Радиационное трение

Радиационное трение, реакция излучения, лучистое трение, торможение излучением — сила, действующая на заряженную точечную частицу (например, электрон), со стороны её собственного электромагнитного излучения, вызываемого неравномерностью движения этой частицы.

Теоретическое обоснование

Система, излучающая электромагнитные волны, не является замкнутой. В частности, к ней не применимы законы сохранения энергии и импульса. Такая система является диссипативной.

Радиационное трение можно рассчитать, рассматривая взаимодействие заряда и создаваемого им самим электромагнитного поля («самодействие»).

При строгой постановке задачи необходимо учитывать квантовые эффекты. В частности, попытка рассчитать радиационное трение частицы, на которую действует внешняя сила, при помощи методов классической физики приводит к парадоксам.

Методы квантовой электродинамики позволяют учесть радиационное трение практически с любой степенью точности, причём не только его диссипативную часть (обусловливающую уширение спектральных линий), но и изменение внешнего поля, в котором движется частица.

Формула Лоренца

Для скоростей, малых по сравнению со скоростью света, для мощности излучения частицы применима формула Лармора, а сила радиационного трения выражается (в системе СГС) формулой:

<math>\vec{F} = \frac{2}{3} \frac {q^2}{c^3} \frac {d\vec{a}}{dt} </math>,

где q — величина заряда частицы, а a — её (мгновенное) ускорение. Эту формулу впервые вывел Хендрик Лоренц.

Если выражать величины в системе СИ, то формула содержит иные константы:

<math>\vec{F} = \frac{ q^2}{6 \pi \epsilon_0 c^3} \frac {d\vec{a}}{dt}</math>.

Это довольно редкий случай, когда в формулы входит скорость изменения ускорения (или третья производная радиус-вектора по времени), иногда называемая рывком.

Формула Лоренца — Абрагама — Дирака

Формула, полученная Лоренцем, справедлива только для случая нерелятивистской частицы. Впервые её обобщение на релятивистский случай было получено М. Абрагамом в 1905 году.

Релятивистское выражение для силы радиационного торможения можно получить из следующих соображений. Во-первых, следует иметь в виду, что в специальной теории относительности обобщением понятия силы является так называемый 4-вектор силы <math>g^i</math>, который по определению должен удовлетворять условию <math>g^iu_i=0</math>, где <math>u^i=\frac{dx^i}{ds}</math> — 4-скорость, <math>ds=\sqrt{dx^idx_i} </math> — релятивистский интервал, а <math>x^i=(ct,x,y,z)</math> — 4-вектор времени-координат. Здесь и далее используется релятивистский формализм, в рамках которого «опускание» векторного индекса достигается умножением на метрический тензор пространства Минковского, <math>g_{ij}={\rm diag}(1,-1,-1,-1) </math>, например: <math>u_k=u^ig_{ik} </math>; по повторяющимся индексам <math>i=0,1,2,3 </math> подразумевается суммирование, например: <math>g^iu_i=g^0u^0-g^1u^1-g^2u^2-g^3u^3</math>.

Для определения 4-вектора <math>g^i</math> следует воспользоваться тем фактом, что при стремлении скорости тела к нулю выражение для <math>g^i</math> должно давать выражение для классической формулы Лоренца. Можно показать, что таким свойством обладает величина

{{{2}}}

(LAD1)

где <math>s</math> — так называемый интервал. Выражение (LAD1) не удовлетворяет, однако, условию <math>g^iu_i=0</math>. Для того, чтобы этому условию удовлетворить, необходимо дополнить выражение (LAD1) ещё одним слагаемым, которое стремилось бы к нулю при стремлении скорости частицы к нулю. Таким свойством обладает, в частности, любое выражение вида <math>\alpha u^i</math>, где <math>\alpha</math> — скаляр, выбираемый таким образом, чтобы условие <math>g^iu_i=0</math> выполнилось. В результате выражение для радиационной силы, полученное Абрагамом, имеет вид:

{{{2}}}

(LAD2)

