Уравнение Саха

Ионизационное уравнение Саха или просто уравнение Саха, известное также как уравнение Саха — Ленгмюра, было выведено Эггертом в 1919 году для недр звезд, а в 1920 году применено индийским астрофизиком Мегнадом Саха для фотосферы. Оно позволило объяснить спектральную последовательность звезд (за что и было названо в честь Саха). Независимо Ирвингом Ленгмюром оно было получено в 1923 году. Важнейшее применение это уравнение получило в теории звездных атмосфер и разработке спектральной классификации звёзд. В этом уравнении объединены идеи квантовой и статистической механики.

При повышении температуры газа кинетическая энергия составляющих его атомов становится столь высокой, что при столкновении друг с другом атомы начинают терять электроны, то есть начинается процесс ионизации. Такое состояние вещества в физике называется плазмой. Если газ полностью ионизован, то говорят о полностью ионизованной плазме, если же одни атомы ионизованы, а другие остались нейтральными, то говорят о частично ионизованной плазме. Уравнение Саха описывает степень ионизации такой плазмы как функции температуры, давления и энергии ионизации атомов. Уравнение Саха применимо для равновесной плазмы.

Условия применимости

Уравнение Саха выполняется, если ионизация и рекомбинация проходят по одному и тому же пути, плазма рассматривается как идеальный газ (при не слишком низких и не слишком высоких плотностях), кулоновская энергия мала по сравнению с тепловой.

Определение

Для газа, состоящего из атомов одного сорта уравнение Саха можно записать в виде:

<math>\frac{n_{i+1}n_e}{n_i} = \frac{2}{\Lambda^3}\frac{u_{i+1}}{u_i}\exp\left[-\frac{(\varepsilon_{i+1}-\varepsilon_i)}{k_BT}\right],</math>

где

• <math>n_i</math> — концентрация атомов в <math>i</math>-й степени ионизации; <math>i</math> — число недостающих электронов.
• <math>n_e</math> — концентрация электронов
• <math>\varepsilon_i</math> — энергия, необходимая для удаления <math>i</math> электронов из нейтрального атома, то есть для создания атома <math>i</math>-й степени ионизации.
• <math>u_i</math> — статистическая сумма:

<math>u_i = \sum_n^z g_n(i)e^{\frac{E_n}{k_BT}}</math>

• • <math>g_n(i)</math> — статистический вес уровня <math>n</math> <math>i</math>-кратного иона.
  • <math>T</math> — температура газа
  • <math>k_B</math> — постоянная Больцмана
• <math>\Lambda \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sqrt{\frac{h^2}{2\pi m_ek_BT}}</math> – длина волны де Бройля (eng)
  • <math>m_e</math> — масса электрона
  • <math>h</math> — постоянная Планка

В случае, когда существуют только однократно ионизованные атомы уравнение упрощается: <math>n_1=n_e</math>, тогда полную плотность <math>n</math> можно ввести как <math>n=n_0+n_1</math>. Уравнение Саха можно представить в виде:

<math>\frac{n_e^2}{n-n_e} = \frac{2}{\Lambda^3}\frac{g_1}{g_0}\exp\left[-\frac{\varepsilon}{k_BT}\right]</math>,

где <math>\varepsilon</math> — энергия ионизации.

В астрофизике используется следующая форма для уравнения Саха:

<math>\frac{n^+}{n}P_e = \frac{2u_1}{u_0}\frac{\left(2 \pi m_e\right)^{3/2}}{h^3}\left(k_BT\right)^{5/2}e^{-\frac{\varepsilon}{k_BT}},</math>

где <math>P_e</math> — давление электронов.

Ссылки

• [www.physics.utah.edu/~kieda/SahaEquation.pdf A detailed derivation] from University of Utah Physics Department
• [www.astro.umd.edu/~miller/teaching/astr601/lecture08.ps Lecture notes] from University of Maryland Department of Astronomy
• Saha, Megh Nad; [adsabs.harvard.edu/abs/1921RSPSA..99..135S On a Physical Theory of Stellar Spectra], Proceedings of the Royal Society of London, Series A, Volume 99, Issue 697 (May 1921), pp. 135—153
• Langmuir, Irving; and Kingdon, Kenneth H.; [prola.aps.org/abstract/PR/v22/i2/p148_1 The Removal of Thorium from the Surface of a Thoriated Tungsten Filament by Positive Ion Bombardment], Physical Review, Vol. 22, No. 2 (August 1923), pp. 148—160
• * Д.А. Франк-Каменецкий. Лекции по физике плазмы. — Атомиздат, 1968. — 285 с.

