Закон Кюри

Зако́н Кюри́ — физический закон, описывает магнитную восприимчивость парамагнетиков, которая при постоянной температуре для этого вида материалов приблизительно прямо пропорциональна приложенному магнитному полю. Закон Кюри постулирует, что при изменении температуры и постоянном внешнем поле, степень намагниченности парамагнетиков обратно пропорциональна температуре:

<math>M = C \cdot \frac{B}{T},</math>

где в единицах Международной системе единиц (СИ): <math>M</math> — получаемая намагниченность материала; <math>B</math> — магнитное поле, измеренное в теслах; <math>T</math> — абсолютная температура в кельвинах; <math>C</math> — постоянная Кюри данного материала. Это соотношение, полученное экспериментально Пьером Кюри, выполняется только при высоких температурах или слабых магнитных полях. В обратном случае — то есть при низких температурах или при сильных полях — намагниченность не подчиняется этому закону.

Вывод закона с использованием квантовой статистической механики

Простые модели парамагнетиков основываются на предположении, что эти материалы состоят из частей или областей (парамагнетонов), которые не взаимодействуют друг с другом. Каждая область имеет собственный магнитный момент, который можно обозначить векторной величиной <math>\vec{\mu}</math>. Энергия момента магнитного поля может быть записана следующим образом:

<math>E=-\vec{\mu}\cdot\vec{B}.</math>

Области с двумя состояниями (спин-1/2)

Для того, чтобы упростить вывод, предположим, что каждая из областей рассматриваемого парамагнетика имеет два состояния момента, направление которого может совпадать с направлением магнитного поля или быть направленным в противоположную сторону. В данном случае возможны только два значения магнитного момента <math>\mu</math>, <math>-\mu</math> и два значения энергии: <math>E_0 = - \mu B</math> и <math>E_1 = \mu B.</math> При поиске магнитной восприимчивости парамагнетика определяется вероятность для каждой области оказаться в состоянии, сонаправленном магнитному полю. Другими словами, определяется математическое ожидание намагниченности материала <math>\mu</math>:

<math>\left\langle\mu\right\rangle = \mu P\left(\mu\right) + (-\mu) P\left(-\mu\right)

= {1 \over Z} \left( \mu e^{ \mu B\beta} -  \mu e^{  - \mu B\beta} \right)
= {2\mu \over Z} \operatorname{sh}( \mu B\beta), </math>

где вероятность системы описывается распределением Больцмана, статистическая сумма <math>Z</math> обеспечивает нормализацию вероятностей. Нормирующая функция для одной области может быть представлена следующим образом:

<math>Z = \sum_{n=0,1} e^{-E_n\beta} = e^{ \mu B\beta} + e^{-\mu B\beta} = 2 \operatorname{ch}\left(\mu B\beta\right).</math>

Таким образом, в двухспиновой модели мы имеем:

<math>\left\langle\mu\right\rangle = \mu \operatorname{th}\left(\mu B\beta\right).</math>

Используя полученное выражение для одной области, получаем магнитную восприимчивость всего материала:

<math>M = N\left\langle\mu\right\rangle = N \mu \operatorname{th}\left({\mu B\over k T}\right).</math>

Выведенная выше формула носит название уравнения Ланжевена для парамагнетиков. П. Кюри в ходе экспериментов обнаружил приближение к этому закону, которое выполнялось при высоких температурах и слабых магнитных полях. Предположим, что абсолютное значение температуры <math>T</math> велико, а <math>B</math> мало. В данном случае, иногда называемом режимом Кюри, величина аргумента гиперболического тангенса мала:

<math>\left({\mu B\over k T}\right) \ll 1.</math>

И так как известно, что в случае <math>|x| \ll 1</math> выполняется соотношение

<math>\operatorname{th} x \approx x,</math>

получаем результат:

<math>\mathbf{M}(T\rightarrow\infty)={N\mu^2\over k}{\mathbf{B}\over T},</math>

где константа Кюри равна <math>C= N\mu^2/k.</math> Также следует отметить, что в противоположном случае низких температур и сильных полей <math>M</math> и <math>N\mu</math> имеют тенденцию принимать максимальные значения, что соответствует случаю, когда все области имеют магнитный момент, совпадающий по направлению с магнитным полем.

Общий случай

В общем случае произвольного распределения направлений магнитных моментов формула становится несколько более сложной (см. англ. Brillouin function). Как только значение спина приближается к бесконечности, формула для магнитной восприимчивости принимает классический вид.

