Уравнение Швингера — Томонаги

Квантовая механика

<math>\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2} </math>

Принцип неопределённости

Введение Математические основы

Основа Классическая механика · Постоянная Планка · Интерференция · Бра и кет · Гамильтониан · Старая квантовая теория Фундаментальные понятия Квантовое состояние · Квантовая наблюдаемая · Волновая функция · Квантовая суперпозиция · Квантовая запутанность · Смешанное состояние · Измерение · Неопределённость · Принцип Паули · Дуализм · Декогеренция · Теорема Эренфеста · Туннельный эффект Эксперименты Опыт Дэвиссона — Джермера · Опыт Поппера · Опыт Штерна — Герлаха · Опыт Юнга · Проверка неравенств Белла · Фотоэффект · Эффект Комптона Формулировки Представление Шрёдингера · Представление Гейзенберга · Представление взаимодействия · Матричная квантовая механика · Интегралы по траекториям · Диаграммы Фейнмана Уравнения Уравнение Шрёдингера · Уравнение Паули · Уравнение Клейна — Гордона · Уравнение Дирака · Уравнение Швингера — Томонаги · Уравнение фон Неймана · Уравнение Блоха · Уравнение Линдблада · Уравнение Гейзенберга Интерпретации Копенгагенская · Теория скрытых параметров · Многомировая · Теория де Бройля — Бома Развитие теории Квантовая теория поля · Квантовая электродинамика · Теория Глэшоу — Вайнберга — Салама · Квантовая хромодинамика · Стандартная модель · Квантовая гравитация Сложные темы Квантовая теория поля · Квантовая гравитация · Теория всего Известные учёные Планк · Эйнштейн · Шрёдингер · Гейзенберг · Йордан · Бор · Паули · Дирак · Фок · Борн · де Бройль · Ландау · Фейнман · Бом · Эверетт

См. также: Портал:Физика

Уравне́ние Шви́нгера — Томона́ги, в квантовой теории поля, основное уравнение движения, обобщающее уравнение Шрёдингера на релятивистский случай.

Волновая функция в релятивистом случае должна быть задана как функционал пространственноподобных гиперповерхностей <math>\Psi[\sigma]</math>. Уравнение Швингера — Томонаги для волновой функции имеет вид:

<math>i \hbar \frac{\delta \Psi[\sigma]}{\delta \sigma(x)} = \mathcal{H}(x) \Psi[\sigma],</math>

где <math>\mathcal{H}(x)</math> — плотность гамильтониана

<math>H(t)=\int\mathcal{H}(x)d^3\mathbf{x}.</math>

<math>x = (x^0, \mathbf{x})</math> — координата в пространстве Минковского <math>\mathbb{R}^{1,3}</math>. Уравнение Швингера — Томонаги для матрицы плотности, также являющая функционалом пространственноподобных гиперповерхностей, имеет вид:

<math>i \hbar \frac{\delta \rho[\sigma]}{\delta \sigma(x)} = [\mathcal{H}(x), \rho[\sigma]].</math>

Пространственноподобные гиперповерхности <math>\sigma</math> определяются трёхмерным многообразием в <math>\mathbb{R}^{1,3}</math>, которая может быть расширено во всех пространственноподобных направлениях. Данные многообразия определяются тем, что в каждой точке <math>x \in \sigma</math> гиперповерхность имеет единичный нормальный вектор

<math>n_{\mu}(x) n^{\mu}(x)= 1,</math>

являющийся времениподобным

<math>n^{0}(x) \geqslant 1.</math>

Уравнение Швингера — Томонаги является функциональным дифференциальным уравнением. Его можно рассматривать как дифференциальное уравнение в континуальном семействе переменных времени. Для этого необходимо выбрать параметризацию гиперповерхности <math>\sigma</math> координатами <math>\mathbf{x}</math> трёхмерного пространства <math>\mathbb{R}^3</math>, тогда точки <math>x \in \sigma</math> могут быть представлены в виде <math>x = (x^0(\mathbf{x}),\mathbf{x})</math>. Таким образом, каждая точка <math>\mathbf{x} \in \mathbb{R}^3</math> имеет собственную переменную времени <math>x^0 =x^0(\mathbf{x})</math>.

