Уравнение Коши — Эйлера

В математике (дифференциальных уравнениях), уравнение Коши — Эйлера (Эйлера — Коши) является частным случаем линейного дифференциального уравнения (см. линейное дифференциальное уравнение), приводимым к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами, которое имеет простой алгоритм решения.

Уравнение порядка n

Общий вид уравнения :

<math>

\sum^{n}_{k=0} {a_k(\alpha x + \beta )^k y^{(k)}(x)}= f(x) </math>.

Его частный случай :

<math>

\sum^{n}_{k=0} {a_kx^k y^{(k)}(x)}= f(x) </math>.

Подстановка

Подстановка вида <math>\ (\alpha x + \beta ) = e^t</math> то есть <math>\ t = \ln (\alpha x + \beta )</math> приводит уравнение к виду линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Действительно, заметим, что <math>\ t_x'= \alpha (\alpha x + \beta )^{-1}</math>, <math>\ t_{xx}= -\alpha^2 (\alpha x + \beta )^{-2}</math> и <math>\ t_{xxx}= +2\alpha^3 (\alpha x + \beta )^{-3}</math>.
В соответствии с этим:

<math>\ y(t)=y(t(x))

</math>

откуда

<math>\ y_x'(x)=y_t'(t)t_x'=y_t'(t)\alpha (\alpha x + \beta )^{-1}

</math>

таким образом

<math>\ (\alpha x + \beta )y_x'(x)=\alpha y_t'(t)

</math>

Вычислим очередную производную сложной функции

<math>\ y_{xx}(x)=(y_x'(x))_x'=(y_t'(t)t_x')_x'=

y_{tt}(t)t_x't_x'+y_t'(t)t_{xx}= y_{tt}(t)\alpha^2 (\alpha x + \beta )^{-2}+y_t'(t)(-\alpha^2) (\alpha x + \beta )^{-2} </math>,

что приводит к

<math>\ (\alpha x + \beta )^2 y_{xx}(x)=\alpha^2 (y_{tt}(t)- y_t'(t))

</math>.

и далее

<math>\ y_{xxx}'(x)=(y_{xx}(x))_x'=(y_{tt}(t)(t_x')^2+y_t'(t)t_{xx})_x'=

y_{ttt}(t)t_x'(t_x')^2 + y_{tt}(t)2t_x't_{xx} + y_{tt}(t)t_x't_{xx} +y_t'(t)t_{xxx}= </math>

<math>\ = y_{ttt}(t)(t_x')^3 + 3y_{tt}(t)t_x't_{xx} + y_t'(t)t_{xxx}=

y_{ttt}(t)\alpha^3 (\alpha x + \beta )^{-3} - 3y_{tt}(t)\alpha^3 (\alpha x + \beta )^{-3} + 2y_t'(t)\alpha^3 (\alpha x + \beta )^{-3} </math>

что, аналогично, приводит к

<math>\ (\alpha x + \beta )^3 y_{xxx}(x)= \alpha^3 (y_{ttt}(t)-3y_{tt}(t)+2y_t'(t))

</math>

Эта цепь вычислений может быть продолжена до любого порядка n

Пример

Дано неоднородное уравнение

<math>\ (2x-1)^3y'(x)+4(2x-1)^2y(x)-8(2x-1)y'(x)=32\ln (2x-1)</math>.

Определив подстановку <math>\ t=\ln (2x-1)</math> <math>\ \left( (2x-1)=e^t \right) </math>, приходим к уравнению

<math>\ 8(y(t)-3y(t)+2y'(t))+4\cdot 4(y(t)- y'(t)) - 8\cdot 2y'(t)=32t</math>.

После приведения имеем линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами

<math>\ y'(t)-y(t)-2y'(t)=4 t</math>,

решение которого имеет вид

<math>\ y(t)=c_1e^{-1t}+c_2e^{2t}+c_3+t-t^2</math>

или в терминах <math>\ x</math>

<math>\ y(x)=c_1(2x-1)^{-1}+c_2(2x-1)^{2}+c_3+ln (2x-1)-ln(2x-1)^2</math>

Уравнение второго порядка

Общий вид уравнения :

<math>\ a_2 (\alpha x + \beta )^2 y(x) + a_1 (\alpha x + \beta ) y'(x) + a_0 y(x) = f(x)

</math>.

Его частный случай :

<math>\ a_2 x^2 y(x) + a_1 x y'(x) + a_0 y(x) = f(x)

</math>.

Подстановкой <math>\ (\alpha x + \beta ) = e^t</math> то есть <math>\ t = \ln (\alpha x + \beta )</math>
или, соответственно,

<math>\ x = e^t</math> то есть <math>\ t = \ln x </math>

приводится к виду линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

<math>\ a_2 \alpha^2 y(t) + a_1 \alpha y'(t) + a_0 y(t) = f(e^t)

</math>.

или, соответственно,

<math>\ a_2 y(t) + a_1 y'(t) + a_0 y(t) = f(e^t)

</math>.

Пример

Дано неоднородное уравнение

<math>\ x^2y(x)-2xy'(x)+2y(x)=6x</math>.

Определив подстановку <math>\ t=\ln x</math> (<math>\ x=e^t</math>), приходим к уравнению

<math>\ (y(t)- y'(t))- 2y'(t) + 2y(t)=6e^t</math>.

