Уравнение Стейнхарта — Харта

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Уравне́ние Сте́йнхарта — Ха́рта — математическая модель, описывающая сопротивление полупроводниковых терморезисторов при различных температурах. Уравнение имеет вид:

<math>{1 \over T} = A + B \ln(R) + C [\ln(R)]^3 + D [\ln(R)]^2 ,</math>
где: <math>T</math> — температура (в Кельвинах);
<math>R</math> — сопротивление при температуре <math>T</math> (в Омах);
<math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>, <math>D</math> — коэффициенты уравнения Стейнхарта — Харта, зависящие от типа и начального сопротивления терморезистора и от диапазона температур, в котором это уравнение даёт хорошую точность.

Членом <math>D [\ln(R)]^2</math> обычно пренебрегают, так как он, как правило, вносит несущественный вклад в результат расчётов по уравнению. Поэтому уравнение обычно записывают так:

<math>{1 \over T} = A + B \ln(R) + C [\ln(R)]^3 .</math>




Применение уравнения

Уравнение позволяет по измеренному сопротивлению терморезистора вычислить его температуру и обратно — по температуре терморезистора вычислить его сопротивление и обеспечивает хорошую точность во всем рабочем диапазона температур, например, терморезистивного термометра.

Коэффициенты входящие в уравнение Стейнхарта — Харта обычно публикуются производителями терморезисторов в справочных данных на конкретные типы терморезисторов.

Обратное уравнение

Для вычисления сопротивления терморезистора при заданной температуре используется обратное уравнение Стейнхарта — Харта:

<math>R = \exp\left(\sqrt[3]{y - {x\over 2}} - \sqrt[3]{y + {x\over 2}}\right),</math>
где
<math>\begin{align}
 x &= \frac{1}{C}\left(A - \frac{1}{T}\right), \\
 y &= \sqrt{\left({B \over 3C}\right)^3 + \left(\frac{x}{2}\right)^2}.

\end{align}</math>

Экспериментальное определение коэффициентов уравнения Стейнхарта — Харта

Если коэффициенты уравнения неизвестны для конкретного терморезистора, то они могут определены экспериментально по трём сопротивлениям терморезистора при трёх разных температурах.

Коэффициенты находятся как решения системы из трёх уравнений:

<math>\begin{bmatrix}
   1 & \ln\left(R_1\right) & \ln^3\left(R_1\right) \\
   1 & \ln\left(R_2\right) & \ln^3\left(R_2\right) \\
   1 & \ln\left(R_3\right) & \ln^3\left(R_3\right)
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
   A \\
   B \\
   C
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
  \frac{1}{T_1} \\
  \frac{1}{T_2} \\
  \frac{1}{T_3}
\end{bmatrix}

</math>

где <math>R_1</math>, <math>R_2</math> и <math>R_3</math> — значения сопротивления при температуре <math>T_1</math>, <math>T_2</math> и <math>T_3</math> соответственно.

Подстановки и решение системы:

<math>\begin{align}
           L_1 &= \ln\left(R_1\right),\; L_2 = \ln\left(R_2\right),\; L_3 = \ln\left(R_3\right) \\
           Y_1 &= \frac{1}{T_1},\; Y_2 = \frac{1}{T_2},\; Y_3 = \frac{1}{T_3} \\
      \gamma_2 &= \frac{Y_2 - Y_1}{L_2 - L_1},\; \gamma_3 = \frac{Y_3 - Y_1}{L_3 - L_1} \\
 \Rightarrow C &= \left( \frac{ \gamma_3 - \gamma_2 }{ L_3 - L_2} \right) \left(L_1 + L_2 + L_3\right)^{-1} \\
 \Rightarrow B &= \gamma_2 - C \left(L_1^2 + L_1 L_2 + L_2^2\right) \\
 \Rightarrow A &= Y_1 - \left(B + L_1^2 C\right) L_1

\end{align}</math>

Авторы уравнения

Уравнение названо в честь Джона Стейнхарта и Стэнли Харта, впервые опубликовавшего его в 1968 г.[1]

Профессор Стейнхарт (1929—2003), член Американского Геофизического Союза и Американской ассоциации содействующей развитию науки, был членом факультета Висконсинского университета в Мадисоне с 1969 по 1991 гг.[2]

Доктор Харт, старший научный сотрудник в Woods Hole Oceanographic Institution с 1989 и член Геологического сообщества Америки, Американского Геофизического Союза, геохимического сообщества и европейской ассоциации геохимии[3], работал с профессором Стейнхартом в институте Карнеги в Вашингтоне, где было найдено это уравнение.

References

  1. John S. Steinhart, Stanley R. Hart, Calibration curves for thermistors, Deep Sea Research and Oceanographic Abstracts, Volume 15, Issue 4, August 1968, Pages 497—503, ISSN 0011-7471, DOI:10.1016/0011-7471(68)90057-0.
  2. [www.secfac.wisc.edu/senate/2004/0405/1775(mem_res).pdf Memorial resolution of the faculty of the University of Wisconsin-Madison on the death of professor emeritus John S. Steinhart]. University of Wisconsin (5 April 2004). Проверено 2 июля 2015.
  3. [www.whoi.edu/science/GG/people/shart/index.htm Dr. Stan Hart,]. Woods Hole Oceanographic Institution. Проверено 2 июля 2015.