Функциональная производная в уравнении Швингера — Томонаги

Рассмотрим точку <math>x \in \sigma</math> и варьированную гиперповерхность <math>\sigma + \delta \sigma</math>, отличную от <math>\sigma</math> лишь в некоторой окрестности <math>O_x</math> точки <math>x</math>. Через <math>\Omega(x)</math> обозначим объём четырёхмерной области, заключённой между <math>\sigma</math> и <math>\sigma + \delta \sigma</math>. Тогда функциональная производная <math>\frac{\delta}{\delta \sigma(x)}</math> произвольного функционала <math>F[\sigma]</math>, приставляющем собой отображение из множестве гиперповерхностей в вещественные числа, определяется следующим образом

<math>\frac{\delta F[\sigma]}{\delta \sigma(x)} = \underset{\Omega(x) \rightarrow 0}{\lim} \frac{F[\sigma + \delta \sigma] - F[\sigma]}{\Omega(x)}.</math>

Решение уравнения Швингера — Томонаги

Решение уравнения Швингера — Томонаги для матрицы плотности может быть представлено как

<math>\rho(\sigma) = U(\sigma, \sigma_0) \rho(\sigma_0) U^{\dagger}(\sigma, \sigma_0),</math>

где <math>U(\sigma, \sigma_0)</math> — унитарный оператор эволюции, имеющий вид

<math>U(\sigma, \sigma_0) = \mathrm{Texp} \left[ - i \hbar \int_{\sigma_0}^{\sigma} \mathcal{H}(x)d^4x \right],</math>

где <math>\mathrm{Texp}</math> — упорядоченная по времени экспонента. <math>\rho(\sigma_0)</math> — начальная матрица плотности, определённая на начальной гиперповерхности <math>\sigma_0</math> . Аналогично, решение уравнения Швингера — Томонаги для волновой функции может быть представлено как

<math>\Psi(\sigma) = U(\sigma, \sigma_0) \Psi(\sigma_0),</math>

где <math>\Psi(\sigma_0)</math> — начальная волновая функция.

Необходимое условие интегрируемости

Также как дифференциальные уравнения в частных производных требуют для интегрируемости перестановочности этих производных, так и уравнение Швингера — Томонаги для матрицы плотности имеет необходимое условие интегрируемости, требующее перестановочности вариационных производных в произвольных точках каждой фиксированной пространственноподобной гиперповерхности <math>\sigma</math>:

<math>\frac{\delta^2 \rho[\sigma]}{\delta \sigma(x) \delta \sigma(y)} - \frac{\delta^2 \rho[\sigma]}{\delta \sigma(y) \delta \sigma(x)} = 0, \qquad \forall x, y \in \sigma.</math>

Это условие является следствием требования микропричинности для плотности гамильтониана <math>\mathcal{H}(x)</math>. Оно утверждает, что гамильтонианы для различных точек пространственноподобных интервалов

<math>[\mathcal{H}(x), \mathcal{H}(y)] = 0, \qquad (x - y)^2 < 0.</math>

Действительно, с учётом тождества Якоби, имеем:

<math>\frac{\delta^2 \rho[\sigma]}{\delta \sigma(x) \delta \sigma(y)} - \frac{\delta^2 \rho[\sigma]}{\delta \sigma(y) \delta \sigma(x)} = [[\mathcal{H}(x), \mathcal{H}(y)], \rho[\sigma]] = 0, \qquad \forall x, y \in \sigma.</math>

Условие интегрируемости обеспечивает однозначность решения.

Расслоение пространства-времени и уравнение Шрёдингера

Расслоение пространства <math>\mathbb{R}^{1,3}</math> определяется гладким однопараметрическим семейством

<math>\mathcal{F} = \{\sigma(\tau)\}</math>

состоящим из пространноподобных гиперповерхностей <math>\sigma(\tau)</math> с тем свойством, что каждая точка <math>x \in \mathbb{R}^{1,3}</math> принадлежит одной и только одной гиперповерхности <math>\sigma(\tau)</math>:

<math>\forall x \in \mathbb{R}^{1,3} \; \exist ! \tau \in \mathbb{R}: x \in \sigma(\tau).</math>

Обозначим гиперповерхность, соответствующую точке <math>x</math> как <math>\sigma_x</math>. Фиксированное расслоение <math>\mathcal{F}</math> порождает семейство векторов-состояний

<math>|\Psi(\tau) \rangle = \Psi(\sigma(\tau)).</math>

Тогда уравнение Швингера — Томонаги может быть переформулировано в интегральной форме

<math>|\Psi(\tau) \rangle = |\Psi(0) \rangle - i \hbar \int_{\sigma_0}^{\sigma(\tau)} \mathcal{H}(x) \Psi(\sigma_x)d^4 x.</math>

Четырёхмерное интегрирование расширяется на область, окружённую начальной гиперповерхностью <math>\sigma_0 = \sigma(0)</math> и гиперповерхностью <math>\sigma(\tau)</math> семейства, которое всецело лежит в будущем <math>\sigma_0</math>.