После приведения имеем линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами

<math>\ y(t)- 3y'(t) + 2y(t)=6e^t</math>,

решение которого имеет вид

<math>\ y(t)=c_1e^{+1t}+c_2e^{+2t}-6te^{+1t}</math>

или в терминах <math>\ x</math>

<math>\ y(x)=c_1x+c_2x^{2}-6x\ln x</math>

Ещё один способ решения однородного уравнения второго порядка

Рассмотрим однородное уравнения второго порядка вида:

<math>\ x^2 y(x) + p x y'(x) + q y(x) = 0

</math>.

Его решениями являются функции вида:

<math>\ y(x) = x^r </math>,

где <math>r</math> — решения характеристического уравнения

<math>\ r^2 + (p - 1)r + q = 0

</math>,

которое совпадает с характеристическим уравнением однородного уравнения с постоянными коэффициентами, полученного из исходного уравнения путём описанной выше замены переменной.

Пример

Дано однородное уравнение

<math>\ x^2y(x)-2xy'(x)+2y(x)=0</math>.

Характеристическое уравнение которого имеет вид

<math>\ r^2 + (-2 - 1)r + 2 = 0 \Leftrightarrow r^2 -3r + 2 = 0

</math>,

с решениями <math>\ r_1=1</math>, <math>\ r_2=2</math>.
Тогда общее решение однородного уравнения

<math>\ y(x)=c_1x+c_2x^{2}</math>

Отрывок, характеризующий Уравнение Коши — Эйлера

В начале июля в Москве распространялись все более и более тревожные слухи о ходе войны: говорили о воззвании государя к народу, о приезде самого государя из армии в Москву. И так как до 11 го июля манифест и воззвание не были получены, то о них и о положении России ходили преувеличенные слухи. Говорили, что государь уезжает потому, что армия в опасности, говорили, что Смоленск сдан, что у Наполеона миллион войска и что только чудо может спасти Россию.
11 го июля, в субботу, был получен манифест, но еще не напечатан; и Пьер, бывший у Ростовых, обещал на другой день, в воскресенье, приехать обедать и привезти манифест и воззвание, которые он достанет у графа Растопчина.
В это воскресенье Ростовы, по обыкновению, поехали к обедне в домовую церковь Разумовских. Был жаркий июльский день. Уже в десять часов, когда Ростовы выходили из кареты перед церковью, в жарком воздухе, в криках разносчиков, в ярких и светлых летних платьях толпы, в запыленных листьях дерев бульвара, в звуках музыки и белых панталонах прошедшего на развод батальона, в громе мостовой и ярком блеске жаркого солнца было то летнее томление, довольство и недовольство настоящим, которое особенно резко чувствуется в ясный жаркий день в городе. В церкви Разумовских была вся знать московская, все знакомые Ростовых (в этот год, как бы ожидая чего то, очень много богатых семей, обыкновенно разъезжающихся по деревням, остались в городе). Проходя позади ливрейного лакея, раздвигавшего толпу подле матери, Наташа услыхала голос молодого человека, слишком громким шепотом говорившего о ней:
– Это Ростова, та самая…
– Как похудела, а все таки хороша!
Она слышала, или ей показалось, что были упомянуты имена Курагина и Болконского. Впрочем, ей всегда это казалось. Ей всегда казалось, что все, глядя на нее, только и думают о том, что с ней случилось. Страдая и замирая в душе, как всегда в толпе, Наташа шла в своем лиловом шелковом с черными кружевами платье так, как умеют ходить женщины, – тем спокойнее и величавее, чем больнее и стыднее у ней было на душе. Она знала и не ошибалась, что она хороша, но это теперь не радовало ее, как прежде. Напротив, это мучило ее больше всего в последнее время и в особенности в этот яркий, жаркий летний день в городе. «Еще воскресенье, еще неделя, – говорила она себе, вспоминая, как она была тут в то воскресенье, – и все та же жизнь без жизни, и все те же условия, в которых так легко бывало жить прежде. Хороша, молода, и я знаю, что теперь добра, прежде я была дурная, а теперь я добра, я знаю, – думала она, – а так даром, ни для кого, проходят лучшие годы». Она стала подле матери и перекинулась с близко стоявшими знакомыми. Наташа по привычке рассмотрела туалеты дам, осудила tenue [манеру держаться] и неприличный способ креститься рукой на малом пространстве одной близко стоявшей дамы, опять с досадой подумала о том, что про нее судят, что и она судит, и вдруг, услыхав звуки службы, ужаснулась своей мерзости, ужаснулась тому, что прежняя чистота опять потеряна ею.
Благообразный, тихий старичок служил с той кроткой торжественностью, которая так величаво, успокоительно действует на души молящихся. Царские двери затворились, медленно задернулась завеса; таинственный тихий голос произнес что то оттуда. Непонятные для нее самой слезы стояли в груди Наташи, и радостное и томительное чувство волновало ее.
«Научи меня, что мне делать, как мне исправиться навсегда, навсегда, как мне быть с моей жизнью… – думала она.
Дьякон вышел на амвон, выправил, широко отставив большой палец, длинные волосы из под стихаря и, положив на груди крест, громко и торжественно стал читать слова молитвы:
– «Миром господу помолимся».
«Миром, – все вместе, без различия сословий, без вражды, а соединенные братской любовью – будем молиться», – думала Наташа.
– О свышнем мире и о спасении душ наших!