Уравне́ние Кортеве́га — де Фри́за (уравнение КдФ, также встречается написание де Вриза и де Фриса, англ. Korteweg–de Vries equation) — нелинейное уравнение в частных производных третьего порядка, играющее важную роль в теории нелинейных волн, в основном гидродинамического происхождения. Впервые было получено Жозефом Буссинеском в 1877 году[1], но подробный анализ был проведён уже Дидериком Кортевегом и Густавом де Фризом в 1895 году[2].
Уравнение имеет вид:
- <math>\frac{\partial u}{\partial t} + 6u\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial^3u}{\partial x^3} = 0</math>
Решения
Для уравнения Кортевега — де Фриза найдено большое количество точных решений, представляющих собой стационарные нелинейные волны. В том числе, данное уравнение имеет решения солитонного типа следующего вида:
- <math>u(x,t) = \frac{2\kappa^2}{\cosh^2\left[\kappa(x-4\kappa^2t-x_0)\right]}</math>
где <math>\kappa</math> — свободный параметр, определяющий высоту и ширину солитона, а также его скорость, <math>x_0</math> — также произвольная константа, зависящая от выбора начала отсчёта оси x. Особое значение солитонам придаёт тот факт, что любое начальное возмущение, экспоненциально спадающее на бесконечности, с течением времени эволюционирует в конечный набор солитонов, разнесённых в пространстве. Точный поиск этих решений может быть проведён регулярным образом при помощи метода обратной задачи рассеяния.
Периодические решения уравнения Кортевега — де Фриза имеют вид кноидальных волн, описываемых эллиптическими интегралами:
- <math>x-ct-x_0 = \int \left(2E + cu^2 - 2u^3\right)^{-\frac{1}{2}}du</math>
где c, E — параметры волны, определяющие её амплитуду и период.
Также уравнение Кортевега — де Фриза допускает автомодельные решения, которые в общем случае могут быть получены при помощи преобразований Беклунда и выражаются через решения уравнения Пенлеве.
Интегралы
Уравнение Кортевега — де Фриза имеет бесконечное множество интегралов движения вида
- <math>I_n = \int P_n\left(u, \frac{\partial u}{\partial x}, ...\right)dx</math>
где <math>P_n\left(u, \frac{\partial u}{\partial x}\right)</math> — полиномы n-ой степени от неизвестной функции и её пространственных производных, в частности:
- <math>P_0 = u</math>
- <math>P_1 = u^2</math>
- <math>P_2 = u^3 - \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2</math>
- <math>P_3 = \frac{1}{2}\left(5u^2 + 5u\frac{\partial u}{\partial x} + \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right)^2\right)</math>
Можно показать, что уравнение КдФ является интегрируемой гамильтоновой системой.
Обобщения
При наличии диссипации уравнение Кортевега — де Фриза переходит в уравнение Бюргерса — Кортевега — де Фриза, имеющее вид
- <math>\frac{\partial u}{\partial t} + 6u\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial^3u}{\partial x^3} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}</math>
где параметр <math>\nu</math> характеризует величину диссипации.
В двумерной геометрии обобщением уравнения Кортевега — де Фриза является так называемое уравнение Кадомцева — Петвиашвили, имеющее вид:
- <math>\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial u}{\partial t} + 6u\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial^3u}{\partial x^3}\right) = \pm \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}</math>
Напишите отзыв о статье "Уравнение Кортевега — де Фриза"
Примечания
- ↑ Boussinesq J. Essai sur la theorie des eaux courantes. — 1877. — С. 360. — 680 с.
- ↑ D. J. Korteweg, G. de Vries [dx.doi.org/10.1080/14786449508620739 On the Change of Form of Long Waves Advancing in a Rectangular Canal, and on a New Type of Long Stationary Waves] (англ.) // Philosophical Magazine. — 1895. — Vol. 39. — P. 422—443.
Литература
- Дубровин Б. А., Кричевер И. М., Новиков С. П. [www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=intf&paperid=37&option_lang=rus Интегрируемые системы. I.] — Динамические системы — 4, Итоги науки и техн. — М.: ВИНИТИ, 1985. — Т. 4. — С. 179—284. — (Совр. пробл. математики. Фундаментальные направления).
- Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: метод обратной задачи. — 1980. — 319 с.
- [www.femto.com.ua/articles/part_1/1780.html Кортевега — де Фриса уравнение] — статья из Физической энциклопедии
- Дж. Уизем. 13.11. Уравнение Кортевега — де Фриза и Буссинеска // [books.google.ru/books?id=F54-PgAACAAJ Линейные и нелинейные волны]. — Мир, 1977. — С. 443—448. — 622 с.
- Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. — 1989. — 326 с.
|
---|
| Виды уравнений | |
---|
</td></tr> | Типы уравнений | |
---|
</td></tr> | Краевые условия | |
---|
</td></tr> | Уравнения математической физики |
| |
---|
</td></tr> | | |
---|
</td></tr> | | |
---|
</td></tr> | | |
---|
</td></tr> | Общие модели | |
---|
</td></tr> | Методы решения |
|
---|
| Сеточные методы |
Конечноэлементные методы | |
---|
| Другие методы | |
---|
|
---|
| Не сеточные методы | </div> | </table></td></tr></table></div></td></tr><tr style="height:2px"><td colspan="2"></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group">Исследование уравнений</th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px">
Отрывок, характеризующий Уравнение Кортевега — де Фриза– Плохо дело, а?
