Уравнение состояния Редлиха — Квонга
Уравнение состояния Редлиха — Квонга — двухпараметрическое уравнение состояния реального газа, полученное О. Редлихом (англ. O. Redlich) и Дж. Квонгом (англ. J. N. S. Kwong) в 1949 году как улучшение уравнения Ван-дер-Ваальса[1]. При этом Отто Редлих в своей статье[2] 1975 года пишет, что уравнение не опирается на теоретические обоснования, а является по сути удачной эмпирической модификацией ранее известных уравнений.
Уравнение имеет вид:
- <math>P=\frac{RT}{V-b}-\frac{a}{T^{0{,}5}V(V+b)},</math>
где <math>P</math> — давление, Па;
- <math>T</math> — абсолютная температура, К;
- <math>V</math> — мольный объём, м³/моль;
- <math>R=8{,}31441\pm 0{,}00026</math> — универсальная газовая постоянная, Дж/(моль·К);
- <math>a</math> и <math>b</math> — некоторые константы, зависящие от конкретного вещества.
Из условий термодинамической устойчивости в критической точке — <math>\left(\frac{dT}{dV}\right)_{T_\mathrm{k}}=0</math> и <math>\left(\frac{d^2T}{dV^2}\right)_{T_\mathrm{k}}=0</math> (<math>T_\mathrm{k}</math> — критическая температура) — можно получить, что:
- <math>a=\frac{1}{9\cdot(\sqrt[3]{2}-1)}\frac{R^2T^{2{,}5}_\mathrm{k}}{P_\mathrm{k}}\approx\frac{0{,}42748R^2T^{2{,}5}_\mathrm{k}}{P_\mathrm{k}},</math>
- <math>b=\frac{\sqrt[3]{2}-1}{3}\frac{RT_\mathrm{k}}{P_\mathrm{k}}\approx\frac{0{,}08664RT_\mathrm{k}}{P_\mathrm{k}},</math>
где <math>P_\mathrm{k}</math> — критическое давление.
Представляет интерес разрешение уравнения Редлиха — Квонга относительно коэффициента сжимаемости <math>Z=\frac{PV}{RT}</math>. В этом случае имеем кубическое уравнение:
- <math>Z^3-Z^2+(A-B^2-B)Z-AB=0,</math>
где <math>A=\frac{aP}{R^2T^{2{,}5}},\;B=\frac{bP}{RT}</math>.
Уравнение Редлиха — Квонга применимо, если выполняется условие <math>\frac{P}{P_\mathrm{k}}<0{,}5\frac{T}{T_\mathrm{k}}</math>.
После 1949 года было получено несколько обобщений и модификаций уравнения Редлиха — Квонга (см. ниже), однако как показали А. Бьерре (A. Bjerre) и Т. Бак (T. A. Bak)[3] оригинальное уравнение более точно описывает поведение газов.
Содержание
Модификация Грея — Рента — Зудкевича
Р. Грей (R. D. Gray, Jr.), Н. Рент (N. H. Rent) и Д. Зудкевич предложили[4] скорректировать коэффициент сжимаемости <math>Z_\mathrm{RK}</math>, полученный из кубического уравнения Редлиха — Квонга, введя корректирующий член <math>\Delta Z</math>:
- <math>Z'=Z_\mathrm{RK}+\Delta Z,</math>
где <math>Z'</math> — модифицированный коэффициент сжимаемости;
- <math>\Delta Z=-0{,}04666626T^2_\mathrm{r}P^2_\mathrm{r}\exp[-7000(1-T_\mathrm{r})^2-770(1{,}02-P_\mathrm{r})^2]\,-</math>
- <math>-\,\omega(0{,}464419-0{,}424568T^2_\mathrm{r})\frac{P_\mathrm{r}}{T^4_\mathrm{r}+P^4_\mathrm{r}}\,-\,\omega(41{,}76451266-40{,}47298767T_\mathrm{r})\frac{P^2_\mathrm{r}}{(1+T_\mathrm{r})^4+P^4_\mathrm{r}}\,-</math>
- <math>-\,[0{,}11386032-\omega(12{,}55135462-12{,}5583112T_\mathrm{r})]\frac{P^3_\mathrm{r}}{(1+T_\mathrm{r})^4+P^4_\mathrm{r}},</math>
где <math>T_\mathrm{r}=\frac{T}{T_\mathrm{k}}</math> — приведённая температура, <math>P_\mathrm{r}=\frac{P}{P_\mathrm{k}}</math> — приведённое давление, <math>\omega</math> — фактор ацентричности (англ.) Питцера.
