Функции Матьё
Функции Матьё — математические специальные функции, являющиеся периодическими решениями уравнения Матьё. Используются при решении различных задач математической физики, в частности, при описании волнового движения с эллиптическими граничными условиями, при изучении явления параметрического резонанса, при изучении нелинейных колебаний в различных разделах теоретической и экспериментальной физики и т. д.
Уравнение Матьё
Уравнением Матьё называется дифференциальное уравнение вида (каноническая форма):
- <math> \frac{d^2y}{dx^2}+[a-2q\cos (2x) ]y=0. </math>,
где a и q - параметры, от которых зависит поведение решения (устойчивое или неустойчивое), данную зависимость иллюстрирует диаграмма Айнса-Стретта.
Решения уравнения Матьё
Согласно теореме Флоке, всегда существуют решения уравнения Матьё в виде: <math>y(x) = \exp (\mu x) \phi (x)</math>, где <math>\phi (x)</math> имеет период <math>2 \pi</math>. При <math>\mu = 0</math> эти решения являются периодическими с периодом <math>2 \pi</math> и называются функциями Матьё. Они обозначаются как: <math>ce_0(x), ce_1(x), se_1(x), ce_2(x), se_2(x), ...</math>. Функции Матьё можно представить в виде сумм косинусов или синусов: <math>ce_{2n}(x)=\sum_k A_k \cos 2kx, ce_{2n+1}(x)=\sum_k B_k \cos (2k+1)x, se_{2n}(x)=\sum_k C_k \sin 2kx, se_{2n+1}(x)=\sum_k D_k \sin (2k+1)x,</math>, где величины <math>A_k, B_k, C_k, D_k</math> являются функциями от величин <math>\alpha, \beta</math> в уравнении Матьё. Значения <math>A_k, B_k, C_k, D_k</math> можно получить, подставляя решение уравнения Матьё в виде разложения по ряду Фурье в уравнение и приравнивая подобные члены.
См. также
Напишите отзыв о статье "Функции Матьё"
Литература
- Мэтьюз Дж., Уокер Р. Математические методы в физике. Пер. с англ., М., Атомиздат, 1972, 392 стр.
- [eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0234.pdf Уравнение Матье], [eqworld.ipmnet.ru/ru/ EqWorld]
Отрывок, характеризующий Функции Матьё
Волк приостановил бег, неловко, как больной жабой, повернул свою лобастую голову к собакам, и также мягко переваливаясь прыгнул раз, другой и, мотнув поленом (хвостом), скрылся в опушку. В ту же минуту из противоположной опушки с ревом, похожим на плач, растерянно выскочила одна, другая, третья гончая, и вся стая понеслась по полю, по тому самому месту, где пролез (пробежал) волк. Вслед за гончими расступились кусты орешника и показалась бурая, почерневшая от поту лошадь Данилы. На длинной спине ее комочком, валясь вперед, сидел Данила без шапки с седыми, встрепанными волосами над красным, потным лицом.– Улюлюлю, улюлю!… – кричал он. Когда он увидал графа, в глазах его сверкнула молния.
– Ж… – крикнул он, грозясь поднятым арапником на графа.
– Про…ли волка то!… охотники! – И как бы не удостоивая сконфуженного, испуганного графа дальнейшим разговором, он со всей злобой, приготовленной на графа, ударил по ввалившимся мокрым бокам бурого мерина и понесся за гончими. Граф, как наказанный, стоял оглядываясь и стараясь улыбкой вызвать в Семене сожаление к своему положению. Но Семена уже не было: он, в объезд по кустам, заскакивал волка от засеки. С двух сторон также перескакивали зверя борзятники. Но волк пошел кустами и ни один охотник не перехватил его.
Николай Ростов между тем стоял на своем месте, ожидая зверя. По приближению и отдалению гона, по звукам голосов известных ему собак, по приближению, отдалению и возвышению голосов доезжачих, он чувствовал то, что совершалось в острове. Он знал, что в острове были прибылые (молодые) и матерые (старые) волки; он знал, что гончие разбились на две стаи, что где нибудь травили, и что что нибудь случилось неблагополучное. Он всякую секунду на свою сторону ждал зверя. Он делал тысячи различных предположений о том, как и с какой стороны побежит зверь и как он будет травить его. Надежда сменялась отчаянием. Несколько раз он обращался к Богу с мольбою о том, чтобы волк вышел на него; он молился с тем страстным и совестливым чувством, с которым молятся люди в минуты сильного волнения, зависящего от ничтожной причины. «Ну, что Тебе стоит, говорил он Богу, – сделать это для меня! Знаю, что Ты велик, и что грех Тебя просить об этом; но ради Бога сделай, чтобы на меня вылез матерый, и чтобы Карай, на глазах „дядюшки“, который вон оттуда смотрит, влепился ему мертвой хваткой в горло». Тысячу раз в эти полчаса упорным, напряженным и беспокойным взглядом окидывал Ростов опушку лесов с двумя редкими дубами над осиновым подседом, и овраг с измытым краем, и шапку дядюшки, чуть видневшегося из за куста направо.