Отрывок, характеризующий Уравнение Саха

– Что ж, землячок, тут положат нас, что ль? Али до Москвы? – сказал он.
Пьер так задумался, что не расслышал вопроса. Он смотрел то на кавалерийский, повстречавшийся теперь с поездом раненых полк, то на ту телегу, у которой он стоял и на которой сидели двое раненых и лежал один, и ему казалось, что тут, в них, заключается разрешение занимавшего его вопроса. Один из сидевших на телеге солдат был, вероятно, ранен в щеку. Вся голова его была обвязана тряпками, и одна щека раздулась с детскую голову. Рот и нос у него были на сторону. Этот солдат глядел на собор и крестился. Другой, молодой мальчик, рекрут, белокурый и белый, как бы совершенно без крови в тонком лице, с остановившейся доброй улыбкой смотрел на Пьера; третий лежал ничком, и лица его не было видно. Кавалеристы песельники проходили над самой телегой.
– Ах запропала… да ежова голова…
– Да на чужой стороне живучи… – выделывали они плясовую солдатскую песню. Как бы вторя им, но в другом роде веселья, перебивались в вышине металлические звуки трезвона. И, еще в другом роде веселья, обливали вершину противоположного откоса жаркие лучи солнца. Но под откосом, у телеги с ранеными, подле запыхавшейся лошаденки, у которой стоял Пьер, было сыро, пасмурно и грустно.
Солдат с распухшей щекой сердито глядел на песельников кавалеристов.
– Ох, щегольки! – проговорил он укоризненно.
– Нынче не то что солдат, а и мужичков видал! Мужичков и тех гонят, – сказал с грустной улыбкой солдат, стоявший за телегой и обращаясь к Пьеру. – Нынче не разбирают… Всем народом навалиться хотят, одью слово – Москва. Один конец сделать хотят. – Несмотря на неясность слов солдата, Пьер понял все то, что он хотел сказать, и одобрительно кивнул головой.
Дорога расчистилась, и Пьер сошел под гору и поехал дальше.
Пьер ехал, оглядываясь по обе стороны дороги, отыскивая знакомые лица и везде встречая только незнакомые военные лица разных родов войск, одинаково с удивлением смотревшие на его белую шляпу и зеленый фрак.
Проехав версты четыре, он встретил первого знакомого и радостно обратился к нему. Знакомый этот был один из начальствующих докторов в армии. Он в бричке ехал навстречу Пьеру, сидя рядом с молодым доктором, и, узнав Пьера, остановил своего казака, сидевшего на козлах вместо кучера.
– Граф! Ваше сиятельство, вы как тут? – спросил доктор.
– Да вот хотелось посмотреть…
– Да, да, будет что посмотреть…
Пьер слез и, остановившись, разговорился с доктором, объясняя ему свое намерение участвовать в сражении.
Доктор посоветовал Безухову прямо обратиться к светлейшему.
– Что же вам бог знает где находиться во время сражения, в безызвестности, – сказал он, переглянувшись с своим молодым товарищем, – а светлейший все таки знает вас и примет милостиво. Так, батюшка, и сделайте, – сказал доктор.
Доктор казался усталым и спешащим.
– Так вы думаете… А я еще хотел спросить вас, где же самая позиция? – сказал Пьер.
– Позиция? – сказал доктор. – Уж это не по моей части. Проедете Татаринову, там что то много копают. Там на курган войдете: оттуда видно, – сказал доктор.
– И видно оттуда?.. Ежели бы вы…
Но доктор перебил его и подвинулся к бричке.
– Я бы вас проводил, да, ей богу, – вот (доктор показал на горло) скачу к корпусному командиру. Ведь у нас как?.. Вы знаете, граф, завтра сражение: на сто тысяч войска малым числом двадцать тысяч раненых считать надо; а у нас ни носилок, ни коек, ни фельдшеров, ни лекарей на шесть тысяч нет. Десять тысяч телег есть, да ведь нужно и другое; как хочешь, так и делай.
Та странная мысль, что из числа тех тысяч людей живых, здоровых, молодых и старых, которые с веселым удивлением смотрели на его шляпу, было, наверное, двадцать тысяч обреченных на раны и смерть (может быть, те самые, которых он видел), – поразила Пьера.
Они, может быть, умрут завтра, зачем они думают о чем нибудь другом, кроме смерти? И ему вдруг по какой то тайной связи мыслей живо представился спуск с Можайской горы, телеги с ранеными, трезвон, косые лучи солнца и песня кавалеристов.