Модификация Грея и др. получена для <math>T_\mathrm{r}<1{,}1</math> и <math>P_\mathrm{r}\leqslant 2{,}0</math>.
Другие модификации
Другим путём получения модификаций оригинального уравнения состояния Редлиха — Квонга является запись его в виде:
- <math>Z=\frac{V}{V-b}-\frac{1}{3(\sqrt[3]{2}-1)^2}\frac{b}{V+b}F(\omega,\;T_\mathrm{r}),</math>
где <math>F(\omega,\;T_\mathrm{r})</math> — модифицирующая функция.
Для самого уравнения Редлиха — Квонга <math>F(\omega,\;T_\mathrm{r})=F(T_\mathrm{r})=T^{-1{,}5}_\mathrm{r}</math>.
Модификация Вильсона
У Г. Вильсона[5][6] (G. M. Wilson) модифицирующая функция имеет вид:
- <math>F(\omega,\;T_\mathrm{r})=1+(1{,}57+1{,}62\omega)\left(\frac{1}{T_\mathrm{r}}-1\right).</math>
Вильсон показал, что его форма уравнения даёт хорошие результаты по поправкам к энтальпии на давление не только для полярных (включая аммиак), но и для неполярных веществ.
Модификация Барне — Кинга
Барне[7] (F. J. Barnès), а позднее Кинг[8] (C. J. King) предложили в 1973—74 годах следующую модификацию:
- <math>F(\omega,\;T_\mathrm{r})=1+(0{,}9+1{,}21\omega)(T^{-1{,}5}_\mathrm{r}-1).</math>
Барне и Кинг применяли свою модификацию также для смесей как углеводородов, так и неуглеводородов.
Модификация Соаве
Г. Соаве (G. Soave) было предложено[9] следующее уравнение:
- <math>F(\omega,\;T_\mathrm{r})=\frac{1}{T_\mathrm{r}}[1+(0{,}480+1{,}574\omega-0{,}176\omega^2)(1-T^{0{,}5}_\mathrm{r})]^2.</math>
Для водорода было получено более простое уравнение:
- <math>F(\omega,\;T_\mathrm{r})=F(T_\mathrm{r})=1{,}202\exp(-0{,}30288T_\mathrm{r}).</math>
Вест (E. W. West) и Эрбар (J. H. Erbar), используя уравнение Соаве для систем лёгких углеводородов, пришли к выводу[10], что оно является очень точным при определении параметров фазового равновесия пар—жидкость и поправок к энтальпии на давление.
Напишите отзыв о статье "Уравнение состояния Редлиха — Квонга"
Литература
- Рид Р., Праусниц Дж., Шервуд Т. Свойства газов и жидкостей: Справочное пособие / Пер. с англ. под ред. Б. И. Соколова. — 3-е изд. — Л.: Химия, 1982. — 592 с.
- Уэйлес С. Фазовые равновесия в химической технологии: В 2-х ч. Ч. 1. — М.: Мир, 1989. — 304 с. — ISBN 5-03-001106-4..
См. также
- Уравнение состояния идеального газа
- Уравнение Ван-дер-Ваальса
- Уравнение Дитеричи
- Уравнение состояния Барнера — Адлера
- Уравнение состояния Суги — Лю
- Уравнение состояния Бенедикта — Вебба — Рубина
- Уравнение состояния Ли — Эрбара — Эдмистера
- Уравнение Битти — Бриджмена
Примечания
- ↑ Redlich O., Kwong J. N. S. [pubs.acs.org/doi/pdf/10.1021/cr60137a013 On the Thermodynamics of Solutions. V. An Equation of State. Fugacities of Gaseous Solutions] // Chemical Reviews. — 1949. — Т. 44, № 1. — С. 233–244.
- ↑ Redlich O. [pubs.acs.org/doi/abs/10.1021/i160055a020 On the Three-Parameter Representation of the Equation of State] // Industrial and Engineering Chemistry Fundamentals. — 1975. — Т. 14, вып. 3. — С. 257—260.
