Уравнение Пелля

В математике, уравнение Пелля — диофантово уравнение вида

<math>

x^2-n y^2=1, </math> где <math>n</math> — натуральное число, не являющееся квадратом.

Простейшие свойства

• Пары <math>(\pm 1,0)</math> всегда являются решениями, называемыми тривиальными.
• Ввиду симметрии, достаточно найти все решения с положительными x и y.
• Если n является полным квадратом, то у уравнения нет нетривиальных решений, поскольку в левой части стоит разность двух полных квадратов, что объясняет ограничение на параметр n.

Эквивалентные формулировки и связь с теорией полей

Пара (x, y) является решением уравнения Пелля тогда и только тогда, когда норма числа <math>x+y\sqrt{n}</math> в расширении <math>\Q(\sqrt{n})</math> поля <math>\Q</math> равна единице:

<math>

N(x+y\sqrt{n}) = (x+y\sqrt{n})(x-y\sqrt{n}) = x^2 - n y^2. </math> В частности, решению соответствует единица кольца <math>\mathbb{Z}[\sqrt{n}]</math>. Поэтому, а также в силу мультипликативности нормы, решения можно как «умножать», так и «делить»: решениям <math>(x_1,y_1)</math> и <math>(x_2,y_2)</math> можно поставить в соответствие решения

<math>

(x_1 x_2 + n y_1 y_2, x_1 y_2 + y_1 x_2), \quad (x_1 x_2 - n y_1 y_2, -x_1 y_2 + y_1 x_2). </math>

Кроме того, существование нетривиальных решений таким образом может быть выведено из теоремы Дирихле о единицах (утверждающей в данном случае, что ранг группы единиц кольца целых расширения <math>\Q(\sqrt{n})</math> равен 1).

Связь с цепными дробями

Несложно видеть, что при больших x и y, являющихся решениями уравнения Пелля, отношение <math>x/y</math> должно быть близким к <math>\sqrt{n}</math>. Оказывается, что верно и более сильное утверждение: такая дробь должна быть подходящей дробью для  <math>\sqrt{n}</math>, и имеет место следующий критерий:

Числитель и знаменатель подходящей дроби для <math>\sqrt{n}</math> являются решением уравнения Пелля тогда и только тогда, когда номер этой подходящей дроби нечётен и сравним с <math>-1</math> по модулю P, где P — период цепной дроби для <math>\sqrt{n}</math>.

История

Первые упоминания о таком уравнении были найдены в работах математиков Древней Греции и Древней Индии. Общий способ решения уравнения — так называемый «циклический метод» — присутствует в работах индийского математика XII века Брахмагупты, впрочем, без доказательства, что этот метод всегда приводит к решению. В общем виде задачу сформулировал французский математик Пьер Ферма, поэтому во Франции данное уравнение называется «уравнением Ферма». Современное же название уравнения возникло благодаря Леонарду Эйлеру, ошибочно приписавшему их авторство Джону Пеллю.

См. также

• Теорема Матиясевича
• Десятая проблема Гильберта
• Метод чакравала (англ.) — метод нахождения наименьшего нетривиального решения.

Литература

• Бугаенко В. О. [www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/book.13.pdf Уравнения Пелля]. — М.: МЦНМО, 2001. — ISBN 5-900916-96-0.
• Бухштаб А. А. Теория чисел. — М.: Учпедгиз, 1960.
• Ван дер Варден [mi.mathnet.ru/umn3843 Уравнение Пелля в математике греков и индийцев] // УМН. — 1976. — Т. 31, вып. 5(191). — С. 57–70.
• Сендеров В., Спивак А. [kvant.mccme.ru/pdf/2002/03/kv0302senderov.pdf Уравнения Пелля (часть I)] // Квант. — 2002. — № 3. — С. 2-9.
• Спивак А. [kvant.mccme.ru/pdf/2002/04/kv0402spivak.pdf Уравнения Пелля (часть II)] // Квант. — 2002. — № 4. — С. 5-11.
• Спивак А. [kvant.mccme.ru/pdf/2002/06/kv0602spivak.pdf Уравнения Пелля (часть III)] // Квант. — 2002. — № 6. — С. 10-15.

