Уравнение Кортевега — де Фриза

Уравне́ние Кортеве́га — де Фри́за (уравнение КдФ, также встречается написание де Вриза и де Фриса, англ. Korteweg–de Vries equation) — нелинейное уравнение в частных производных третьего порядка, играющее важную роль в теории нелинейных волн, в основном гидродинамического происхождения. Впервые было получено Жозефом Буссинеском в 1877 году, но подробный анализ был проведён уже Дидериком Кортевегом и Густавом де Фризом в 1895 году.

Уравнение имеет вид:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} + 6u\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial^3u}{\partial x^3} = 0</math>

Решения

Для уравнения Кортевега — де Фриза найдено большое количество точных решений, представляющих собой стационарные нелинейные волны. В том числе, данное уравнение имеет решения солитонного типа следующего вида:

<math>u(x,t) = \frac{2\kappa^2}{\cosh^2\left[\kappa(x-4\kappa^2t-x_0)\right]}</math>

где <math>\kappa</math> — свободный параметр, определяющий высоту и ширину солитона, а также его скорость, <math>x_0</math> — также произвольная константа, зависящая от выбора начала отсчёта оси x. Особое значение солитонам придаёт тот факт, что любое начальное возмущение, экспоненциально спадающее на бесконечности, с течением времени эволюционирует в конечный набор солитонов, разнесённых в пространстве. Точный поиск этих решений может быть проведён регулярным образом при помощи метода обратной задачи рассеяния.

Периодические решения уравнения Кортевега — де Фриза имеют вид кноидальных волн, описываемых эллиптическими интегралами:

<math>x-ct-x_0 = \int \left(2E + cu^2 - 2u^3\right)^{-\frac{1}{2}}du</math>

где c, E — параметры волны, определяющие её амплитуду и период.

Также уравнение Кортевега — де Фриза допускает автомодельные решения, которые в общем случае могут быть получены при помощи преобразований Беклунда и выражаются через решения уравнения Пенлеве.

Интегралы

Уравнение Кортевега — де Фриза имеет бесконечное множество интегралов движения вида

<math>I_n = \int P_n\left(u, \frac{\partial u}{\partial x}, ...\right)dx</math>

где <math>P_n\left(u, \frac{\partial u}{\partial x}\right)</math> — полиномы n-ой степени от неизвестной функции и её пространственных производных, в частности:

<math>P_0 = u</math>

<math>P_1 = u^2</math>

<math>P_2 = u^3 - \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2</math>

<math>P_3 = \frac{1}{2}\left(5u^2 + 5u\frac{\partial u}{\partial x} + \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right)^2\right)</math>

Можно показать, что уравнение КдФ является интегрируемой гамильтоновой системой.

Обобщения

При наличии диссипации уравнение Кортевега — де Фриза переходит в уравнение Бюргерса — Кортевега — де Фриза, имеющее вид

<math>\frac{\partial u}{\partial t} + 6u\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial^3u}{\partial x^3} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}</math>

где параметр <math>\nu</math> характеризует величину диссипации.

В двумерной геометрии обобщением уравнения Кортевега — де Фриза является так называемое уравнение Кадомцева — Петвиашвили, имеющее вид:

<math>\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial u}{\partial t} + 6u\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial^3u}{\partial x^3}\right) = \pm \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}</math>

Литература

• Дубровин Б. А., Кричевер И. М., Новиков С. П. [www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=intf&paperid=37&option_lang=rus Интегрируемые системы. I.] — Динамические системы — 4, Итоги науки и техн. — М.: ВИНИТИ, 1985. — Т. 4. — С. 179—284. — (Совр. пробл. математики. Фундаментальные направления).
• Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: метод обратной задачи. — 1980. — 319 с.
• [www.femto.com.ua/articles/part_1/1780.html Кортевега — де Фриса уравнение] — статья из Физической энциклопедии
• Дж. Уизем. 13.11. Уравнение Кортевега — де Фриза и Буссинеска // [books.google.ru/books?id=F54-PgAACAAJ Линейные и нелинейные волны]. — Мир, 1977. — С. 443—448. — 622 с.
• Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. — 1989. — 326 с.