называть, в отличие от гамильтониана, просто оператором энергии.

Уравнение Шрёдингера не является релятивистски ковариантным, то есть не согласуется со специальной теорией относительности (СТО).

Используем релятивистское дисперсионное (связывающее энергию и импульс) соотношение (из СТО):

<math>p^2 + m^2 = E^2.</math>

Тогда просто подставляя квантовомеханические оператор импульса и оператор энергии [8] — получаем:

<math>((-i\mathbf{\nabla})^2 + m^2) \psi= i^2 \partial_t^2 \psi,</math>

что в ковариантной форме запишется так:

<math>(\square\ - m^2) \psi = 0.</math>

где <math> \square\ = \nabla^2 - \partial_t^2 </math> — оператор Д’Аламбера.

Решение уравнения Клейна — Гордона — Фока для свободной частицы

Искать решение уравнения Клейна — Гордона — Фока для свободной частицы

<math>\mathbf{\nabla}^2\psi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\psi

= \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\psi</math>

можно, как и для любого линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, в виде суперпозиции (то есть любой, конечной или бесконечной линейной комбинации) плоских волн:

<math>\psi(\mathbf{r},\; t) = e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)},</math>

подставляя же каждую такую волну в уравнение, получаем условие на <math>\mathbf k</math> и <math>\omega</math>:

<math>-k^2+\frac{\omega^2}{c^2}=\frac{m^2c^2}{\hbar^2}.</math>

Плоская волна, как легко заметить, описывает чистое состояние с определённой энергией и импульсом (то есть является собственной функцией соответствующих операторов). Энергия и импульс (то есть собственные значения этих операторов), исходя из этого, могут быть для неё просто посчитаны, как и в случае нерелятивистской частицы:

<math>

\langle\mathbf{p}\rangle= \langle \psi |\hat{\mathbf{p}}|\psi\rangle = \langle \psi |-i\hbar\mathbf{\nabla}|\psi\rangle = \hbar\mathbf{k} </math>

<math>

\langle E\rangle= \langle \psi |\hat{E}|\psi\rangle = \langle \psi |i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi\rangle = \hbar\omega </math>

Найденное соотношение <math>k</math> и <math>\omega</math> тогда (снова) даёт уравнение связи между энергией и импульсом релятивистской частицы с ненулевой массой, известное из классики:

<math>\langle E^2 \rangle=m^2c^4+\langle \mathbf{p}^2 \rangle c^2.</math>

Причём ясно, что соотношение для средних величин будет выполняться не только для состояний с определённой энергией и импульсом, но и для любой их суперпозиции, то есть для любого решения уравнения Клейна — Гордона — Фока (что, в частности, обеспечивает выполнение этого соотношения и в классическом пределе).

Для безмассовых частиц мы можем положить <math>m=0</math> в последнем уравнении. Тогда получим для безмассовых частиц закон дисперсии (он же соотношение энергии и импульса) в виде:

<math>\langle E^2 \rangle=\langle \mathbf{p}^2 \rangle c^2.</math>

Использовав формулу групповой скорости <math> \mathbf{v}_{gr} = \partial \omega / \partial \mathbf{k}\ </math>, нетрудно получить обычные релятивистские формулы связи импульса и энергии со скоростью; в принципе, того же результата можно добиться и просто посчитав коммутатор гамильтониана с координатой, но в случае уравнения Клейна — Гордона — Фока мы сталкиваемся с трудностью выписать гамильтониан в явном виде[9] (очевиден только квадрат гамильтониана).

Напишите отзыв о статье "Уравнение Клейна — Гордона"

Примечания

  1. ↑ [fock.phys.spbu.ru/history_overview_demkov.htm Ю. Н. Демков. Развитие теории электронно-атомных столкновений в Ленинградском университете]
  2. ↑ Л. Д. Фаддеев. Новая жизнь полной интегрируемости // УФН, 2013, май (том 183, № 5), с. 490
  3. ↑ см. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей" § 4, 6
  4. ↑ [web.ihep.su/dbserv/compas/src/fock26/rus.pdf Vladimir Fock ; Zeitschrift für Physik 38 (1926) 242]
  5. ↑ Vladimir Fock ; Zeitschrift für Physik 39 (1926) 226
  6. ↑ [link.springer.com/article/10.1007%2FBF01397481 Klein, O. 1926. Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie. Zeitschrift für Physik 37:895-906.]
  7. ↑ [www.itep.ru/theor/text/Gordon.pdf W.Gordon, «Эффект Комптона в теории Шредингера.», 1926]
  8. ↑ Можно было бы просто извлечь корень из оператора в скобках в левой части уравнения
    <math>((-i\mathbf{\nabla})^2 + m^2) \psi= i^2 \partial_t^2 \psi,</math>
    то есть найти таким образом гамильтониан, тогда в правой части осталась бы первая производная по времени, и аналогия с уравнением Шрёдингера была бы ещё более непосредственной и прямой. Однако утверждается, что для случая скалярного (или векторного) поля <math>\psi</math> невозможно проделать это так, чтобы получившийся гамильтониан был локальным. Для случая же биспинорного <math>\psi</math> Дираку удалось получить таким образом локальный (и даже с производными лишь первого порядка) гамильтониан, получив этим самым так называемое уравнение Дирака (все решения которого в пространстве Минковского, кстати, являются и решениями уравнения Клейна — Гордона, но не обратно; а в искривлённом пространстве различие уравнений становится явным).
  9. ↑ см. примечание 2.

См. также

Ссылки

  • [eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde/lpde203.pdf Линейное уравнение Клейна — Гордона] на EqWorld: The World of Mathematical Equations.
  • [eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/npde/npde2107.pdf Нелинейное уравнение Клейна — Гордона] на EqWorld: The World of Mathematical Equations.