Теорема Лиувилля о сохранении фазового объёма

Теоре́ма Лиуви́лля, названная по имени французского математика Жозефа Лиувилля, является ключевой теоремой в математической физике, статистической физике и гамильтоновой механике. Теорема Лиувилля гласит

Функция распределения гамильтоновой системы постоянна вдоль любой траектории в фазовом пространстве.

Теорема утверждает сохранение во времени фазового объёма, или плотности вероятности в фазовом пространстве.

Уравнение Лиувилля

Уравнение Лиувилля описывает эволюцию во времени функции распределения (плотности вероятности) гамильтоновой системы в <math>6N</math>-мерном фазовом пространстве (<math>N</math> — количество частиц в системе). Рассмотрим гамильтонову систему с координатами <math>q_i</math> и сопряжёнными импульсами <math>p_i</math>, где <math>i=1,\dots,d,</math>  <math>d=3N</math>. Тогда распределение в фазовом пространстве  <math>\rho(p_i,q_i)</math>  определяет вероятность  <math>\rho(p,q)\,\mathrm{d}^dq\,\mathrm{d}^dp</math>  того, что система будет находиться в элементе объёма  <math>\mathrm{d}^dq\,\mathrm{d}^dp</math>  своего фазового пространства.

Уравнение Лиувилля описывает эволюцию <math>\rho(p_i,q_i;t)</math> во времени <math>t</math> согласно правилу нахождения полной производной функции с учётом несжимаемости потока в фазовом пространстве:

<math>\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial\rho}{\partial t}+\sum_{i=1}^d\left(\frac{\partial\rho}{\partial q_i}\frac{\mathrm{d}q_i}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial\rho}{\partial p_i}\frac{\mathrm{d}p_i}{\mathrm{d}t}\right)=0.</math>

Производные фазовых координат по времени для гамильтоновых систем описываются согласно уравнениям Гамильтона:

<math> \dot{q}_i \equiv \frac{\mathrm{d}q_i}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial H}{\partial p_i} </math>

<math> \dot{p}_i \equiv \frac{\mathrm{d}p_i}{\mathrm{d}t} = - \frac{\partial H}{\partial q_i} </math>

Простое доказательство теоремы состоит в наблюдении, что эволюция <math>\rho</math> определяется уравнением неразрывности (непрерывности):

<math> \frac{\partial\rho}{\partial t}+ \nabla (\rho \, \mathbf{v})= \frac{\partial\rho}{\partial t}+ \rho\,\mathrm{div}\mathbf{v} + \mathbf{v}\,\mathrm{grad}\rho =0,</math>

где <math> \mathbf{v}</math> — скорость перемещения исследуемого объёма фазового пространства:

<math> \nabla (\rho \, \mathbf{v}) = \sum_{i=1}^d\left(\frac{\partial(\rho\dot{q}_i)}{\partial q_i}+\frac{\partial(\rho\dot{p}_i)}{\partial p_i}\right)</math>

и замечанием, что разность между этим выражением и уравнением Лиувилля определяется только слагаемым, описывающим дивергенцию, а именно её отсутствие, что означает отсутствие источников или стоков плотности вероятности:

<math> \rho\,\mathrm{div}\mathbf{v} = \rho \sum_{i=1}^d\left(\frac{\partial\dot{q}_i}{\partial q_i}+\frac{\partial\dot{p}_i}{\partial p_i}\right)=\rho\sum_{i=1}^d\left(\frac{\partial^2 H}{\partial q_i\,\partial p_i}-\frac{\partial^2 H}{\partial p_i \partial q_i}\right)=0,</math>

где <math>H</math> — гамильтониан, и были использованы уравнения Гамильтона. Это можно представить как движение через фазовое пространство «потока жидкости» точек системы. Теорема означает, что производная Лагранжа или субстанциональная производная плотности <math>d \rho/dt</math> равна нулю. Это следует из уравнения непрерывности, так как поле скоростей <math>(\dot p , \dot q)</math> в фазовом пространстве бездивергентно, что в свою очередь вытекает из гамильтоновых уравнений для консервативных систем.

Геометрическая интерпретация

Рассмотрим траекторию малого пятна (множества точек) в фазовом пространстве. Перемещаясь вдоль множества траекторий, пятно растягивается в одной координате, скажем — <math>p_i</math> — но сжимается по другой координате <math>q_i </math> так, что произведение <math>\Delta p_i \Delta q_i </math> остаётся константой. Площадь пятна (фазовый объём) не изменяется.