Пусть гиперповерхности <math>\sigma(\tau)</math> могут быть определены неявным выражением

<math>\tilde{f}(x, \tau) = 0,</math>

где <math>\tilde{f}(x, \tau)</math> — гладкая скалярная функция. Тогда единичный вектор нормали

<math>n_{\mu}(x) = \frac{1}{\sqrt{\frac{\partial \tilde{f} (x, t)}{\partial x^{\mu}} \frac{\partial \tilde{f} (x, t)}{\partial x_{\mu}}}} \frac{\partial \tilde{f} (x, t)}{\partial x^{\mu}}.</math>

Для удобство нормируем функцию <math>f(x, \tau) = 0</math> определяющую гиперплоскость так, чтобы исключить нормировочный множитель в формуле для нормали

<math>n_{\mu}(x) = \frac{\partial f(x, t)}{\partial x^{\mu}}.</math>

Дифференцируя интегральное уравнение для векторов-состояний

<math>\frac{d}{d \tau} |\Psi(\tau) \rangle = - \frac{i}{\hbar} \int_{\sigma(\tau)} \left|\frac{\partial f}{\partial \tau} \right| \mathcal{H}(x) |\Psi(\tau) \rangle d \sigma(x),</math>

где интегрирование выполняется по гиперповерхности <math>\sigma(\tau) \in \mathcal{F}</math>. Это уравнение является ковариантным обобщением уравнения Шрёдингера. С учётом

<math>\int_{\sigma(\tau)} \left|\frac{\partial f}{\partial \tau} \right| \mathcal{H}(x) d \sigma(x) = \int_{\sigma(\tau)} \left|n_0 \frac{\partial x_0}{\partial \tau} \right| \mathcal{H}(x) d \sigma(x) = H(\tau)</math>

уравнение движения для векторов-состояния примет вид

<math>i \hbar \frac{d}{d \tau} |\Psi(\tau) \rangle = H(\tau)|\Psi(\tau) \rangle.</math>

Историческая справка

Сразу же после появление квантовой механики начали предприниматься попытки построить её релятивистское обобщение. Но на этом пути возникла принципиальная трудность, связанная с тем, что в формализме квантовой механики время играет существенно выделенную роль, отличную от координат. С другой стороны, в теории относительности время и пространственные координаты должны выступать симметрично как компоненты одного 4-вектора.

Чтобы найти релятивистское обобщение уравнения для эволюции состояний, потребовалось понять, что нерелятивистское время играет сразу две роли, которые при релятивистском обобщении расщепляются. С одной стороны, это индивидуальное время события — именно это время должно быть симметрично координатам, с другой — оно служит параметром эволюции, упорядочивающим события в пространственно разнесённых точках. Релятивистским обобщением этой второй функции времени может служить любая совокупность взаимно пространственноподобных точек, такая, что любая времениподобная мировая линия включает одну и только одну точку этой совокупности. Такой совокупностью является пространственноподобная гиперповерхность <math>\sigma</math>.

Уравнение в описанной форме было независимо введено С. Томонагой в 1946 году и Дж. Швингером в 1948 году и послужило основой для построения Лоренц-инвариантной теории возмущений.

Литература

• Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В  Введение в теорию квантованных полей. — 4-е изд., испр. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — 600 с. — ISBN 978-5-93972-774-7.
• Бройер Х.-П., Петруччионе Ф.  Теория открытых квантовых систем / Пер. с англ. под ред. Ю. И. Богданова. — М. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2010. — 824 с. — ISBN 978-5-93972-774-7.
• Прохоров А. М. (ред.). Физическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1992. — Т. 3. — 672 с. — ISBN 5-85270-034-7.