где, как и ранее, предполагается суммирование по повторяющемуся индексу <math>k</math>. Формулу (LAD2) можно переписать и в другом эквивалентном виде:

{{{2}}}

(LAD3)

П. А. М. Дираком в 1938 году была получена та же формула из более элементарных соображений. Он рассмотрел совместную систему уравнений Максвелла и выражения для силы Лоренца, действующей на электрон. При этом им учитывалось то, что электрон, вообще говоря, генерирует поля, которые действуют на сам же электрон. Если предположить, что электрон имеет некоторый неизвестный нам, но конечный размер <math>a</math> и массу <math>m_0</math>, и решить такую задачу, отбросив члены, исчезающе малые при малых <math>a</math>, то получится следующее уравнение движения электрона во внешнем поле, характеризующимся тензором <math>F^{ik}</math>:

{{{2}}}

(LAD4)

где <math>\delta m = 4e^2/3c^2a</math> и формально расходится (то есть стремится к бесконечности) при стремлении <math>a</math> к нулю. Важным, однако, является то, что единственный расходящийся член пропорционален ускорению, что позволяет провести своеобразную классическую процедуру перенормировки: поскольку величины <math>m_0</math> и <math>\delta m</math> не могут быть отличены друг от друга в любом из проводимых экспериментов, единственной величиной, имеющей физический смысл и поддающейся измерению является их сумма <math>m = m_0 + \delta m</math>, которая и равна массе электрона, наблюдаемой в опыте. При этом величину <math>m_0</math> называют «голой» массой электрона, то есть его массой без учёта массы электромагнитного поля, создаваемого этим электроном. С учётом последнего замечания из сравнения формул (LAD2) и (LAD4) видно, что Дираком была получена та же формула для радиационного трения, что и Абрагамом (первый член в правой части выражения (LAD4) отвечает за обычную силу Лоренца, действующую на электрон во внешних полях).

По именам сделавших вклад в его открытие учёных уравнение (LAD4) носит название уравнения Лоренца — Абрагама — Дирака.

См. также

• Лэмбовский сдвиг

Литература

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 8-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2006. — С. 279—288. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-9221-0056-4.
• Eric Poisson [arxiv.org/abs/gr-qc/9912045 An introduction to the Lorentz-Dirac equation] (англ.) // arXiv.org. — 1999.
• Igor V. Sokolov, Natalia M. Naumova, John A. Nees, Gérard A. Mourou, and Victor P. Yanovsky [dx.doi.org/10.1063/1.3236748 Dynamics of emitting electrons in strong laser fields] (англ.) // Phys. Plasmas. — 2009. — Vol. 16. — P. 093115. (arXiv:0904.0405)
• И. В. Соколов [www.jetp.ac.ru/cgi-bin/r/index/r/136/2/p247?a=list Перенормировка уравнения Лоренца — Абрагама — Дирака для радиационной силы в классической электродинамике] // ЖЭТФ. — 2009. — Т. 136, вып. 2. — С. 247. (arXiv:0906.1150)
• Igor V. Sokolov, Natalia M. Naumova, John A. Nees, Victor P. Yanovsky, and Gérard A. Mourou [dx.doi.org/10.1063/1.3426068 Radiation back-reaction in relativistically strong and QED-strong pulsed laser fields] (англ.) // AIP Conf. Proc.. — 2010. — Vol. 1228, fasc. 1. — P. 305—322. (arXiv:0910.4268)