– Что плохо, батюшка?
– Жена! – коротко и значительно сказал старый князь.
– Я не понимаю, – сказал князь Андрей.
– Да нечего делать, дружок, – сказал князь, – они все такие, не разженишься. Ты не бойся; никому не скажу; а ты сам знаешь.
Он схватил его за руку своею костлявою маленькою кистью, потряс ее, взглянул прямо в лицо сына своими быстрыми глазами, которые, как казалось, насквозь видели человека, и опять засмеялся своим холодным смехом.
Сын вздохнул, признаваясь этим вздохом в том, что отец понял его. Старик, продолжая складывать и печатать письма, с своею привычною быстротой, схватывал и бросал сургуч, печать и бумагу.
– Что делать? Красива! Я всё сделаю. Ты будь покоен, – говорил он отрывисто во время печатания.
Андрей молчал: ему и приятно и неприятно было, что отец понял его. Старик встал и подал письмо сыну.
– Слушай, – сказал он, – о жене не заботься: что возможно сделать, то будет сделано. Теперь слушай: письмо Михайлу Иларионовичу отдай. Я пишу, чтоб он тебя в хорошие места употреблял и долго адъютантом не держал: скверная должность! Скажи ты ему, что я его помню и люблю. Да напиши, как он тебя примет. Коли хорош будет, служи. Николая Андреича Болконского сын из милости служить ни у кого не будет. Ну, теперь поди сюда.
Он говорил такою скороговоркой, что не доканчивал половины слов, но сын привык понимать его. Он подвел сына к бюро, откинул крышку, выдвинул ящик и вынул исписанную его крупным, длинным и сжатым почерком тетрадь.
– Должно быть, мне прежде тебя умереть. Знай, тут мои записки, их государю передать после моей смерти. Теперь здесь – вот ломбардный билет и письмо: это премия тому, кто напишет историю суворовских войн. Переслать в академию. Здесь мои ремарки, после меня читай для себя, найдешь пользу.
Андрей не сказал отцу, что, верно, он проживет еще долго. Он понимал, что этого говорить не нужно.
– Всё исполню, батюшка, – сказал он.
– Ну, теперь прощай! – Он дал поцеловать сыну свою руку и обнял его. – Помни одно, князь Андрей: коли тебя убьют, мне старику больно будет… – Он неожиданно замолчал и вдруг крикливым голосом продолжал: – а коли узнаю, что ты повел себя не как сын Николая Болконского, мне будет… стыдно! – взвизгнул он.
– Этого вы могли бы не говорить мне, батюшка, – улыбаясь, сказал сын.
Старик замолчал.
– Еще я хотел просить вас, – продолжал князь Андрей, – ежели меня убьют и ежели у меня будет сын, не отпускайте его от себя, как я вам вчера говорил, чтоб он вырос у вас… пожалуйста.
– Жене не отдавать? – сказал старик и засмеялся.
Они молча стояли друг против друга. Быстрые глаза старика прямо были устремлены в глаза сына. Что то дрогнуло в нижней части лица старого князя.
– Простились… ступай! – вдруг сказал он. – Ступай! – закричал он сердитым и громким голосом, отворяя дверь кабинета.
– Что такое, что? – спрашивали княгиня и княжна, увидев князя Андрея и на минуту высунувшуюся фигуру кричавшего сердитым голосом старика в белом халате, без парика и в стариковских очках.
Князь Андрей вздохнул и ничего не ответил.
– Ну, – сказал он, обратившись к жене.
И это «ну» звучало холодною насмешкой, как будто он говорил: «теперь проделывайте вы ваши штуки».
– Andre, deja! [Андрей, уже!] – сказала маленькая княгиня, бледнея и со страхом глядя на мужа.
Он обнял ее. Она вскрикнула и без чувств упала на его плечо.
Он осторожно отвел плечо, на котором она лежала, заглянул в ее лицо и бережно посадил ее на кресло.
– Adieu, Marieie, [Прощай, Маша,] – сказал он тихо сестре, поцеловался с нею рука в руку и скорыми шагами вышел из комнаты.
Княгиня лежала в кресле, m lle Бурьен терла ей виски. Княжна Марья, поддерживая невестку, с заплаканными прекрасными глазами, всё еще смотрела в дверь, в которую вышел князь Андрей, и крестила его. Из кабинета слышны были, как выстрелы, часто повторяемые сердитые звуки стариковского сморкания. Только что князь Андрей вышел, дверь кабинета быстро отворилась и выглянула строгая фигура старика в белом халате.
– Уехал? Ну и хорошо! – сказал он, сердито посмотрев на бесчувственную маленькую княгиню, укоризненно покачал головою и захлопнул дверь.
В октябре 1805 года русские войска занимали села и города эрцгерцогства Австрийского, и еще новые полки приходили из России и, отягощая постоем жителей, располагались у крепости Браунау. В Браунау была главная квартира главнокомандующего Кутузова.
|
|
---|
|
---|
|