Отрывок, характеризующий Уравнение Швингера — Томонаги

– Но как вы находите всю эту последнюю комедию du sacre de Milan? [миланского помазания?] – сказала Анна Павловна. Et la nouvelle comedie des peuples de Genes et de Lucques, qui viennent presenter leurs voeux a M. Buonaparte assis sur un trone, et exaucant les voeux des nations! Adorable! Non, mais c'est a en devenir folle! On dirait, que le monde entier a perdu la tete. [И вот новая комедия: народы Генуи и Лукки изъявляют свои желания господину Бонапарте. И господин Бонапарте сидит на троне и исполняет желания народов. 0! это восхитительно! Нет, от этого можно с ума сойти. Подумаешь, что весь свет потерял голову.]
Князь Андрей усмехнулся, прямо глядя в лицо Анны Павловны.
– «Dieu me la donne, gare a qui la touche», – сказал он (слова Бонапарте, сказанные при возложении короны). – On dit qu'il a ete tres beau en prononcant ces paroles, [Бог мне дал корону. Беда тому, кто ее тронет. – Говорят, он был очень хорош, произнося эти слова,] – прибавил он и еще раз повторил эти слова по итальянски: «Dio mi la dona, guai a chi la tocca».
– J'espere enfin, – продолжала Анна Павловна, – que ca a ete la goutte d'eau qui fera deborder le verre. Les souverains ne peuvent plus supporter cet homme, qui menace tout. [Надеюсь, что это была, наконец, та капля, которая переполнит стакан. Государи не могут более терпеть этого человека, который угрожает всему.]
– Les souverains? Je ne parle pas de la Russie, – сказал виконт учтиво и безнадежно: – Les souverains, madame! Qu'ont ils fait pour Louis XVII, pour la reine, pour madame Elisabeth? Rien, – продолжал он одушевляясь. – Et croyez moi, ils subissent la punition pour leur trahison de la cause des Bourbons. Les souverains? Ils envoient des ambassadeurs complimenter l'usurpateur. [Государи! Я не говорю о России. Государи! Но что они сделали для Людовика XVII, для королевы, для Елизаветы? Ничего. И, поверьте мне, они несут наказание за свою измену делу Бурбонов. Государи! Они шлют послов приветствовать похитителя престола.]
И он, презрительно вздохнув, опять переменил положение. Князь Ипполит, долго смотревший в лорнет на виконта, вдруг при этих словах повернулся всем телом к маленькой княгине и, попросив у нее иголку, стал показывать ей, рисуя иголкой на столе, герб Конде. Он растолковывал ей этот герб с таким значительным видом, как будто княгиня просила его об этом.
– Baton de gueules, engrele de gueules d'azur – maison Conde, [Фраза, не переводимая буквально, так как состоит из условных геральдических терминов, не вполне точно употребленных. Общий смысл такой : Герб Конде представляет щит с красными и синими узкими зазубренными полосами,] – говорил он.
Княгиня, улыбаясь, слушала.
– Ежели еще год Бонапарте останется на престоле Франции, – продолжал виконт начатый разговор, с видом человека не слушающего других, но в деле, лучше всех ему известном, следящего только за ходом своих мыслей, – то дела пойдут слишком далеко. Интригой, насилием, изгнаниями, казнями общество, я разумею хорошее общество, французское, навсегда будет уничтожено, и тогда…
Он пожал плечами и развел руками. Пьер хотел было сказать что то: разговор интересовал его, но Анна Павловна, караулившая его, перебила.
– Император Александр, – сказала она с грустью, сопутствовавшей всегда ее речам об императорской фамилии, – объявил, что он предоставит самим французам выбрать образ правления. И я думаю, нет сомнения, что вся нация, освободившись от узурпатора, бросится в руки законного короля, – сказала Анна Павловна, стараясь быть любезной с эмигрантом и роялистом.
– Это сомнительно, – сказал князь Андрей. – Monsieur le vicomte [Господин виконт] совершенно справедливо полагает, что дела зашли уже слишком далеко. Я думаю, что трудно будет возвратиться к старому.
– Сколько я слышал, – краснея, опять вмешался в разговор Пьер, – почти всё дворянство перешло уже на сторону Бонапарта.
– Это говорят бонапартисты, – сказал виконт, не глядя на Пьера. – Теперь трудно узнать общественное мнение Франции.
– Bonaparte l'a dit, [Это сказал Бонапарт,] – сказал князь Андрей с усмешкой.
(Видно было, что виконт ему не нравился, и что он, хотя и не смотрел на него, против него обращал свои речи.)