Отрывок, характеризующий Радиационное трение

– Я? я? что ж я то? меня то оставьте в стороне. Не я пойду замуж. Что вы? вот это желательно знать.
Княжна видела, что отец недоброжелательно смотрел на это дело, но ей в ту же минуту пришла мысль, что теперь или никогда решится судьба ее жизни. Она опустила глаза, чтобы не видеть взгляда, под влиянием которого она чувствовала, что не могла думать, а могла по привычке только повиноваться, и сказала:
– Я желаю только одного – исполнить вашу волю, – сказала она, – но ежели бы мое желание нужно было выразить…
Она не успела договорить. Князь перебил ее.
– И прекрасно, – закричал он. – Он тебя возьмет с приданным, да кстати захватит m lle Bourienne. Та будет женой, а ты…
Князь остановился. Он заметил впечатление, произведенное этими словами на дочь. Она опустила голову и собиралась плакать.
– Ну, ну, шучу, шучу, – сказал он. – Помни одно, княжна: я держусь тех правил, что девица имеет полное право выбирать. И даю тебе свободу. Помни одно: от твоего решения зависит счастье жизни твоей. Обо мне нечего говорить.
– Да я не знаю… mon pere.
– Нечего говорить! Ему велят, он не только на тебе, на ком хочешь женится; а ты свободна выбирать… Поди к себе, обдумай и через час приди ко мне и при нем скажи: да или нет. Я знаю, ты станешь молиться. Ну, пожалуй, молись. Только лучше подумай. Ступай. Да или нет, да или нет, да или нет! – кричал он еще в то время, как княжна, как в тумане, шатаясь, уже вышла из кабинета.
Судьба ее решилась и решилась счастливо. Но что отец сказал о m lle Bourienne, – этот намек был ужасен. Неправда, положим, но всё таки это было ужасно, она не могла не думать об этом. Она шла прямо перед собой через зимний сад, ничего не видя и не слыша, как вдруг знакомый шопот m lle Bourienne разбудил ее. Она подняла глаза и в двух шагах от себя увидала Анатоля, который обнимал француженку и что то шептал ей. Анатоль с страшным выражением на красивом лице оглянулся на княжну Марью и не выпустил в первую секунду талию m lle Bourienne, которая не видала ее.
«Кто тут? Зачем? Подождите!» как будто говорило лицо Анатоля. Княжна Марья молча глядела на них. Она не могла понять этого. Наконец, m lle Bourienne вскрикнула и убежала, а Анатоль с веселой улыбкой поклонился княжне Марье, как будто приглашая ее посмеяться над этим странным случаем, и, пожав плечами, прошел в дверь, ведшую на его половину.
Через час Тихон пришел звать княжну Марью. Он звал ее к князю и прибавил, что и князь Василий Сергеич там. Княжна, в то время как пришел Тихон, сидела на диване в своей комнате и держала в своих объятиях плачущую m lla Bourienne. Княжна Марья тихо гладила ее по голове. Прекрасные глаза княжны, со всем своим прежним спокойствием и лучистостью, смотрели с нежной любовью и сожалением на хорошенькое личико m lle Bourienne.
– Non, princesse, je suis perdue pour toujours dans votre coeur, [Нет, княжна, я навсегда утратила ваше расположение,] – говорила m lle Bourienne.
– Pourquoi? Je vous aime plus, que jamais, – говорила княжна Марья, – et je tacherai de faire tout ce qui est en mon pouvoir pour votre bonheur. [Почему же? Я вас люблю больше, чем когда либо, и постараюсь сделать для вашего счастия всё, что в моей власти.]
– Mais vous me meprisez, vous si pure, vous ne comprendrez jamais cet egarement de la passion. Ah, ce n'est que ma pauvre mere… [Но вы так чисты, вы презираете меня; вы никогда не поймете этого увлечения страсти. Ах, моя бедная мать…]
– Je comprends tout, [Я всё понимаю,] – отвечала княжна Марья, грустно улыбаясь. – Успокойтесь, мой друг. Я пойду к отцу, – сказала она и вышла.
Князь Василий, загнув высоко ногу, с табакеркой в руках и как бы расчувствованный донельзя, как бы сам сожалея и смеясь над своей чувствительностью, сидел с улыбкой умиления на лице, когда вошла княжна Марья. Он поспешно поднес щепоть табаку к носу.