Получение с помощью классической статистической механики

Альтернативный подход предполагает, что парамагнетоны представляют из себя области со свободно вращающимися магнитными моментами. В данном случае их положение определяется углами в сферических координатах, а энергия одной области представляется в виде:

<math>E = - \mu B\cos\theta, </math>

где <math>\theta</math> — угол между направлением магнитного момента и направлением магнитного поля, которое, предположим, направлено вдоль координаты <math>z</math>. Соответствующая функция для одной области будет иметь вид:

<math>Z = \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi}d\theta \sin\theta \exp( \mu B\beta \cos\theta).</math>

Как видно, в данном случае нет явной зависимости от угла <math>\phi</math>, и мы также можем осуществить замену переменной <math>y=\cos\theta</math>, что позволяет получить:

<math>Z = 2\pi \int_{-1}^ 1 d y \exp( \mu B\beta y) =

2\pi{\exp( \mu B\beta )-\exp(-\mu B\beta ) \over \mu B\beta }= {4\pi\sinh( \mu B\beta ) \over \mu B\beta .} </math>

Математическое ожидание компоненты <math>z</math> будет соответствовать степени намагниченности, а остальные две обратятся в нуль после интегрирования по <math>\phi</math>:

<math>\left\langle\mu_z \right\rangle = {1 \over Z} \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi}d\theta \sin\theta \exp( \mu B\beta \cos\theta) \left[\mu\cos\theta\right] .</math>

Для упрощения вычислений запишем выражение в дифференциальной форме по переменной <math>Z</math>:

<math>\left\langle\mu_z\right\rangle = {1 \over Z B} \partial_\beta Z,</math>

что дает:

<math>\left\langle\mu_z\right\rangle = \mu L(\mu B\beta), </math>

где <math>L</math> носит название функции Ланжевена (см. Ланжевен):

<math> L(x)= \coth x -{1 \over x}.</math>

Эта функция имеет сингулярность (разрыв) для маленьких значений <math>x</math>, но на самом деле разрыва нет, так как две сингулярные компоненты с противоположным знаком сохраняют непрерывность функции. На самом деле, её поведение при небольших значениях аргумента <math>L(x) \approx x/3</math>, что сохраняет действие закона Кюри, но с втрое ме́ньшим постоянным множителем-константой Кюри. В случае предела с больши́м значением аргумента применение этой функции также возможно.

Применения

Сохранение закона Кюри для парамагнетиков в слабом магнитном поле позволяет использовать их в качестве магнитных термометров.

См. также

• Закон Кюри — Вейса
• Парамагнетизм
• Пьер Кюри

Ссылки

• [elementy.ru/trefil/21121 Закон Кюри] — статья с сайта Элементы.ру
• Закон Кюри // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.</span>

