Уравнение Фишера (математика)

Поделись знанием:
(перенаправлено с «Уравнение Фишера—КПП»)
Перейти к: навигация, поиск

Уравнение Фишера (англ. Fisher's equation, также известно как уравнение Колмогорова-Петровского-Пискунова, уравнение КПП или уравнение Фишера-КПП) — нелинейное уравнение в частных производных второго порядка:

<math> \frac{\partial w}{\partial t}=\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}+aw(1-w).</math>




История

Уравнение названо в честь статистика и биолога Рональда Эйлмера Фишера, предложившего его в 1937 году в контексте популяционной динамики для описания пространственного распределения выгодных аллелей и нашедшего его решение в виде бегущей волны.[1]

Применение

Уравнение Фишера встречается в задачах тепло- и массообмена, теории горения, биологии и экологии, в физике плазмы и задачах теории фазовых переходов. Оно описывает, например, массоперенос в двухкомпонентной неподвижной смеси при наличии объемной химической реакции квазипервого порядка. Кинетическая функция <math>f(w)=aw(1-w)</math> моделирует также автокаталитическое цепное превращение в теории горения.[2]

Решения

Для скорости волны <math>c\ge 2\sqrt a</math> уравнение допускает решения в виде бегущей волны <math> w(x,t)=w(x\pm ct)=w(z)</math>, причем <math>\lim_{z\rightarrow -\infty}=0,\lim_{z\rightarrow +\infty}=1</math>. Форма решений уникальна для каждой длины волны. Для <math>c< 2\sqrt a</math> таких решений не существует.[1]

В случае скорости <math>c=\pm\frac{5}{\sqrt 6}</math> могут быть получены следующие точные решения:

<math> w(z)=\left[\pm 1+C\exp (\mp\frac{z}{\sqrt 6}) \right ]^{-2}, </math>
<math> w(z)=\frac{1+2C\exp (\mp\frac{z}{\sqrt 6})}{\left[1+C\exp (\mp\frac{z}{\sqrt 6}) \right ]^2}, </math>

где <math>C</math> — произвольная постоянная.[2]

Напишите отзыв о статье "Уравнение Фишера (математика)"

Примечания

  1. 1 2 R. A. Fisher. [digital.library.adelaide.edu.au/dspace/handle/2440/15125 The wave of advance of advantageous genes], Ann. Eugenics 7:353–369, 1937
  2. 1 2 * Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — С. 11. — 432 с.

Отрывок, характеризующий Уравнение Фишера (математика)

– Да, – прошептала Наташа.
– О чем же ты плачешь? Я счастлива за тебя, – сказала княжна Марья, за эти слезы простив уже совершенно радость Наташи.
– Это будет не скоро, когда нибудь. Ты подумай, какое счастие, когда я буду его женой, а ты выйдешь за Nicolas.
– Наташа, я тебя просила не говорить об этом. Будем говорить о тебе.
Они помолчали.
– Только для чего же в Петербург! – вдруг сказала Наташа, и сама же поспешно ответила себе: – Нет, нет, это так надо… Да, Мари? Так надо…


Прошло семь лет после 12 го года. Взволнованное историческое море Европы улеглось в свои берега. Оно казалось затихшим; но таинственные силы, двигающие человечество (таинственные потому, что законы, определяющие их движение, неизвестны нам), продолжали свое действие.
Несмотря на то, что поверхность исторического моря казалась неподвижною, так же непрерывно, как движение времени, двигалось человечество. Слагались, разлагались различные группы людских сцеплений; подготовлялись причины образования и разложения государств, перемещений народов.
Историческое море, не как прежде, направлялось порывами от одного берега к другому: оно бурлило в глубине. Исторические лица, не как прежде, носились волнами от одного берега к другому; теперь они, казалось, кружились на одном месте. Исторические лица, прежде во главе войск отражавшие приказаниями войн, походов, сражений движение масс, теперь отражали бурлившее движение политическими и дипломатическими соображениями, законами, трактатами…
Эту деятельность исторических лиц историки называют реакцией.
Описывая деятельность этих исторических лиц, бывших, по их мнению, причиною того, что они называют реакцией, историки строго осуждают их. Все известные люди того времени, от Александра и Наполеона до m me Stael, Фотия, Шеллинга, Фихте, Шатобриана и проч., проходят перед их строгим судом и оправдываются или осуждаются, смотря по тому, содействовали ли они прогрессу или реакции.
В России, по их описанию, в этот период времени тоже происходила реакция, и главным виновником этой реакции был Александр I – тот самый Александр I, который, по их же описаниям, был главным виновником либеральных начинаний своего царствования и спасения России.