Напишите отзыв о статье "Уравнение Стейнхарта — Харта"

Ссылки

  • [www.daycounter.com/Calculators/Steinhart-Hart-Thermistor-Calculator.phtml Калькулятор уравнения Стейнхарта —Харта] (англ.)


Отрывок, характеризующий Уравнение Стейнхарта — Харта

Ростов взял письмо и, бросив на диван деньги, облокотился обеими руками на стол и стал читать. Он прочел несколько строк и злобно взглянул на Берга. Встретив его взгляд, Ростов закрыл лицо письмом.
– Однако денег вам порядочно прислали, – сказал Берг, глядя на тяжелый, вдавившийся в диван кошелек. – Вот мы так и жалованьем, граф, пробиваемся. Я вам скажу про себя…
– Вот что, Берг милый мой, – сказал Ростов, – когда вы получите из дома письмо и встретитесь с своим человеком, у которого вам захочется расспросить про всё, и я буду тут, я сейчас уйду, чтоб не мешать вам. Послушайте, уйдите, пожалуйста, куда нибудь, куда нибудь… к чорту! – крикнул он и тотчас же, схватив его за плечо и ласково глядя в его лицо, видимо, стараясь смягчить грубость своих слов, прибавил: – вы знаете, не сердитесь; милый, голубчик, я от души говорю, как нашему старому знакомому.
– Ах, помилуйте, граф, я очень понимаю, – сказал Берг, вставая и говоря в себя горловым голосом.
– Вы к хозяевам пойдите: они вас звали, – прибавил Борис.
Берг надел чистейший, без пятнушка и соринки, сюртучок, взбил перед зеркалом височки кверху, как носил Александр Павлович, и, убедившись по взгляду Ростова, что его сюртучок был замечен, с приятной улыбкой вышел из комнаты.
– Ах, какая я скотина, однако! – проговорил Ростов, читая письмо.
– А что?
– Ах, какая я свинья, однако, что я ни разу не писал и так напугал их. Ах, какая я свинья, – повторил он, вдруг покраснев. – Что же, пошли за вином Гаврилу! Ну, ладно, хватим! – сказал он…
В письмах родных было вложено еще рекомендательное письмо к князю Багратиону, которое, по совету Анны Михайловны, через знакомых достала старая графиня и посылала сыну, прося его снести по назначению и им воспользоваться.
– Вот глупости! Очень мне нужно, – сказал Ростов, бросая письмо под стол.
– Зачем ты это бросил? – спросил Борис.
– Письмо какое то рекомендательное, чорта ли мне в письме!
– Как чорта ли в письме? – поднимая и читая надпись, сказал Борис. – Письмо это очень нужное для тебя.
– Мне ничего не нужно, и я в адъютанты ни к кому не пойду.
– Отчего же? – спросил Борис.
– Лакейская должность!
– Ты всё такой же мечтатель, я вижу, – покачивая головой, сказал Борис.
– А ты всё такой же дипломат. Ну, да не в том дело… Ну, ты что? – спросил Ростов.
– Да вот, как видишь. До сих пор всё хорошо; но признаюсь, желал бы я очень попасть в адъютанты, а не оставаться во фронте.
– Зачем?
– Затем, что, уже раз пойдя по карьере военной службы, надо стараться делать, коль возможно, блестящую карьеру.
– Да, вот как! – сказал Ростов, видимо думая о другом.
Он пристально и вопросительно смотрел в глаза своему другу, видимо тщетно отыскивая разрешение какого то вопроса.
Старик Гаврило принес вино.
– Не послать ли теперь за Альфонс Карлычем? – сказал Борис. – Он выпьет с тобою, а я не могу.
– Пошли, пошли! Ну, что эта немчура? – сказал Ростов с презрительной улыбкой.
– Он очень, очень хороший, честный и приятный человек, – сказал Борис.
Ростов пристально еще раз посмотрел в глаза Борису и вздохнул. Берг вернулся, и за бутылкой вина разговор между тремя офицерами оживился. Гвардейцы рассказывали Ростову о своем походе, о том, как их чествовали в России, Польше и за границей. Рассказывали о словах и поступках их командира, великого князя, анекдоты о его доброте и вспыльчивости. Берг, как и обыкновенно, молчал, когда дело касалось не лично его, но по случаю анекдотов о вспыльчивости великого князя с наслаждением рассказал, как в Галиции ему удалось говорить с великим князем, когда он объезжал полки и гневался за неправильность движения. С приятной улыбкой на лице он рассказал, как великий князь, очень разгневанный, подъехав к нему, закричал: «Арнауты!» (Арнауты – была любимая поговорка цесаревича, когда он был в гневе) и потребовал ротного командира.