- ↑ Bjerre A., Bak T. A. [www.actachemscand.dk/pdf/acta_vol_23_p1733-1744.pdf Two-Parameter Equations of State] // Acta Chemica Scandinavica. — 1969. — Т. 23. — С. 1733—1744.
- ↑ Gray R. D., Jr., Rent N. H. and Zudkevitch D. [www3.interscience.wiley.com/journal/109068141/abstract A modified Redlich — Kwong equation of state] // The American Institute of Chemical Engineers Journal. — 1970. — Т. 16, вып. 6. — С. 991—998.
- ↑ Wilson G. M. // Advances in Cryogenic Engineering. — 1964. — Т. 9. — С. 168.
- ↑ Wilson G. M. // Advances in Cryogenic Engineering. — 1966. — Т. 11. — С. 392.
- ↑ Barnès F. J. Ph. D. thesis. Department of Chemical Engineering, University of California, Berkeley, 1973.
- ↑ King C. J. Personal communication, 1974.
- ↑ Soave G. [www.sciencedirect.com/science?_ob=MImg&_imagekey=B6TFK-444GVRD-152-1&_cdi=5229&_user=10&_pii=0009250972800964&_orig=browse&_coverDate=06%2F30%2F1972&_sk=999729993&view=c&wchp=dGLbVzz-zSkzS&md5=1a63235b2634fa1f3dde7270ceb69a54&ie=/sdarticle.pdf Equilibrium constants from a modified Redlich — Kwong equation of state] // Chemical Engineering Science. — 1972. — Т. 27, вып. 6. — С. 1197—1203.
- ↑ West E. W., Erbar J. H. An Evaluation of Four Methods of Predicting the Thermodynamic Properties of Light Hydrocarbon Systems // Paper presented at 52d Annual Meeting NGPA, Dallas, Tex., March 26—28. — 1972.
Отрывок, характеризующий Уравнение состояния Редлиха — Квонга
Граф стоял у окна и, не поворачивая лица, слушал слова Наташи. Вдруг он засопел носом и приблизил свое лицо к окну.Графиня взглянула на дочь, увидала ее пристыженное за мать лицо, увидала ее волнение, поняла, отчего муж теперь не оглядывался на нее, и с растерянным видом оглянулась вокруг себя.
– Ах, да делайте, как хотите! Разве я мешаю кому нибудь! – сказала она, еще не вдруг сдаваясь.
– Маменька, голубушка, простите меня!
Но графиня оттолкнула дочь и подошла к графу.
– Mon cher, ты распорядись, как надо… Я ведь не знаю этого, – сказала она, виновато опуская глаза.
– Яйца… яйца курицу учат… – сквозь счастливые слезы проговорил граф и обнял жену, которая рада была скрыть на его груди свое пристыженное лицо.
– Папенька, маменька! Можно распорядиться? Можно?.. – спрашивала Наташа. – Мы все таки возьмем все самое нужное… – говорила Наташа.
Граф утвердительно кивнул ей головой, и Наташа тем быстрым бегом, которым она бегивала в горелки, побежала по зале в переднюю и по лестнице на двор.
Люди собрались около Наташи и до тех пор не могли поверить тому странному приказанию, которое она передавала, пока сам граф именем своей жены не подтвердил приказания о том, чтобы отдавать все подводы под раненых, а сундуки сносить в кладовые. Поняв приказание, люди с радостью и хлопотливостью принялись за новое дело. Прислуге теперь это не только не казалось странным, но, напротив, казалось, что это не могло быть иначе, точно так же, как за четверть часа перед этим никому не только не казалось странным, что оставляют раненых, а берут вещи, но казалось, что не могло быть иначе.
Все домашние, как бы выплачивая за то, что они раньше не взялись за это, принялись с хлопотливостью за новое дело размещения раненых. Раненые повыползли из своих комнат и с радостными бледными лицами окружили подводы. В соседних домах тоже разнесся слух, что есть подводы, и на двор к Ростовым стали приходить раненые из других домов. Многие из раненых просили не снимать вещей и только посадить их сверху. Но раз начавшееся дело свалки вещей уже не могло остановиться. Было все равно, оставлять все или половину. На дворе лежали неубранные сундуки с посудой, с бронзой, с картинами, зеркалами, которые так старательно укладывали в прошлую ночь, и всё искали и находили возможность сложить то и то и отдать еще и еще подводы.
