Уравнение Фридмана
| Космология |
 |
| Изучаемые объекты и процессы |
| История Вселенной |
| Наблюдаемые процессы |
| Теоретические изыскания |
Уравнение Фридмана в космологии — уравнение, описывающее развитие во времени однородной и изотропной вселенной (вселенной Фридмана) в рамках общей теории относительности. Названо по имени Александра Фридмана, который первым вывел это уравнение в 1922 году[1].
Уравнение Фридмана
Уравнение Фридмана записывается для метрики Фридмана — синхронной метрики однородного изотропного пространства (пространства постоянной кривизны)[2],
- <math>
ds^2 = c^2 dt^2 - a(t)^2 dl^2 \,, </math> где <math>dl^2</math> — элемент длины в пространстве постоянной кривизны, <math>a(t)</math> — масштаб (“размер”) вселенной.
Пространство постоянной кривизны может быть трёх видов — сфера (закрытое), псевдосфера (открытое), и плоское пространство.
Сферические координаты
Закрытая (конечная) вселенная с положительной кривизной пространства
Для закрытой вселенной метрика Фридмана равна
- <math>
ds^{2} = a(\eta)^{2}\left(d\eta^{2} - d\chi^{2} -\sin^{2}\chi (d\theta^{2} +\sin^{2}\theta d\phi^{2})\right) \,, </math> где <math>r=a\cdot\sin\chi</math> — фотометрическое расстояние, <math>\chi\in[0,\pi]</math>; <math>\theta,\,\phi</math> – сферические углы; <math>\eta</math> – масштабированное время, <math>ad\eta=dt</math>.
Компоненты тензора Риччи для этой метрики равны
- <math>
R^{\chi}_{\chi} = R^{\theta}_{\theta} = R^{\phi}_{\phi} = -\frac{1}{a^{4}}(2a^{2}+a'^{2}+aa)\;, </math>
- <math>
R^{\eta}_{\eta} = \frac{3}{a^{4}}(a'^{2}-aa)\;, </math>
- <math>
R = -\frac{6}{a^{3}}(a+a)\;, </math> где штрих означает дифференцирование по <math>\eta</math>.
Для идеальной жидкости тензор энергии-импульса равен
- <math>
T_{ab}=(\epsilon + p)u_{a}u_{b} - pg_{ab} </math> где <math>\epsilon</math> плотность энергии, <math>p</math>—давление. В синхронных координатах материя находится в состоянии покоя, поэтому 4-скорость равна <math>u^a=\{\frac{1}{a(t)},0,0,0\}</math>.
Временная компонента уравнения Эйнштейна,
- <math>
R^{\eta}_{\eta}-\frac{1}{2}R = \kappa{}T^{\eta}_{\eta} \,, </math> с указанным тензором Риччи и тензором энергии-импульса и является уравнением Фридмана,
- <math>
\frac{3}{a^{4}}(a^{2}+a'^{2}) = \kappa\epsilon \,. </math>
Если связь плотности энергии <math>\epsilon</math> и давления <math>p</math> (уравнение состояния) известна, то можно найти зависимость плотности энергии от масштаба вселенной <math>a</math>, используя уравнение сохранения энергии
- <math>
d\epsilon=-(\epsilon + p)\frac{3da}{a}\,. </math> В этом случае можно выразить решение уравнения Фридмана в виде интеграла,
- <math>
\eta = \pm \int \frac{da}{a\sqrt{\frac{1}{3}\kappa\epsilon a^2-1}}\,. </math>
Открытая (бесконечная) вселенная с отрицательной кривизной пространства
Для открытой вселенной метрика Фридмана равна
- <math>
ds^{2} = a(\eta)^{2}\left(d\eta^{2} - d\chi^{2} -\sinh^{2}\chi (d\theta^{2} +\sin^{2}\theta d\phi^{2})\right) \,, </math> где <math>r=a\cdot\sinh\chi</math>, <math>\chi\in[0,\infty]</math>; <math>\theta,\,\phi</math> – сферические углы; <math>\eta</math> – масштабированное время, <math>ad\eta=dt</math>.
Очевидно, эта метрика получается из метрики закрытой вселенной подстановкой <math>\{a,\eta,\chi\}\to\{ia,i\eta,i\chi\}</math>.
Соответственно уравнение Фридмана для открытой вселенной есть
- <math>
\frac{3}{a^{4}}(-a^{2}+a'^{2}) = \kappa\epsilon \,. </math>
Открытая (бесконечная) и плоская вселенная
Для плоской вселенной метрика Фридмана равна
- <math>
ds^{2} = a(\eta)^{2}\left(d\eta^{2} - d\chi^{2} - \chi^{2} (d\theta^{2} +\sin^{2}\theta d\phi^{2})\right) \,, </math> где <math>r=a\chi</math>, <math>\chi\in[0,\infty]</math>; <math>\theta,\,\phi</math> – сферические углы; <math>\eta</math> – масштабированное время, <math>ad\eta=dt</math>.
Очевидно, эта метрика формально получается из метрики закрытой вселенной в пределе <math>r \ll a \to \infty</math>.
