Уравнение Колмогорова — Чепмена

Уравнение Колмогорова — Чепмена для однопараметрического семейства непрерывных линейных операторов <math>\mathbf{P}(t),\; t > 0 </math> в топологическом векторном пространстве выражает полугрупповое свойство:

<math>\mathbf{P}(t+s)=\mathbf{P}(t)\mathbf{P}(s).</math>

Чаще всего этот термин используется в теории однородных марковских случайных процессов, где <math>\mathbf{P}(t),\; t\geq 0 </math> — оператор, преобразующий распределение вероятностей в начальный момент времени в распределение вероятности в момент времени <math>t</math> (<math>\mathbf{P}(0)=\mathbf{1}</math>).

Для неоднородных процессов рассматриваются двухпараметрические семейства операторов <math>\mathbf{P}(t,h),\; h > t > 0 </math>, преобразующих распределение вероятностей в момент времени <math>t > 0 </math> в распределение вероятности в момент времени <math>h > t > 0.</math> Для них уравнение Колмогорова—Чепмена имеет вид

<math>\mathbf{P}(t,s)=\mathbf{P}(t,h)\mathbf{P}(h,s), \;s > h > t > 0.</math>

Для систем с дискретным временем параметры <math>t, h, s </math> принимают натуральные значения.

Прямое и обратное уравнения Колмогорова

Формально дифференцируя уравнение Колмогорова—Чепмена по <math>s</math> при <math>s=0</math> получаем прямое уравнение Колмогорова:

<math>\frac{d \mathbf{P}(t)}{d t}=\mathbf{P}(t)\mathbf{Q},</math>

где

<math>\mathbf{Q}=\lim_{h \to 0}\frac{\mathbf{P}(h)-\mathbf{1}}{h}.</math>

Формально дифференцируя уравнение Колмогорова — Чепмена по <math>t</math> при <math>t=0</math> получаем обратное уравнение Колмогорова

<math>\frac{d \mathbf{P}(t)}{d t}=\mathbf{Q}\mathbf{P}(t).</math>

Необходимо подчеркнуть, что для бесконечномерных пространств оператор <math>\mathbf{Q}</math> уже не обязательно непрерывен, и может быть определен не всюду, например, быть дифференциальным оператором в пространстве распределений.

Примеры

Рассмотрим однородные марковские случайные процессы в <math>\mathbb{R}^n,</math> для которых оператор переходных вероятностей <math>\mathbf{P}(t)</math> задаётся переходной плотностью <math>p(t,x,y)</math>: вероятность перехода из области <math>U</math> в область <math>W</math> за время <math>t</math> есть <math>\int\limits_U dx \,\int\limits_V dy \, p(t,x,y)</math>. Уравнение Колмогорова—Чепмена для плотностей имеет вид:

<math>p(t+s,x,y)=\int\limits_{\mathbb{R}^n}p(t,x,z)p(s,z,y)\, dz .</math>

При <math>t>0, \, t \to 0</math> переходная плотность <math>p(t,x,y)</math> стремится к δ-функции (в смысле слабого предела обобщенных функций):<math>\lim_{t \to 0} p(t,x,y) = \delta(x-y)</math>. Это означает, что <math>\lim_{t \to 0} \mathbf{P}(t)=\mathbf{1}. </math> Пусть существует предел (также обобщённая функция)

<math>q(x,y)=\lim_{h \to 0}\frac{p(h,x,y)-\delta(x-y)}{h}.</math>

Тогда оператор <math>\mathbf{Q}</math> действует на функции <math>f(x)</math>, определённые на <math>\mathbb{R}^n,</math> как <math>(\mathbf{Q}f)(x) = \int\limits_{\mathbb{R}^n} q(x,y) f(y) \, dy , </math> и прямое уравнение Колмогорова принимает вид

<math>\frac{\partial p(t,x,y)}{\partial t}=\int\limits_{\mathbb{R}^n} p(t,x,z) q(z,y) \, dz, </math>

а обратное уравнение Колмогорова

<math>\frac{\partial p(t,x,y)}{\partial t}=\int\limits_{\mathbb{R}^n} q(x,z) p(t,z,y) \, dz . </math>

Пусть оператор <math>\mathbf{Q}</math> — дифференциальный оператор второго порядка с непрерывными коэффициентами:

<math>(\mathbf{Q}f)= \frac{1}{2}\sum_{i,j} a^{ij}(x)\frac{\partial^2 f}{\partial x^i\partial x^j}+ \sum_j b^j(x) \frac{\partial f}{\partial x^j}.</math>

(это означает, что <math>q(x,y)</math> есть линейная комбинация первых и вторых производных <math>\delta(x-y)</math> с непрерывными коэффициентами). Матрица <math>a^{ij}</math> симметрична. Пусть она положительно определена в каждой точке (диффузия). Прямое уравнение Колмогорова имеет вид

