Уравнение Орнштейна — Цернике

Поделись знанием:
(перенаправлено с «Уравнение Орштейна-Цернике»)
Перейти к: навигация, поиск

Уравнение Орнштейна — Цернике — интегральное уравнение статистической механики для определения прямой корреляционной функции. Оно описывает, как может быть рассчитана корреляция между двумя молекулами, точнее корреляция плотности между двумя точками. Применение в основном обнаруживается в теории жидкости.

Уравнение названо в честь Леонарда Саломона Орнштейна и Фрица Цернике .



Вывод

Можно получить уравнение Орнштейна-Цернике из следующих эвристических соображений. Удобно ввести полную корреляционную функцию:

<math> h(r_{12})=g(r_{12})-1</math>

которая является мерой для «воздействия» молекулы 1 на молекулу 2, расположенную на расстоянии <math>r_{12}</math> от первой, в системе с радиальной функцией распределения <math>g(r_{12})</math>. В 1914 году Орнштейн и Цернике предложили разделить это влияние на два вклада: прямой и косвенный. Прямой вклад по определению задается прямой корреляционной функцией, сказывается c <math>c(r_{12})</math>. Косвенный вклад связан с влиянием молекулы 1 на третью молекулу 3, которая в свою очередь влияет на молекулу 2, непосредственно. Такой опосредованный эффект решается по плотности и усредняется по всем возможным положениях координаты молекулы 3. Это расписание можно записать так:

<math> h(r_{12})=c(r_{12}) + \rho \int d \mathbf{r}_{3} c(r_{13})h(r_{23})</math>

что и будет называться уравнением Орнштейна — Цернике.

Точный вывод уравнения требует графического анализа и функциональных методов статистической физики.

Применение

Чтобы разрешить уравнение Орштейна — Цернике, в него добавляют еще одно приближенное уравнение, которое связывает <math>h(r)</math> с <math>c(r)</math>, полученное из модельных соображений. В результате получим одно интегральное или интегро-диференциалне уравнение, из которого можно найти <math>h(r)</math>. Самые распространенные приближения: приближение Перкуса — Евика:

<math> c(r)=g(r)[e^{-\phi(r)/kT} - 1] e^{-\phi(r)/kT}</math>

Гиперцепное приближение:

<math> c(r)=g(r) - 1 - \ln{g(r)} - \frac{\phi(r)}{kT}, </math>

В рамках теории Орштейна — Цернике можно, не вдаваясь в детальный вид функции <math>c(r)</math>, а предположив лишь, что она является короткодействующей, описать асимптотику поведения <math>h(r)</math> при <math>r \rightarrow \infty</math>:

<math>h(r) \rightarrow \frac {e^{-r/R_c}} {r}</math>

с некоторым характерным параметром <math>R_c</math> (радиусом корреляции).

Напишите отзыв о статье "Уравнение Орнштейна — Цернике"

Ссылки

  • [cbp.tnw.utwente.nl/PolymeerDictaat/node15.html The Ornstein-Zernike equation and integral equations]
  • [www4.ncsu.edu/~ctk/PAPERS/OZwavelet4.pdf Multilevel wavelet solver for the Ornstein-Zernike equation Abstract]
  • [www.iop.org/EJ/S/UNREG/lLP4nnFLwybFbk9aWg47cQ/article/0953-8984/12/38/101/c038l1.pdf Analytical solution of the Ornstein-Zernike equation for a multicomponent fluid]
  • [www.iop.org/EJ/article/0295-5075/54/4/475/6545.html The Ornstein-Zernike equation in the canonical ensemble]
  • [www.springerlink.com/content/g9mf9h70a2wugujl Ornstein-Zernike Theory for Finite-Range Ising Models Above Tc]
  • Р. Балеску, Равновесная и неравновесная статистическая механика. Том 1, М:Мир, 1978

Отрывок, характеризующий Уравнение Орнштейна — Цернике

– Не говорите со мной так: я не стою этого! – вскрикнула Наташа и хотела уйти из комнаты, но Пьер удержал ее за руку. Он знал, что ему нужно что то еще сказать ей. Но когда он сказал это, он удивился сам своим словам.
– Перестаньте, перестаньте, вся жизнь впереди для вас, – сказал он ей.
– Для меня? Нет! Для меня всё пропало, – сказала она со стыдом и самоунижением.
– Все пропало? – повторил он. – Ежели бы я был не я, а красивейший, умнейший и лучший человек в мире, и был бы свободен, я бы сию минуту на коленях просил руки и любви вашей.
Наташа в первый раз после многих дней заплакала слезами благодарности и умиления и взглянув на Пьера вышла из комнаты.
Пьер тоже вслед за нею почти выбежал в переднюю, удерживая слезы умиления и счастья, давившие его горло, не попадая в рукава надел шубу и сел в сани.
– Теперь куда прикажете? – спросил кучер.
«Куда? спросил себя Пьер. Куда же можно ехать теперь? Неужели в клуб или гости?» Все люди казались так жалки, так бедны в сравнении с тем чувством умиления и любви, которое он испытывал; в сравнении с тем размягченным, благодарным взглядом, которым она последний раз из за слез взглянула на него.
– Домой, – сказал Пьер, несмотря на десять градусов мороза распахивая медвежью шубу на своей широкой, радостно дышавшей груди.
Было морозно и ясно. Над грязными, полутемными улицами, над черными крышами стояло темное, звездное небо. Пьер, только глядя на небо, не чувствовал оскорбительной низости всего земного в сравнении с высотою, на которой находилась его душа. При въезде на Арбатскую площадь, огромное пространство звездного темного неба открылось глазам Пьера. Почти в середине этого неба над Пречистенским бульваром, окруженная, обсыпанная со всех сторон звездами, но отличаясь от всех близостью к земле, белым светом, и длинным, поднятым кверху хвостом, стояла огромная яркая комета 1812 го года, та самая комета, которая предвещала, как говорили, всякие ужасы и конец света. Но в Пьере светлая звезда эта с длинным лучистым хвостом не возбуждала никакого страшного чувства. Напротив Пьер радостно, мокрыми от слез глазами, смотрел на эту светлую звезду, которая, как будто, с невыразимой быстротой пролетев неизмеримые пространства по параболической линии, вдруг, как вонзившаяся стрела в землю, влепилась тут в одно избранное ею место, на черном небе, и остановилась, энергично подняв кверху хвост, светясь и играя своим белым светом между бесчисленными другими, мерцающими звездами. Пьеру казалось, что эта звезда вполне отвечала тому, что было в его расцветшей к новой жизни, размягченной и ободренной душе.