Ссылки

• [alekseylobanov1.appspot.com/pell Онлайн решение уравнений Пелля]
• Dario Alpern, [www.alpertron.com.ar/QUAD.HTM Generic Two integer variable equation solver]

Отрывок, характеризующий Уравнение Пелля

Ростов вспомнил то, что ему надо было ответить, только тогда, когда он уже вышел. И еще более был он сердит за то, что забыл сказать это. Ростов сейчас же велел подать свою лошадь и, сухо простившись с Борисом, поехал к себе. Ехать ли ему завтра в главную квартиру и вызвать этого ломающегося адъютанта или, в самом деле, оставить это дело так? был вопрос, который мучил его всю дорогу. То он с злобой думал о том, с каким бы удовольствием он увидал испуг этого маленького, слабого и гордого человечка под его пистолетом, то он с удивлением чувствовал, что из всех людей, которых он знал, никого бы он столько не желал иметь своим другом, как этого ненавидимого им адъютантика.


На другой день свидания Бориса с Ростовым был смотр австрийских и русских войск, как свежих, пришедших из России, так и тех, которые вернулись из похода с Кутузовым. Оба императора, русский с наследником цесаревичем и австрийский с эрцгерцогом, делали этот смотр союзной 80 титысячной армии.
С раннего утра начали двигаться щегольски вычищенные и убранные войска, выстраиваясь на поле перед крепостью. То двигались тысячи ног и штыков с развевавшимися знаменами и по команде офицеров останавливались, заворачивались и строились в интервалах, обходя другие такие же массы пехоты в других мундирах; то мерным топотом и бряцанием звучала нарядная кавалерия в синих, красных, зеленых шитых мундирах с расшитыми музыкантами впереди, на вороных, рыжих, серых лошадях; то, растягиваясь с своим медным звуком подрагивающих на лафетах, вычищенных, блестящих пушек и с своим запахом пальников, ползла между пехотой и кавалерией артиллерия и расставлялась на назначенных местах. Не только генералы в полной парадной форме, с перетянутыми донельзя толстыми и тонкими талиями и красневшими, подпертыми воротниками, шеями, в шарфах и всех орденах; не только припомаженные, расфранченные офицеры, но каждый солдат, – с свежим, вымытым и выбритым лицом и до последней возможности блеска вычищенной аммуницией, каждая лошадь, выхоленная так, что, как атлас, светилась на ней шерсть и волосок к волоску лежала примоченная гривка, – все чувствовали, что совершается что то нешуточное, значительное и торжественное. Каждый генерал и солдат чувствовали свое ничтожество, сознавая себя песчинкой в этом море людей, и вместе чувствовали свое могущество, сознавая себя частью этого огромного целого.
С раннего утра начались напряженные хлопоты и усилия, и в 10 часов всё пришло в требуемый порядок. На огромном поле стали ряды. Армия вся была вытянута в три линии. Спереди кавалерия, сзади артиллерия, еще сзади пехота.
Между каждым рядом войск была как бы улица. Резко отделялись одна от другой три части этой армии: боевая Кутузовская (в которой на правом фланге в передней линии стояли павлоградцы), пришедшие из России армейские и гвардейские полки и австрийское войско. Но все стояли под одну линию, под одним начальством и в одинаковом порядке.
Как ветер по листьям пронесся взволнованный шопот: «едут! едут!» Послышались испуганные голоса, и по всем войскам пробежала волна суеты последних приготовлений.
Впереди от Ольмюца показалась подвигавшаяся группа. И в это же время, хотя день был безветренный, легкая струя ветра пробежала по армии и чуть заколебала флюгера пик и распущенные знамена, затрепавшиеся о свои древки. Казалось, сама армия этим легким движением выражала свою радость при приближении государей. Послышался один голос: «Смирно!» Потом, как петухи на заре, повторились голоса в разных концах. И всё затихло.
В мертвой тишине слышался топот только лошадей. То была свита императоров. Государи подъехали к флангу и раздались звуки трубачей первого кавалерийского полка, игравшие генерал марш. Казалось, не трубачи это играли, а сама армия, радуясь приближению государя, естественно издавала эти звуки. Из за этих звуков отчетливо послышался один молодой, ласковый голос императора Александра. Он сказал приветствие, и первый полк гаркнул: Урра! так оглушительно, продолжительно, радостно, что сами люди ужаснулись численности и силе той громады, которую они составляли.