<math>\frac{\partial p(t,x,y)}{\partial t}= \frac{1}{2}\sum_{i,j} \frac{\partial^2}{\partial y^i\partial y^j}(a^{ij}(y)p(t,x,y))- \sum_j \frac{\partial }{\partial y^j}(b^j(y) p(t,x,y)).</math>

Это уравнение называется уравнением Фоккера — Планка. Вектор <math>b^j</math> в физической литературе называется вектором сноса, а матрица <math>a^{ij}</math> — тензором диффузии Обратное уравнение Колмогорова в этом случае

<math>\frac{\partial p(t,x,y)}{\partial t}= \frac{1}{2}\sum_{i,j} a^{ij}(x) \frac{\partial^2}{\partial x^i\partial x^j}p(t,x,y)+ \sum_j b^j(x) \frac{\partial }{\partial x^j} p(t,x,y).</math>

См. также

Цепь Маркова

Уравнение Фоккера — Планка

Литература

• Вентцель А. Д., Курс теории случайных процессов. — М.: Наука, 1996. — 400 с.

Отрывок, характеризующий Уравнение Колмогорова — Чепмена

«Viens calmer les tourments de ma sombre retraite
«Et mele une douceur secrete
«A ces pleurs, que je sens couler».
[Ядовитая пища слишком чувствительной души,
Ты, без которой счастье было бы для меня невозможно,
Нежная меланхолия, о, приди, меня утешить,
Приди, утиши муки моего мрачного уединения
И присоедини тайную сладость
К этим слезам, которых я чувствую течение.]
Жюли играла Борису нa арфе самые печальные ноктюрны. Борис читал ей вслух Бедную Лизу и не раз прерывал чтение от волнения, захватывающего его дыханье. Встречаясь в большом обществе, Жюли и Борис смотрели друг на друга как на единственных людей в мире равнодушных, понимавших один другого.
Анна Михайловна, часто ездившая к Карагиным, составляя партию матери, между тем наводила верные справки о том, что отдавалось за Жюли (отдавались оба пензенские именья и нижегородские леса). Анна Михайловна, с преданностью воле провидения и умилением, смотрела на утонченную печаль, которая связывала ее сына с богатой Жюли.
– Toujours charmante et melancolique, cette chere Julieie, [Она все так же прелестна и меланхолична, эта милая Жюли.] – говорила она дочери. – Борис говорит, что он отдыхает душой в вашем доме. Он так много понес разочарований и так чувствителен, – говорила она матери.
– Ах, мой друг, как я привязалась к Жюли последнее время, – говорила она сыну, – не могу тебе описать! Да и кто может не любить ее? Это такое неземное существо! Ах, Борис, Борис! – Она замолкала на минуту. – И как мне жалко ее maman, – продолжала она, – нынче она показывала мне отчеты и письма из Пензы (у них огромное имение) и она бедная всё сама одна: ее так обманывают!
Борис чуть заметно улыбался, слушая мать. Он кротко смеялся над ее простодушной хитростью, но выслушивал и иногда выспрашивал ее внимательно о пензенских и нижегородских имениях.
Жюли уже давно ожидала предложенья от своего меланхолического обожателя и готова была принять его; но какое то тайное чувство отвращения к ней, к ее страстному желанию выйти замуж, к ее ненатуральности, и чувство ужаса перед отречением от возможности настоящей любви еще останавливало Бориса. Срок его отпуска уже кончался. Целые дни и каждый божий день он проводил у Карагиных, и каждый день, рассуждая сам с собою, Борис говорил себе, что он завтра сделает предложение. Но в присутствии Жюли, глядя на ее красное лицо и подбородок, почти всегда осыпанный пудрой, на ее влажные глаза и на выражение лица, изъявлявшего всегдашнюю готовность из меланхолии тотчас же перейти к неестественному восторгу супружеского счастия, Борис не мог произнести решительного слова: несмотря на то, что он уже давно в воображении своем считал себя обладателем пензенских и нижегородских имений и распределял употребление с них доходов. Жюли видела нерешительность Бориса и иногда ей приходила мысль, что она противна ему; но тотчас же женское самообольщение представляло ей утешение, и она говорила себе, что он застенчив только от любви. Меланхолия ее однако начинала переходить в раздражительность, и не задолго перед отъездом Бориса, она предприняла решительный план. В то самое время как кончался срок отпуска Бориса, в Москве и, само собой разумеется, в гостиной Карагиных, появился Анатоль Курагин, и Жюли, неожиданно оставив меланхолию, стала очень весела и внимательна к Курагину.
– Mon cher, – сказала Анна Михайловна сыну, – je sais de bonne source que le Prince Basile envoie son fils a Moscou pour lui faire epouser Julieie. [Мой милый, я знаю из верных источников, что князь Василий присылает своего сына в Москву, для того чтобы женить его на Жюли.] Я так люблю Жюли, что мне жалко бы было ее. Как ты думаешь, мой друг? – сказала Анна Михайловна.