Более точно, фазовый объём <math>\Gamma</math> сохраняется при сдвигах времени. Если

<math>\int\limits_\Gamma d^dq\,d^dp = C,</math>

и <math>\Gamma(t)</math> множество точек фазового пространства, в которое может эволюционировать множество <math>\Gamma</math> в момент времени <math>t</math>, тогда

<math>\int\limits_{\Gamma(t)} d^dq\,d^dp = C,</math>

для всех времён <math>t</math>. Объём фазового пространства гамильтоновой системы сохраняется, поскольку эволюция во времени в гамильтоновой механике — это каноническое преобразование, а все канонические преобразования имеют единичный якобиан.

Физическая интерпретация

Ожидаемое полное число частиц — интеграл по всему фазовому пространству от функции распределения:

<math>N=\int d^dq\,d^dp\,\rho(p,q)</math>

(нормировочный множитель опущен). В простейшем случае, когда частица движется в евклидовом пространстве в поле потенциальных сил <math>\mathbf{F}</math> с координатами <math>\mathbf{x}</math> и импульсами <math>\mathbf{p}</math>, теорему Лиувилля можно записать в виде

<math>\frac{\partial\rho}{\partial t}+\mathbf{v}\cdot\nabla_\mathbf{x}\rho+\frac{\mathbf{F}}{m}\cdot\nabla_\mathbf{p}\rho=0,</math>

где <math>\mathbf{v}=\dot{\mathbf{x}}</math> — скорость. В физике плазмы это выражение называется уравнением Власова или бесстолкновительным уравнением Больцмана, и используется, чтобы описать большое число бесстолкновительных частиц, двигающихся в самосогласованном поле сил <math>\mathbf{F}</math>.

В классической статистической механике число частиц <math>N</math> велико, порядка числа Авогадро. В стационарном случае <math>\partial\rho/\partial t=0</math> можно найти плотность микросостояний, доступных в данном статистическом ансамбле. Для стационарных состояний функции распределения <math>\rho</math> равна любой функции гамильтониана <math>H</math>, например, в распределении Максвелла-Больцмана <math>\rho\propto e^{-H/kT}</math>, где <math>T</math> — температура, <math>k</math> — постоянная Больцмана.

Смотрите также: канонический ансамбль и микроканонический ансамбль.

Запись через скобку Пуассона

Используя скобку Пуассона, имеющее в канонических координатах <math>(q^i,p_j)</math> вид

<math>\{A,B\} = \sum_{i=1}^{N} \left(

- \frac{\partial A}{\partial q^{i}} \frac{\partial B}{\partial p_{i}} + \frac{\partial A}{\partial p_{i}} \frac{\partial B}{\partial q^{i}} \right) </math> уравнение Лиувилля для гамильтоновых систем приобретает вид

<math>\frac{\partial\rho}{\partial t}=-\{\,\rho,H\,\}</math>

Запись с использованием оператора Лиувилля

При помощи оператора Лиувилля

<math> i{\hat{L}}=\sum_{i=1}^{d}\left[\frac{\partial H}{\partial p_{i}}\frac{\partial}{\partial q_{i}}-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}\frac{\partial }{\partial p_{i}}\right],</math>

для гамильтоновых систем уравнение приобретает вид

<math>\frac{\partial \rho }{\partial t}+i{\hat{L}}\rho =0.</math>

Замечания

• Каноническое квантование даёт квантовомеханическую версию теоремы.

Эта процедура, часто используемая, чтобы получить квантовые аналоги классических систем, вовлекает описание классической системы, используя гамильтонову механику. Классическим переменным тогда дают иное толкование, а именно, как квантовые операторы, в то время как скобки Пуассона заменены коммутаторами. В этом случае получается уравнение

<math>\frac{\partial}{\partial t}\rho= \frac{1}{i \hbar}[H,\rho]</math>

где ρ матрица плотности. Это уравнение называется уравнением фон Неймана и описывает эволюцию квантовых состояний гамильтоновых систем.

• Уравнение Лиувилля верно для равновесных и неравновесных систем. Это фундаментальное уравнение неравновесной статистической механики. Обобщениями на системы со столкновениями являются уравнение Больцмана, и цепочка уравнений Боголюбова.