– Четверых еще можно взять, – говорил управляющий, – я свою повозку отдаю, а то куда же их?
– Да отдайте мою гардеробную, – говорила графиня. – Дуняша со мной сядет в карету.
Отдали еще и гардеробную повозку и отправили ее за ранеными через два дома. Все домашние и прислуга были весело оживлены. Наташа находилась в восторженно счастливом оживлении, которого она давно не испытывала.
– Куда же его привязать? – говорили люди, прилаживая сундук к узкой запятке кареты, – надо хоть одну подводу оставить.
– Да с чем он? – спрашивала Наташа.
– С книгами графскими.
– Оставьте. Васильич уберет. Это не нужно.
В бричке все было полно людей; сомневались о том, куда сядет Петр Ильич.
– Он на козлы. Ведь ты на козлы, Петя? – кричала Наташа.
Соня не переставая хлопотала тоже; но цель хлопот ее была противоположна цели Наташи. Она убирала те вещи, которые должны были остаться; записывала их, по желанию графини, и старалась захватить с собой как можно больше.
Во втором часу заложенные и уложенные четыре экипажа Ростовых стояли у подъезда. Подводы с ранеными одна за другой съезжали со двора.
Коляска, в которой везли князя Андрея, проезжая мимо крыльца, обратила на себя внимание Сони, устраивавшей вместе с девушкой сиденья для графини в ее огромной высокой карете, стоявшей у подъезда.
– Это чья же коляска? – спросила Соня, высунувшись в окно кареты.
– А вы разве не знали, барышня? – отвечала горничная. – Князь раненый: он у нас ночевал и тоже с нами едут.
– Да кто это? Как фамилия?
– Самый наш жених бывший, князь Болконский! – вздыхая, отвечала горничная. – Говорят, при смерти.
Соня выскочила из кареты и побежала к графине. Графиня, уже одетая по дорожному, в шали и шляпе, усталая, ходила по гостиной, ожидая домашних, с тем чтобы посидеть с закрытыми дверями и помолиться перед отъездом. Наташи не было в комнате.
– Maman, – сказала Соня, – князь Андрей здесь, раненый, при смерти. Он едет с нами.
Графиня испуганно открыла глаза и, схватив за руку Соню, оглянулась.
– Наташа? – проговорила она.
И для Сони и для графини известие это имело в первую минуту только одно значение. Они знали свою Наташу, и ужас о том, что будет с нею при этом известии, заглушал для них всякое сочувствие к человеку, которого они обе любили.
– Наташа не знает еще; но он едет с нами, – сказала Соня.
– Ты говоришь, при смерти?
Соня кивнула головой.
Графиня обняла Соню и заплакала.
«Пути господни неисповедимы!» – думала она, чувствуя, что во всем, что делалось теперь, начинала выступать скрывавшаяся прежде от взгляда людей всемогущая рука.
– Ну, мама, все готово. О чем вы?.. – спросила с оживленным лицом Наташа, вбегая в комнату.
– Ни о чем, – сказала графиня. – Готово, так поедем. – И графиня нагнулась к своему ридикюлю, чтобы скрыть расстроенное лицо. Соня обняла Наташу и поцеловала ее.
Наташа вопросительно взглянула на нее.
– Что ты? Что такое случилось?
– Ничего… Нет…
– Очень дурное для меня?.. Что такое? – спрашивала чуткая Наташа.
Соня вздохнула и ничего не ответила. Граф, Петя, m me Schoss, Мавра Кузминишна, Васильич вошли в гостиную, и, затворив двери, все сели и молча, не глядя друг на друга, посидели несколько секунд.
Граф первый встал и, громко вздохнув, стал креститься на образ. Все сделали то же. Потом граф стал обнимать Мавру Кузминишну и Васильича, которые оставались в Москве, и, в то время как они ловили его руку и целовали его в плечо, слегка трепал их по спине, приговаривая что то неясное, ласково успокоительное. Графиня ушла в образную, и Соня нашла ее там на коленях перед разрозненно по стене остававшимися образами. (Самые дорогие по семейным преданиям образа везлись с собою.)