– Ah, ma bonne, ma bonne, [Ах, милая, милая.] – сказал он, вставая и взяв ее за обе руки. Он вздохнул и прибавил: – Le sort de mon fils est en vos mains. Decidez, ma bonne, ma chere, ma douee Marieie qui j'ai toujours aimee, comme ma fille. [Судьба моего сына в ваших руках. Решите, моя милая, моя дорогая, моя кроткая Мари, которую я всегда любил, как дочь.]
Он отошел. Действительная слеза показалась на его глазах.
– Фр… фр… – фыркал князь Николай Андреич.
– Князь от имени своего воспитанника… сына, тебе делает пропозицию. Хочешь ли ты или нет быть женою князя Анатоля Курагина? Ты говори: да или нет! – закричал он, – а потом я удерживаю за собой право сказать и свое мнение. Да, мое мнение и только свое мнение, – прибавил князь Николай Андреич, обращаясь к князю Василью и отвечая на его умоляющее выражение. – Да или нет?
– Мое желание, mon pere, никогда не покидать вас, никогда не разделять своей жизни с вашей. Я не хочу выходить замуж, – сказала она решительно, взглянув своими прекрасными глазами на князя Василья и на отца.
– Вздор, глупости! Вздор, вздор, вздор! – нахмурившись, закричал князь Николай Андреич, взял дочь за руку, пригнул к себе и не поцеловал, но только пригнув свой лоб к ее лбу, дотронулся до нее и так сжал руку, которую он держал, что она поморщилась и вскрикнула.
Князь Василий встал.
– Ma chere, je vous dirai, que c'est un moment que je n'oublrai jamais, jamais; mais, ma bonne, est ce que vous ne nous donnerez pas un peu d'esperance de toucher ce coeur si bon, si genereux. Dites, que peut etre… L'avenir est si grand. Dites: peut etre. [Моя милая, я вам скажу, что эту минуту я никогда не забуду, но, моя добрейшая, дайте нам хоть малую надежду возможности тронуть это сердце, столь доброе и великодушное. Скажите: может быть… Будущность так велика. Скажите: может быть.]
– Князь, то, что я сказала, есть всё, что есть в моем сердце. Я благодарю за честь, но никогда не буду женой вашего сына.
– Ну, и кончено, мой милый. Очень рад тебя видеть, очень рад тебя видеть. Поди к себе, княжна, поди, – говорил старый князь. – Очень, очень рад тебя видеть, – повторял он, обнимая князя Василья.
«Мое призвание другое, – думала про себя княжна Марья, мое призвание – быть счастливой другим счастием, счастием любви и самопожертвования. И что бы мне это ни стоило, я сделаю счастие бедной Ame. Она так страстно его любит. Она так страстно раскаивается. Я все сделаю, чтобы устроить ее брак с ним. Ежели он не богат, я дам ей средства, я попрошу отца, я попрошу Андрея. Я так буду счастлива, когда она будет его женою. Она так несчастлива, чужая, одинокая, без помощи! И Боже мой, как страстно она любит, ежели она так могла забыть себя. Может быть, и я сделала бы то же!…» думала княжна Марья.


Долго Ростовы не имели известий о Николушке; только в середине зимы графу было передано письмо, на адресе которого он узнал руку сына. Получив письмо, граф испуганно и поспешно, стараясь не быть замеченным, на цыпочках пробежал в свой кабинет, заперся и стал читать. Анна Михайловна, узнав (как она и всё знала, что делалось в доме) о получении письма, тихим шагом вошла к графу и застала его с письмом в руках рыдающим и вместе смеющимся. Анна Михайловна, несмотря на поправившиеся дела, продолжала жить у Ростовых.
– Mon bon ami? – вопросительно грустно и с готовностью всякого участия произнесла Анна Михайловна.
Граф зарыдал еще больше. «Николушка… письмо… ранен… бы… был… ma сhere… ранен… голубчик мой… графинюшка… в офицеры произведен… слава Богу… Графинюшке как сказать?…»
Анна Михайловна подсела к нему, отерла своим платком слезы с его глаз, с письма, закапанного ими, и свои слезы, прочла письмо, успокоила графа и решила, что до обеда и до чаю она приготовит графиню, а после чаю объявит всё, коли Бог ей поможет.