– «Je leur ai montre le chemin de la gloire» – сказал он после недолгого молчания, опять повторяя слова Наполеона: – «ils n'en ont pas voulu; je leur ai ouvert mes antichambres, ils se sont precipites en foule»… Je ne sais pas a quel point il a eu le droit de le dire. [Я показал им путь славы: они не хотели; я открыл им мои передние: они бросились толпой… Не знаю, до какой степени имел он право так говорить.]
– Aucun, [Никакого,] – возразил виконт. – После убийства герцога даже самые пристрастные люди перестали видеть в нем героя. Si meme ca a ete un heros pour certaines gens, – сказал виконт, обращаясь к Анне Павловне, – depuis l'assassinat du duc il y a un Marietyr de plus dans le ciel, un heros de moins sur la terre. [Если он и был героем для некоторых людей, то после убиения герцога одним мучеником стало больше на небесах и одним героем меньше на земле.]
Не успели еще Анна Павловна и другие улыбкой оценить этих слов виконта, как Пьер опять ворвался в разговор, и Анна Павловна, хотя и предчувствовавшая, что он скажет что нибудь неприличное, уже не могла остановить его.
– Казнь герцога Энгиенского, – сказал мсье Пьер, – была государственная необходимость; и я именно вижу величие души в том, что Наполеон не побоялся принять на себя одного ответственность в этом поступке.
– Dieul mon Dieu! [Боже! мой Боже!] – страшным шопотом проговорила Анна Павловна.
– Comment, M. Pierre, vous trouvez que l'assassinat est grandeur d'ame, [Как, мсье Пьер, вы видите в убийстве величие души,] – сказала маленькая княгиня, улыбаясь и придвигая к себе работу.
– Ah! Oh! – сказали разные голоса.
– Capital! [Превосходно!] – по английски сказал князь Ипполит и принялся бить себя ладонью по коленке.
Виконт только пожал плечами. Пьер торжественно посмотрел поверх очков на слушателей.
– Я потому так говорю, – продолжал он с отчаянностью, – что Бурбоны бежали от революции, предоставив народ анархии; а один Наполеон умел понять революцию, победить ее, и потому для общего блага он не мог остановиться перед жизнью одного человека.
– Не хотите ли перейти к тому столу? – сказала Анна Павловна.
Но Пьер, не отвечая, продолжал свою речь.
– Нет, – говорил он, все более и более одушевляясь, – Наполеон велик, потому что он стал выше революции, подавил ее злоупотребления, удержав всё хорошее – и равенство граждан, и свободу слова и печати – и только потому приобрел власть.
– Да, ежели бы он, взяв власть, не пользуясь ею для убийства, отдал бы ее законному королю, – сказал виконт, – тогда бы я назвал его великим человеком.
– Он бы не мог этого сделать. Народ отдал ему власть только затем, чтоб он избавил его от Бурбонов, и потому, что народ видел в нем великого человека. Революция была великое дело, – продолжал мсье Пьер, выказывая этим отчаянным и вызывающим вводным предложением свою великую молодость и желание всё полнее высказать.
– Революция и цареубийство великое дело?…После этого… да не хотите ли перейти к тому столу? – повторила Анна Павловна.
– Contrat social, [Общественный договор,] – с кроткой улыбкой сказал виконт.
– Я не говорю про цареубийство. Я говорю про идеи.
– Да, идеи грабежа, убийства и цареубийства, – опять перебил иронический голос.
– Это были крайности, разумеется, но не в них всё значение, а значение в правах человека, в эманципации от предрассудков, в равенстве граждан; и все эти идеи Наполеон удержал во всей их силе.
– Свобода и равенство, – презрительно сказал виконт, как будто решившийся, наконец, серьезно доказать этому юноше всю глупость его речей, – всё громкие слова, которые уже давно компрометировались. Кто же не любит свободы и равенства? Еще Спаситель наш проповедывал свободу и равенство. Разве после революции люди стали счастливее? Напротив. Mы хотели свободы, а Бонапарте уничтожил ее.
Князь Андрей с улыбкой посматривал то на Пьера, то на виконта, то на хозяйку. В первую минуту выходки Пьера Анна Павловна ужаснулась, несмотря на свою привычку к свету; но когда она увидела, что, несмотря на произнесенные Пьером святотатственные речи, виконт не выходил из себя, и когда она убедилась, что замять этих речей уже нельзя, она собралась с силами и, присоединившись к виконту, напала на оратора.
– Mais, mon cher m r Pierre, [Но, мой милый Пьер,] – сказала Анна Павловна, – как же вы объясняете великого человека, который мог казнить герцога, наконец, просто человека, без суда и без вины?
– Я бы спросил, – сказал виконт, – как monsieur объясняет 18 брюмера. Разве это не обман? C'est un escamotage, qui ne ressemble nullement a la maniere d'agir d'un grand homme. [Это шулерство, вовсе не похожее на образ действий великого человека.]