Отрывок, характеризующий Закон Кюри

Метивье пожимая плечами подошел к mademoiselle Bourienne, прибежавшей на крик из соседней комнаты.
– Князь не совсем здоров, – la bile et le transport au cerveau. Tranquillisez vous, je repasserai demain, [желчь и прилив к мозгу. Успокойтесь, я завтра зайду,] – сказал Метивье и, приложив палец к губам, поспешно вышел.
За дверью слышались шаги в туфлях и крики: «Шпионы, изменники, везде изменники! В своем доме нет минуты покоя!»
После отъезда Метивье старый князь позвал к себе дочь и вся сила его гнева обрушилась на нее. Она была виновата в том, что к нему пустили шпиона. .Ведь он сказал, ей сказал, чтобы она составила список, и тех, кого не было в списке, чтобы не пускали. Зачем же пустили этого мерзавца! Она была причиной всего. С ней он не мог иметь ни минуты покоя, не мог умереть спокойно, говорил он.
– Нет, матушка, разойтись, разойтись, это вы знайте, знайте! Я теперь больше не могу, – сказал он и вышел из комнаты. И как будто боясь, чтобы она не сумела как нибудь утешиться, он вернулся к ней и, стараясь принять спокойный вид, прибавил: – И не думайте, чтобы я это сказал вам в минуту сердца, а я спокоен, и я обдумал это; и это будет – разойтись, поищите себе места!… – Но он не выдержал и с тем озлоблением, которое может быть только у человека, который любит, он, видимо сам страдая, затряс кулаками и прокричал ей:
– И хоть бы какой нибудь дурак взял ее замуж! – Он хлопнул дверью, позвал к себе m lle Bourienne и затих в кабинете.
В два часа съехались избранные шесть персон к обеду. Гости – известный граф Ростопчин, князь Лопухин с своим племянником, генерал Чатров, старый, боевой товарищ князя, и из молодых Пьер и Борис Друбецкой – ждали его в гостиной.
На днях приехавший в Москву в отпуск Борис пожелал быть представленным князю Николаю Андреевичу и сумел до такой степени снискать его расположение, что князь для него сделал исключение из всех холостых молодых людей, которых он не принимал к себе.
Дом князя был не то, что называется «свет», но это был такой маленький кружок, о котором хотя и не слышно было в городе, но в котором лестнее всего было быть принятым. Это понял Борис неделю тому назад, когда при нем Ростопчин сказал главнокомандующему, звавшему графа обедать в Николин день, что он не может быть:
– В этот день уж я всегда езжу прикладываться к мощам князя Николая Андреича.
– Ах да, да, – отвечал главнокомандующий. – Что он?..
Небольшое общество, собравшееся в старомодной, высокой, с старой мебелью, гостиной перед обедом, было похоже на собравшийся, торжественный совет судилища. Все молчали и ежели говорили, то говорили тихо. Князь Николай Андреич вышел серьезен и молчалив. Княжна Марья еще более казалась тихою и робкою, чем обыкновенно. Гости неохотно обращались к ней, потому что видели, что ей было не до их разговоров. Граф Ростопчин один держал нить разговора, рассказывая о последних то городских, то политических новостях.
Лопухин и старый генерал изредка принимали участие в разговоре. Князь Николай Андреич слушал, как верховный судья слушает доклад, который делают ему, только изредка молчанием или коротким словцом заявляя, что он принимает к сведению то, что ему докладывают. Тон разговора был такой, что понятно было, никто не одобрял того, что делалось в политическом мире. Рассказывали о событиях, очевидно подтверждающих то, что всё шло хуже и хуже; но во всяком рассказе и суждении было поразительно то, как рассказчик останавливался или бывал останавливаем всякий раз на той границе, где суждение могло относиться к лицу государя императора.
За обедом разговор зашел о последней политической новости, о захвате Наполеоном владений герцога Ольденбургского и о русской враждебной Наполеону ноте, посланной ко всем европейским дворам.
– Бонапарт поступает с Европой как пират на завоеванном корабле, – сказал граф Ростопчин, повторяя уже несколько раз говоренную им фразу. – Удивляешься только долготерпению или ослеплению государей. Теперь дело доходит до папы, и Бонапарт уже не стесняясь хочет низвергнуть главу католической религии, и все молчат! Один наш государь протестовал против захвата владений герцога Ольденбургского. И то… – Граф Ростопчин замолчал, чувствуя, что он стоял на том рубеже, где уже нельзя осуждать.
– Предложили другие владения заместо Ольденбургского герцогства, – сказал князь Николай Андреич. – Точно я мужиков из Лысых Гор переселял в Богучарово и в рязанские, так и он герцогов.
– Le duc d'Oldenbourg supporte son malheur avec une force de caractere et une resignation admirable, [Герцог Ольденбургский переносит свое несчастие с замечательной силой воли и покорностью судьбе,] – сказал Борис, почтительно вступая в разговор. Он сказал это потому, что проездом из Петербурга имел честь представляться герцогу. Князь Николай Андреич посмотрел на молодого человека так, как будто он хотел бы ему сказать кое что на это, но раздумал, считая его слишком для того молодым.
– Я читал наш протест об Ольденбургском деле и удивлялся плохой редакции этой ноты, – сказал граф Ростопчин, небрежным тоном человека, судящего о деле ему хорошо знакомом.
Пьер с наивным удивлением посмотрел на Ростопчина, не понимая, почему его беспокоила плохая редакция ноты.
– Разве не всё равно, как написана нота, граф? – сказал он, – ежели содержание ее сильно.
– Mon cher, avec nos 500 mille hommes de troupes, il serait facile d'avoir un beau style, [Мой милый, с нашими 500 ми тысячами войска легко, кажется, выражаться хорошим слогом,] – сказал граф Ростопчин. Пьер понял, почему графа Ростопчина беспокоила pедакция ноты.
– Кажется, писак довольно развелось, – сказал старый князь: – там в Петербурге всё пишут, не только ноты, – новые законы всё пишут. Мой Андрюша там для России целый волюм законов написал. Нынче всё пишут! – И он неестественно засмеялся.
Разговор замолк на минуту; старый генерал прокашливаньем обратил на себя внимание.
– Изволили слышать о последнем событии на смотру в Петербурге? как себя новый французский посланник показал!
– Что? Да, я слышал что то; он что то неловко сказал при Его Величестве.
– Его Величество обратил его внимание на гренадерскую дивизию и церемониальный марш, – продолжал генерал, – и будто посланник никакого внимания не обратил и будто позволил себе сказать, что мы у себя во Франции на такие пустяки не обращаем внимания. Государь ничего не изволил сказать. На следующем смотру, говорят, государь ни разу не изволил обратиться к нему.