Уравнение Фоккера — Планка

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Уравнение Фоккера — Планка  — одно из дифференциальных уравнений в частных производных, описывает временну́ю эволюцию функции плотности вероятности координат и импульса частиц в процессах, где важна стохастическая природа явления. Названо в честь нидерландского и немецкого физиков Адриана Фоккера и Макса Планка, также известно как прямое уравнение Колмогорова. Может быть обобщено на другие измеримые параметры: размер (в теории коалесценции), масса и т. д.





Определение

Впервые уравнение было использовано для статистического описания броуновского движения частиц в воде. Хотя броуновское движение описывается уравнениями Ланжевена, которые могут быть решены численно методом Монте-Карло или методами молекулярной динамики, задачу в такой постановке часто трудно решить аналитически. И, вместо сложных численных схем, можно ввести функцию плотности вероятности <math>W(\mathbf{v},\;t)</math>, описывающую вероятность того, что частица имеет скорость в интервале <math>(\mathbf{v},\;\mathbf{v}+d\mathbf{v})</math>, если в момент времени 0 она имела начальную скорость <math>\mathbf{v}_0</math>, и записать для <math>W(\mathbf{v},\;t)</math> уравнения Фоккера — Планка.

Общая форма уравнения Фоккера — Планка для <math>N</math> переменных:

<math>\frac{\partial W}{\partial t}=\left[-\sum_{i=1}^N\frac{\partial}{\partial x_i}D_i^1(x_1,\;\ldots,\;x_N)+\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N\frac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_j}D_{ij}^2(x_1,\;\ldots,\;x_N)\right]W,</math>

где <math>D^1</math> — вектор сноса и <math>D^2</math> — тензор диффузии, причём диффузия вызвана действием сил стохастической природы.

Связь со стохастическими дифференциальными уравнениями

Уравнение Фоккера — Планка может быть использовано для расчёта плотности вероятности в стохастических дифференциальных уравнениях. Рассмотрим следующее стохастическое дифференциальное уравнение

<math>d\mathbf{X}_t=\boldsymbol{\mu}(\mathbf{X}_t,\;t)\,dt+\boldsymbol{\sigma}(\mathbf{X}_t,\;t)\,d\mathbf{B}_t,</math>

где <math>\mathbf{X}_t\in\R^N</math> — функция состояния системы, а <math>\mathbf{B}_t\in\R^M</math> — стандартное <math>N</math>-мерное броуновское движение. Если начальное распределение задано как <math>\mathbf{X}_0\sim W(\mathbf{x},\;0)</math>, то плотность вероятности <math>W(\mathbf{x},\;t)</math> состояния системы <math>\mathbf{X}_t</math> является решением уравнения Фоккера — Планка со следующими выражениями для сноса и диффузии соответственно:

<math>D^1_i(\mathbf{x},\;t)=\mu_i(\mathbf{x},\;t),</math>
<math>D^2_{ij}(\mathbf{x},\;t)=\frac{1}{2}\sum_k\sigma_{ik}(\mathbf{x},\;t)\sigma_{jk}(\mathbf{x},\;t).</math>

Пример

Стандартное скалярное уравнение броуновского движения генерируется следующим стохастическим дифференциальным уравнением:

<math>\mathrm{d}X_t=\mathrm{d}B_t.\ </math>

Здесь скорость сноса равна нулю и коэффициент диффузии равен 1/2, следовательно, соответствующее уравнение Фоккера — Планка выглядит так:

<math>\frac{\partial W(x,\;t)}{\partial t}=\frac{1}{2}\frac{\partial^2 W(x,\;t)}{\partial x^2},</math>

это простейшая форма одномерного уравнения диффузии (теплопереноса).

Уравнение Фоккера — Планка в одномерном случае

В одномерном случае УФП приобретает вид:

<math>\frac{\partial f}{\partial t}=-\frac{\partial}{\partial x}(A(x,\;t)f(x,\;t))+\frac{\partial^2}{2\partial x^2}(B(x,\;t)f(x,\;t)).</math>

УФП справедливо для условной плотности вероятности:

<math>f(x,\;t)=p(x,\;t|x_0,\;t_0),</math> (то есть значение функции <math>f(x,\;t)</math> вероятностно попадает в плоскость, образованную пространственной осью <math>x\ </math> и временно́й осью <math>t\ </math>, в интервалы <math>x-x_0\ </math> и <math>t-t_0\ </math> соответственно) при любом начальном значении <math>x_0\ </math> и <math>t_0\ </math> и начальном условии <math>p(x,\;t_0|x_0,\;t_0)=\delta(x-x_0)</math>, где <math>\delta(x-x_0)\ </math> — функция Дирака.

Это условие гласит, что в один и тот же момент времени <math>t_0\ </math> функция претерпевает скачок. Если пространственные координаты равны, то функция устремляется в бесконечность. Поэтому, в силу ограниченности функции, необходимо использовать определение единовременной плотности вероятности <math>p(x,\;t)=\int p(x,\;t;\;x_0,\;t_0)\,dx_0=\int p(x,\;t|x_0,\;t_0)p(x_0,t_0)\,dx_0.</math> Тогда, УФП справедливо для вероятности <math>p(x,\;t)</math> с начальным условием <math>p(x,\;t)|_{t=t_0}=p(x,\;t_0)</math>, которое менее сингулярно, чем <math>p(x,\;t_0|x_0,\;t_0)=\delta(x-x_0)</math>. Стохастический процесс, описываемый условной вероятностью, удовлетворяющий УФП, эквивалентен СДУ Ито

<math>dx(t)=A(x(t),\;t)\,dt+\sqrt{B(x(t),\;t)}\,dW(t)</math>

и что эти два описания должны рассматриваться как взаимно дополняющие друг друга.

Вывод

Первый согласованный вывод уравнения Фоккера — Планка на основе точной микроскопической динамики для классических и квантовых систем выполнен[1] Н. Н. Боголюбовым и Н. М. Крыловым[2] (переиздано в[3]).

См. также

Напишите отзыв о статье "Уравнение Фоккера — Планка"

Примечания

  1. Боголюбов Н. Н. (мл.), Санкович Д. П. (1993). [www1.jinr.ru/Archive/Pepan/1993-v24/v-24-5/pdf_obzory/v24p5_1.pdf Николай Николаевич Боголюбов. Очерк научной деятельности] // Физика элементарных частиц и атомного ядра 24(5): 1224—1293.
  2. Боголюбов Н. Н., Крылов Н. М. (1939). Об уравнениях Фоккера — Планка, которые выводятся в теории возмущений методом, основанным на спектральных свойствах возмущённого гамильтониана // Записки кафедры математической физики Института нелинейной механики АН УССР. 4: 5—80  (укр.).
  3. Боголюбов Н. Н. Собрание научных трудов в 12 томах. — Том 5: Неравновесная статистическая механика, 1939—1980. — М.: Наука, 2006. — ISBN 5-02-034142-8.

Литература

  • Risken H. The Fokker — Planck Equation: Methods of Solutions and Applications. — 2nd ed. — Springer, 1984. — 452 p. — ISBN 3-540-61530-X.
  • Лифшиц, Е. М., Питаевский, Л. П. Физическая кинетика. — М.: Наука, 1979. — 528 с. — («Теоретическая физика», том X). — 50 000 экз.