• Предположение о несжимаемости фазового потока, то есть выполнение условия

 <math>\sum_{i=1}^d\left(\frac{\partial}{\partial q_i}\frac{\mathrm{d}q_i}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial}{\partial p_i}\frac{\mathrm{d}p_i}{\mathrm{d}t}\right)=0,</math> 

является существенным. В общем случае произвольной динамической системы

 <math> \dot{q}_i = Q_i\left(\vec p, \vec q, t\right),</math>   <math>\dot{p}_i = P_i\left(\vec p, \vec q, t\right) </math> 

уравнение для эволюции во времени плотности  <math>\rho(\vec p, \vec q, t)</math>  распределения частиц в фазовом пространстве получается из уравнения баланса

 <math> \rho(\vec p', \vec q', t') d\Lambda' = \rho(\vec p, \vec q, t) d\Lambda, </math> 

 <math>t'=t+dt,</math>  <math>p_i'=p_i+P_i dt,</math>  <math>q_i'=q_i+Q_i dt,</math>  <math>d\Lambda'=d\Lambda\left[1+dt

     \sum_{i=1}^d\left(\frac{\partial Q_i}{\partial q_i}+\frac{\partial P_i}{\partial p_i}\right)

\right]</math> 

(последнее соотношение — это масштабирование элемента фазового объёма при бесконечно малом перемещении вдоль фазовой траектории). Итоговое уравнение имеет вид

<math>\frac{\partial\rho}{\partial t}+\sum_{i=1}^d\left(\frac{\partial(\rho Q_i)}{\partial q_i}+\frac{\partial(\rho P_i)}{\partial p_i}\right)=0</math>

(см. также Уравнение Фоккера — Планка), и в случае  <math>Q_i=\partial H/\partial p_i, P_i=-\partial H/\partial q_i, </math>  совпадает с уравнением Лиувилля.

См. также

• Интеграл Пуанкаре — Картана

Отрывок, характеризующий Теорема Лиувилля о сохранении фазового объёма

С этого дня между княжной Марьей и Наташей установилась та страстная и нежная дружба, которая бывает только между женщинами. Они беспрестанно целовались, говорили друг другу нежные слова и большую часть времени проводили вместе. Если одна выходила, то другаябыла беспокойна и спешила присоединиться к ней. Они вдвоем чувствовали большее согласие между собой, чем порознь, каждая сама с собою. Между ними установилось чувство сильнейшее, чем дружба: это было исключительное чувство возможности жизни только в присутствии друг друга.
Иногда они молчали целые часы; иногда, уже лежа в постелях, они начинали говорить и говорили до утра. Они говорили большей частию о дальнем прошедшем. Княжна Марья рассказывала про свое детство, про свою мать, про своего отца, про свои мечтания; и Наташа, прежде с спокойным непониманием отворачивавшаяся от этой жизни, преданности, покорности, от поэзии христианского самоотвержения, теперь, чувствуя себя связанной любовью с княжной Марьей, полюбила и прошедшее княжны Марьи и поняла непонятную ей прежде сторону жизни. Она не думала прилагать к своей жизни покорность и самоотвержение, потому что она привыкла искать других радостей, но она поняла и полюбила в другой эту прежде непонятную ей добродетель. Для княжны Марьи, слушавшей рассказы о детстве и первой молодости Наташи, тоже открывалась прежде непонятная сторона жизни, вера в жизнь, в наслаждения жизни.
Они всё точно так же никогда не говорили про него с тем, чтобы не нарушать словами, как им казалось, той высоты чувства, которая была в них, а это умолчание о нем делало то, что понемногу, не веря этому, они забывали его.
Наташа похудела, побледнела и физически так стала слаба, что все постоянно говорили о ее здоровье, и ей это приятно было. Но иногда на нее неожиданно находил не только страх смерти, но страх болезни, слабости, потери красоты, и невольно она иногда внимательно разглядывала свою голую руку, удивляясь на ее худобу, или заглядывалась по утрам в зеркало на свое вытянувшееся, жалкое, как ей казалось, лицо. Ей казалось, что это так должно быть, и вместе с тем становилось страшно и грустно.
Один раз она скоро взошла наверх и тяжело запыхалась. Тотчас же невольно она придумала себе дело внизу и оттуда вбежала опять наверх, пробуя силы и наблюдая за собой.
Другой раз она позвала Дуняшу, и голос ее задребезжал. Она еще раз кликнула ее, несмотря на то, что она слышала ее шаги, – кликнула тем грудным голосом, которым она певала, и прислушалась к нему.
Она не знала этого, не поверила бы, но под казавшимся ей непроницаемым слоем ила, застлавшим ее душу, уже пробивались тонкие, нежные молодые иглы травы, которые должны были укорениться и так застлать своими жизненными побегами задавившее ее горе, что его скоро будет не видно и не заметно. Рана заживала изнутри. В конце января княжна Марья уехала в Москву, и граф настоял на том, чтобы Наташа ехала с нею, с тем чтобы посоветоваться с докторами.


