Уравнение Орнштейна — Цернике
Уравнение Орнштейна — Цернике — интегральное уравнение статистической механики для определения прямой корреляционной функции. Оно описывает, как может быть рассчитана корреляция между двумя молекулами, точнее корреляция плотности между двумя точками. Применение в основном обнаруживается в теории жидкости.
Уравнение названо в честь Леонарда Саломона Орнштейна и Фрица Цернике .
Вывод
Можно получить уравнение Орнштейна-Цернике из следующих эвристических соображений. Удобно ввести полную корреляционную функцию:
- <math> h(r_{12})=g(r_{12})-1</math>
которая является мерой для «воздействия» молекулы 1 на молекулу 2, расположенную на расстоянии <math>r_{12}</math> от первой, в системе с радиальной функцией распределения <math>g(r_{12})</math>. В 1914 году Орнштейн и Цернике предложили разделить это влияние на два вклада: прямой и косвенный. Прямой вклад по определению задается прямой корреляционной функцией, сказывается c <math>c(r_{12})</math>. Косвенный вклад связан с влиянием молекулы 1 на третью молекулу 3, которая в свою очередь влияет на молекулу 2, непосредственно. Такой опосредованный эффект решается по плотности и усредняется по всем возможным положениях координаты молекулы 3. Это расписание можно записать так:
- <math> h(r_{12})=c(r_{12}) + \rho \int d \mathbf{r}_{3} c(r_{13})h(r_{23})</math>
что и будет называться уравнением Орнштейна — Цернике.
Точный вывод уравнения требует графического анализа и функциональных методов статистической физики.
Применение
Чтобы разрешить уравнение Орштейна — Цернике, в него добавляют еще одно приближенное уравнение, которое связывает <math>h(r)</math> с <math>c(r)</math>, полученное из модельных соображений. В результате получим одно интегральное или интегро-диференциалне уравнение, из которого можно найти <math>h(r)</math>. Самые распространенные приближения: приближение Перкуса — Евика:
- <math> c(r)=g(r)[e^{-\phi(r)/kT} - 1] e^{-\phi(r)/kT}</math>
- <math> c(r)=g(r) - 1 - \ln{g(r)} - \frac{\phi(r)}{kT}, </math>
В рамках теории Орштейна — Цернике можно, не вдаваясь в детальный вид функции <math>c(r)</math>, а предположив лишь, что она является короткодействующей, описать асимптотику поведения <math>h(r)</math> при <math>r \rightarrow \infty</math>:
- <math>h(r) \rightarrow \frac {e^{-r/R_c}} {r}</math>
с некоторым характерным параметром <math>R_c</math> (радиусом корреляции).
Напишите отзыв о статье "Уравнение Орнштейна — Цернике"
Ссылки
- [cbp.tnw.utwente.nl/PolymeerDictaat/node15.html The Ornstein-Zernike equation and integral equations]
- [www4.ncsu.edu/~ctk/PAPERS/OZwavelet4.pdf Multilevel wavelet solver for the Ornstein-Zernike equation Abstract]
- [www.iop.org/EJ/S/UNREG/lLP4nnFLwybFbk9aWg47cQ/article/0953-8984/12/38/101/c038l1.pdf Analytical solution of the Ornstein-Zernike equation for a multicomponent fluid]
- [www.iop.org/EJ/article/0295-5075/54/4/475/6545.html The Ornstein-Zernike equation in the canonical ensemble]
- [www.springerlink.com/content/g9mf9h70a2wugujl Ornstein-Zernike Theory for Finite-Range Ising Models Above Tc]
- Р. Балеску, Равновесная и неравновесная статистическая механика. Том 1, М:Мир, 1978
Отрывок, характеризующий Уравнение Орнштейна — Цернике
– Не говорите со мной так: я не стою этого! – вскрикнула Наташа и хотела уйти из комнаты, но Пьер удержал ее за руку. Он знал, что ему нужно что то еще сказать ей. Но когда он сказал это, он удивился сам своим словам.– Перестаньте, перестаньте, вся жизнь впереди для вас, – сказал он ей.
– Для меня? Нет! Для меня всё пропало, – сказала она со стыдом и самоунижением.
– Все пропало? – повторил он. – Ежели бы я был не я, а красивейший, умнейший и лучший человек в мире, и был бы свободен, я бы сию минуту на коленях просил руки и любви вашей.
Наташа в первый раз после многих дней заплакала слезами благодарности и умиления и взглянув на Пьера вышла из комнаты.
Пьер тоже вслед за нею почти выбежал в переднюю, удерживая слезы умиления и счастья, давившие его горло, не попадая в рукава надел шубу и сел в сани.
– Теперь куда прикажете? – спросил кучер.
«Куда? спросил себя Пьер. Куда же можно ехать теперь? Неужели в клуб или гости?» Все люди казались так жалки, так бедны в сравнении с тем чувством умиления и любви, которое он испытывал; в сравнении с тем размягченным, благодарным взглядом, которым она последний раз из за слез взглянула на него.
– Домой, – сказал Пьер, несмотря на десять градусов мороза распахивая медвежью шубу на своей широкой, радостно дышавшей груди.
Было морозно и ясно. Над грязными, полутемными улицами, над черными крышами стояло темное, звездное небо. Пьер, только глядя на небо, не чувствовал оскорбительной низости всего земного в сравнении с высотою, на которой находилась его душа. При въезде на Арбатскую площадь, огромное пространство звездного темного неба открылось глазам Пьера. Почти в середине этого неба над Пречистенским бульваром, окруженная, обсыпанная со всех сторон звездами, но отличаясь от всех близостью к земле, белым светом, и длинным, поднятым кверху хвостом, стояла огромная яркая комета 1812 го года, та самая комета, которая предвещала, как говорили, всякие ужасы и конец света. Но в Пьере светлая звезда эта с длинным лучистым хвостом не возбуждала никакого страшного чувства. Напротив Пьер радостно, мокрыми от слез глазами, смотрел на эту светлую звезду, которая, как будто, с невыразимой быстротой пролетев неизмеримые пространства по параболической линии, вдруг, как вонзившаяся стрела в землю, влепилась тут в одно избранное ею место, на черном небе, и остановилась, энергично подняв кверху хвост, светясь и играя своим белым светом между бесчисленными другими, мерцающими звездами. Пьеру казалось, что эта звезда вполне отвечала тому, что было в его расцветшей к новой жизни, размягченной и ободренной душе.