Уравнение Лакса
Уравнение Лакса — дифференциальное уравнение для матриц вида <math>\dot L = AL-LA</math>, где <math>A, L</math> - квадратные матрицы, элементы которых зависят от <math>x_{1}, ..., x_{n}</math>. Представление систем дифференциальных уравнений в виде уравнений Лакса является одним из способов нахождения первых интегралов гамильтоновых систем.
Первый интеграл уравнения Лакса
Функции <math>f_{k}(x_{1}, ..., x_{n})=tr (L^{k})</math> являются первыми интегралами уравнения Лакса (если они не константы).
Доказательство
Пусть <math>B(t)</math> - решение уравнения <math>\dot B=-BA</math> с начальным условием <math>B(0)=E</math>. Тогда, согласно формуле Якоби <math>\det B(t) = \exp \left ( \int_{0}^{t}A(s)ds \right ) \neq 0</math>. Также имеем <math>\dot(BLB^{-1})=\dot BLB^{-1}+B\dot LB^{-1}+BL\dot(B^{-1})= -BALB^{-1}+B(AL-LA)B^{-1}+BLB^{-1}(BA)B^{-1}=0</math>. Из этого вытекает, что жорданова нормальная форма матрицы <math>L</math> не изменяется и её собственные значения тоже[1].
Напишите отзыв о статье "Уравнение Лакса"
Примечания
- ↑ Задачи и теоремы линейной алгебры, 1996, с. 274.
Литература
- Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.
|
Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её. |
Отрывок, характеризующий Уравнение Лакса
Да счастливый Наполеон,Познав чрез опыты, каков Багратион,
Не смеет утруждать Алкидов русских боле…»
Но еще он не кончил стихов, как громогласный дворецкий провозгласил: «Кушанье готово!» Дверь отворилась, загремел из столовой польский: «Гром победы раздавайся, веселися храбрый росс», и граф Илья Андреич, сердито посмотрев на автора, продолжавшего читать стихи, раскланялся перед Багратионом. Все встали, чувствуя, что обед был важнее стихов, и опять Багратион впереди всех пошел к столу. На первом месте, между двух Александров – Беклешова и Нарышкина, что тоже имело значение по отношению к имени государя, посадили Багратиона: 300 человек разместились в столовой по чинам и важности, кто поважнее, поближе к чествуемому гостю: так же естественно, как вода разливается туда глубже, где местность ниже.
Перед самым обедом граф Илья Андреич представил князю своего сына. Багратион, узнав его, сказал несколько нескладных, неловких слов, как и все слова, которые он говорил в этот день. Граф Илья Андреич радостно и гордо оглядывал всех в то время, как Багратион говорил с его сыном.
Николай Ростов с Денисовым и новым знакомцем Долоховым сели вместе почти на середине стола. Напротив них сел Пьер рядом с князем Несвицким. Граф Илья Андреич сидел напротив Багратиона с другими старшинами и угащивал князя, олицетворяя в себе московское радушие.