После столкновения при Вязьме, где Кутузов не мог удержать свои войска от желания опрокинуть, отрезать и т. д., дальнейшее движение бежавших французов и за ними бежавших русских, до Красного, происходило без сражений. Бегство было так быстро, что бежавшая за французами русская армия не могла поспевать за ними, что лошади в кавалерии и артиллерии становились и что сведения о движении французов были всегда неверны.
Люди русского войска были так измучены этим непрерывным движением по сорок верст в сутки, что не могли двигаться быстрее.
Чтобы понять степень истощения русской армии, надо только ясно понять значение того факта, что, потеряв ранеными и убитыми во все время движения от Тарутина не более пяти тысяч человек, не потеряв сотни людей пленными, армия русская, вышедшая из Тарутина в числе ста тысяч, пришла к Красному в числе пятидесяти тысяч.
Быстрое движение русских за французами действовало на русскую армию точно так же разрушительно, как и бегство французов. Разница была только в том, что русская армия двигалась произвольно, без угрозы погибели, которая висела над французской армией, и в том, что отсталые больные у французов оставались в руках врага, отсталые русские оставались у себя дома. Главная причина уменьшения армии Наполеона была быстрота движения, и несомненным доказательством тому служит соответственное уменьшение русских войск.
Вся деятельность Кутузова, как это было под Тарутиным и под Вязьмой, была направлена только к тому, чтобы, – насколько то было в его власти, – не останавливать этого гибельного для французов движения (как хотели в Петербурге и в армии русские генералы), а содействовать ему и облегчить движение своих войск.
Но, кроме того, со времени выказавшихся в войсках утомления и огромной убыли, происходивших от быстроты движения, еще другая причина представлялась Кутузову для замедления движения войск и для выжидания. Цель русских войск была – следование за французами. Путь французов был неизвестен, и потому, чем ближе следовали наши войска по пятам французов, тем больше они проходили расстояния. Только следуя в некотором расстоянии, можно было по кратчайшему пути перерезывать зигзаги, которые делали французы. Все искусные маневры, которые предлагали генералы, выражались в передвижениях войск, в увеличении переходов, а единственно разумная цель состояла в том, чтобы уменьшить эти переходы. И к этой цели во всю кампанию, от Москвы до Вильны, была направлена деятельность Кутузова – не случайно, не временно, но так последовательно, что он ни разу не изменил ей.
Кутузов знал не умом или наукой, а всем русским существом своим знал и чувствовал то, что чувствовал каждый русский солдат, что французы побеждены, что враги бегут и надо выпроводить их; но вместе с тем он чувствовал, заодно с солдатами, всю тяжесть этого, неслыханного по быстроте и времени года, похода.
Но генералам, в особенности не русским, желавшим отличиться, удивить кого то, забрать в плен для чего то какого нибудь герцога или короля, – генералам этим казалось теперь, когда всякое сражение было и гадко и бессмысленно, им казалось, что теперь то самое время давать сражения и побеждать кого то. Кутузов только пожимал плечами, когда ему один за другим представляли проекты маневров с теми дурно обутыми, без полушубков, полуголодными солдатами, которые в один месяц, без сражений, растаяли до половины и с которыми, при наилучших условиях продолжающегося бегства, надо было пройти до границы пространство больше того, которое было пройдено.
В особенности это стремление отличиться и маневрировать, опрокидывать и отрезывать проявлялось тогда, когда русские войска наталкивались на войска французов.
Так это случилось под Красным, где думали найти одну из трех колонн французов и наткнулись на самого Наполеона с шестнадцатью тысячами. Несмотря на все средства, употребленные Кутузовым, для того чтобы избавиться от этого пагубного столкновения и чтобы сберечь свои войска, три дня у Красного продолжалось добивание разбитых сборищ французов измученными людьми русской армии.
Толь написал диспозицию: die erste Colonne marschiert [первая колонна направится туда то] и т. д. И, как всегда, сделалось все не по диспозиции. Принц Евгений Виртембергский расстреливал с горы мимо бегущие толпы французов и требовал подкрепления, которое не приходило. Французы, по ночам обегая русских, рассыпались, прятались в леса и пробирались, кто как мог, дальше.
Милорадович, который говорил, что он знать ничего не хочет о хозяйственных делах отряда, которого никогда нельзя было найти, когда его было нужно, «chevalier sans peur et sans reproche» [«рыцарь без страха и упрека»], как он сам называл себя, и охотник до разговоров с французами, посылал парламентеров, требуя сдачи, и терял время и делал не то, что ему приказывали.
– Дарю вам, ребята, эту колонну, – говорил он, подъезжая к войскам и указывая кавалеристам на французов. И кавалеристы на худых, ободранных, еле двигающихся лошадях, подгоняя их шпорами и саблями, рысцой, после сильных напряжений, подъезжали к подаренной колонне, то есть к толпе обмороженных, закоченевших и голодных французов; и подаренная колонна кидала оружие и сдавалась, чего ей уже давно хотелось.