Уравнение Слуцкого

В микроэкономике уравнение Слуцкого — уравнение, смысл которого состоит в том, что изменение спроса на некоторый товар при повышении или снижении его цены складывается из влияния непосредственного изменения спроса и косвенного влияния в результате переключения спроса на другие товары. Данное уравнение показывает, что изменение в спросе на i-й товар при изменении цены j-го товара является результатом двух эффектов: эффекта замещения и эффекта дохода.

Математически уравнение Слуцкого выводится из дифференцирования маршалловского спроса на i-й товар по цене j-го товара с использованием того факта, что маршалловский спрос выражается через компенсированный спрос:

<math>

x_i(p, \bar u) = x_i(p, e(p, \bar u)), </math>

<math>

\frac{\partial x_i(\tilde p, \tilde I)}{\partial p_j} = \frac{\partial x_i(\tilde p, \bar u)}{\partial p_j} + \frac{\partial e(\tilde p, \bar u)}{\partial p_j} \cdot \frac{\partial x_i(\tilde p, \tilde I)}{\partial I} = \frac{\partial x_i(\tilde p, \bar u)}{\partial p_j} - x_j(\tilde p, \tilde I) \cdot \frac{\partial x_i(\tilde p, \tilde I)}{\partial I}, </math> где <math>\tilde p, \tilde I, \bar u</math> — заданные уровни цен, дохода и полезности. Корректность последнего перехода в уравнении Слуцкого объясняется леммой Шепарда.

Первое слагаемое в уравнении Слуцкого показывает реакцию на изменение относительных цен и носит название эффекта замещения; второе слагаемое показывает реакцию на изменение дохода и носит название эффекта дохода.

Матрица Слуцкого

Частные производные <math>s_{ij} = \frac{\partial x_i(p, u)}{\partial p_j} = \frac{\partial x_i(p, I)}{\partial p_j} + x_j(p, I)\cdot\frac{\partial x_i(p, I)}{\partial I}</math> могут быть сведены в матрицу Слуцкого коэффициентов замещения S(p, I), обладающую следующими свойствами:

1. Симметричность: <math>s_{ij} = s_{ji}</math> (следует из леммы Шепарда и теоремы Юнга);
2. Отрицательная полуопределенность;
3. Равенство нулю при умножении на вектор цен: <math>S(p, I)\mathbf{p} = 0</math>.

Матричное представление полезно тем, что свойства матрицы позволяют не вычислять непосредственно все частные производные.

Ссылки

www.math.kemsu.ru/faculty/kmc/book/matekon/Chapter3/par3_7.html

50.economicus.ru/index.php?ch=2&le=16&r=1&z=1

Литература

• Фридман А. А. Лекции по курсу микроэкономики продвинутого уровня. — М.: Издательский дом ГУ ВШЭ, 2007. — С. 71. — ISBN 978-5-7598-0335-5..

Отрывок, характеризующий Уравнение Слуцкого

В октябре 1805 года русские войска занимали села и города эрцгерцогства Австрийского, и еще новые полки приходили из России и, отягощая постоем жителей, располагались у крепости Браунау. В Браунау была главная квартира главнокомандующего Кутузова.
11 го октября 1805 года один из только что пришедших к Браунау пехотных полков, ожидая смотра главнокомандующего, стоял в полумиле от города. Несмотря на нерусскую местность и обстановку (фруктовые сады, каменные ограды, черепичные крыши, горы, видневшиеся вдали), на нерусский народ, c любопытством смотревший на солдат, полк имел точно такой же вид, какой имел всякий русский полк, готовившийся к смотру где нибудь в середине России.
С вечера, на последнем переходе, был получен приказ, что главнокомандующий будет смотреть полк на походе. Хотя слова приказа и показались неясны полковому командиру, и возник вопрос, как разуметь слова приказа: в походной форме или нет? в совете батальонных командиров было решено представить полк в парадной форме на том основании, что всегда лучше перекланяться, чем не докланяться. И солдаты, после тридцативерстного перехода, не смыкали глаз, всю ночь чинились, чистились; адъютанты и ротные рассчитывали, отчисляли; и к утру полк, вместо растянутой беспорядочной толпы, какою он был накануне на последнем переходе, представлял стройную массу 2 000 людей, из которых каждый знал свое место, свое дело и из которых на каждом каждая пуговка и ремешок были на своем месте и блестели чистотой. Не только наружное было исправно, но ежели бы угодно было главнокомандующему заглянуть под мундиры, то на каждом он увидел бы одинаково чистую рубаху и в каждом ранце нашел бы узаконенное число вещей, «шильце и мыльце», как говорят солдаты. Было только одно обстоятельство, насчет которого никто не мог быть спокоен. Это была обувь. Больше чем у половины людей сапоги были разбиты. Но недостаток этот происходил не от вины полкового командира, так как, несмотря на неоднократные требования, ему не был отпущен товар от австрийского ведомства, а полк прошел тысячу верст.
Полковой командир был пожилой, сангвинический, с седеющими бровями и бакенбардами генерал, плотный и широкий больше от груди к спине, чем от одного плеча к другому. На нем был новый, с иголочки, со слежавшимися складками мундир и густые золотые эполеты, которые как будто не книзу, а кверху поднимали его тучные плечи. Полковой командир имел вид человека, счастливо совершающего одно из самых торжественных дел жизни. Он похаживал перед фронтом и, похаживая, подрагивал на каждом шагу, слегка изгибаясь спиною. Видно, было, что полковой командир любуется своим полком, счастлив им, что все его силы душевные заняты только полком; но, несмотря на то, его подрагивающая походка как будто говорила, что, кроме военных интересов, в душе его немалое место занимают и интересы общественного быта и женский пол.