Замечая, что <math>a'/a^2=\dot a/a</math>, где <math>\dot a \equiv da/dt</math>, уравнение Фридмана для плоской вселенной получается в указанном пределе как
- <math>
3\frac{{\dot a}^2}{a^{2}} = \kappa\epsilon \,. </math>
Приведённые радиальные координаты
В этих координатах метрика пространства с постоянной кривизной равна
- <math>dl^2 = \frac{dr^2}{1-k r^2} + r^2 d\Omega^2,</math>
где <math>\theta, \phi</math> — сферические угловые координаты;
- <math>r</math> — приведённая радиальная координата, определяемая следующим образом: длина окружности радиуса <math>r</math> с центром в начале координат равна <math>2\pi r;</math>
- <math>k</math> — константа, принимающей значение 0 для плоского пространства, +1 для пространства с постоянной положительной кривизной, −1 для пространства с постоянной отрицательной кривизной;
- <math>d\Omega^2 = d\theta^2 + \sin^2 \theta d\phi^2 .</math>
Решения уравнения Фридмана
Уравнение Фридмана может быть проинтегрировано аналитически для двух важных предельных случаев — вселенной, заполненной пылью, и вселенной, заполненной излучением.
Напишите отзыв о статье "Уравнение Фридмана"
Примечания
- ↑ Friedman, A (1922). «Über die Krümmung des Raumes» (de). Z. Phys. 10 (1): 377–386. DOI:10.1007/BF01332580. . (English translation: Friedman, A (1999). «On the Curvature of Space». General Relativity and Gravitation 31 (12): 1991–2000. DOI:10.1023/A:1026751225741. .). The original Russian manuscript of this paper is preserved in the [ilorentz.org/history/Friedmann_archive Ehrenfest archive].
- ↑ Gerard 't Hooft, Introduction to General Relativity, ISBN 978-1589490000, ISBN 1589490002
Отрывок, характеризующий Уравнение Фридмана
«Но всякий раз, когда были завоевания, были завоеватели; всякий раз, когда делались перевороты в государстве, были великие люди», – говорит история. Действительно, всякий раз, когда являлись завоеватели, были и войны, отвечает ум человеческий, но это не доказывает, чтобы завоеватели были причинами войн и чтобы возможно было найти законы войны в личной деятельности одного человека. Всякий раз, когда я, глядя на свои часы, вижу, что стрелка подошла к десяти, я слышу, что в соседней церкви начинается благовест, но из того, что всякий раз, что стрелка приходит на десять часов тогда, как начинается благовест, я не имею права заключить, что положение стрелки есть причина движения колоколов.Всякий раз, как я вижу движение паровоза, я слышу звук свиста, вижу открытие клапана и движение колес; но из этого я не имею права заключить, что свист и движение колес суть причины движения паровоза.
Крестьяне говорят, что поздней весной дует холодный ветер, потому что почка дуба развертывается, и действительно, всякую весну дует холодный ветер, когда развертывается дуб. Но хотя причина дующего при развертыванье дуба холодного ветра мне неизвестна, я не могу согласиться с крестьянами в том, что причина холодного ветра есть раэвертыванье почки дуба, потому только, что сила ветра находится вне влияний почки. Я вижу только совпадение тех условий, которые бывают во всяком жизненном явлении, и вижу, что, сколько бы и как бы подробно я ни наблюдал стрелку часов, клапан и колеса паровоза и почку дуба, я не узнаю причину благовеста, движения паровоза и весеннего ветра. Для этого я должен изменить совершенно свою точку наблюдения и изучать законы движения пара, колокола и ветра. То же должна сделать история. И попытки этого уже были сделаны.
Для изучения законов истории мы должны изменить совершенно предмет наблюдения, оставить в покое царей, министров и генералов, а изучать однородные, бесконечно малые элементы, которые руководят массами. Никто не может сказать, насколько дано человеку достигнуть этим путем понимания законов истории; но очевидно, что на этом пути только лежит возможность уловления исторических законов и что на этом пути не положено еще умом человеческим одной миллионной доли тех усилий, которые положены историками на описание деяний различных царей, полководцев и министров и на изложение своих соображений по случаю этих деяний.
Силы двунадесяти языков Европы ворвались в Россию. Русское войско и население отступают, избегая столкновения, до Смоленска и от Смоленска до Бородина. Французское войско с постоянно увеличивающеюся силой стремительности несется к Москве, к цели своего движения. Сила стремительности его, приближаясь к цели, увеличивается подобно увеличению быстроты падающего тела по мере приближения его к земле. Назади тысяча верст голодной, враждебной страны; впереди десятки верст, отделяющие от цели. Это чувствует всякий солдат наполеоновской армии, и нашествие надвигается само собой, по одной силе стремительности.
В русском войске по мере отступления все более и более разгорается дух озлобления против врага: отступая назад, оно сосредоточивается и нарастает. Под Бородиным происходит столкновение. Ни то, ни другое войско не распадаются, но русское войско непосредственно после столкновения отступает так же необходимо, как необходимо откатывается шар, столкнувшись с другим, с большей стремительностью несущимся на него шаром; и так же необходимо (хотя и потерявший всю свою силу в столкновении) стремительно разбежавшийся шар нашествия прокатывается еще некоторое пространство.
Русские отступают за сто двадцать верст – за Москву, французы доходят до Москвы и там останавливаются. В продолжение пяти недель после этого нет ни одного сражения. Французы не двигаются. Подобно смертельно раненному зверю, который, истекая кровью, зализывает свои раны, они пять недель остаются в Москве, ничего не предпринимая, и вдруг, без всякой новой причины, бегут назад: бросаются на Калужскую дорогу (и после победы, так как опять поле сражения осталось за ними под Малоярославцем), не вступая ни в одно серьезное сражение, бегут еще быстрее назад в Смоленск, за Смоленск, за Вильну, за Березину и далее.
В вечер 26 го августа и Кутузов, и вся русская армия были уверены, что Бородинское сражение выиграно. Кутузов так и писал государю. Кутузов приказал готовиться на новый бой, чтобы добить неприятеля не потому, чтобы он хотел кого нибудь обманывать, но потому, что он знал, что враг побежден, так же как знал это каждый из участников сражения.
