Уравнение вихря

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Уравне́ние ви́хря (уравнение эволюции вихря) — дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее эволюцию в пространстве и времени вихря скорости течения жидкости или газа. Под вихрем скорости (завихренностью) понимается ротор скорости <math>{\omega \equiv \operatorname{rot}~v} \equiv \nabla \times v </math>. Уравнение вихря используется в гидродинамике, геофизической гидродинамике, астрофизической гидродинамике, в численном прогнозе погоды.





Уравнение вихря идеальной жидкости

Жидкость (или газ), в которой пренебрежимо малы эффекты, связанные с внутренним трением (вязкостью) и теплообменом, называется «идеальной». Динамика идеальной жидкости подчиняется уравнению Эйлера[1] (1755 год). Если записать это уравнение при отсутствии внешних сил в форме Громеки-Лэмба

<math>\ \frac {\partial v}{\partial t} - [ v \times [ \nabla \times v ]] = - \frac {\nabla p}{\rho} - \nabla \left( \frac {v^2}{2} \right) </math>, (1)

где <math>\ v </math> — вектор скорости, <math>\ p </math> — давление, <math>\ {\rho} </math> — плотность, принять условие несжимаемости <math>\ \rho=\operatorname{const}, (\nabla \cdot v)=0 </math>, и применить к обеим сторонам этого уравнения операцию <math>\ \operatorname{rot} </math>, учитывая известные свойства этого оператора, то мы получим уравнение вихря идеальной несжимаемой жидкости 

  <math>\begin{align}
\frac {\partial  \omega}{\partial t} + ( v \cdot  \nabla)  \omega -  (\omega \cdot \nabla)  v = 0  \end{align}</math>.      (2)

Интегральной форме этого уравнения соответствует теорема Гельмгольца—Кельвина о сохранении циркуляции скорости в баротропной жидкости[2][3]. Уравнение (2) называется «уравнение Гельмгольца».

При безвихревом движение жидкости (называемым также «потенциальным») <math>\ \omega = 0 </math>. Из уравнения (2) следует, что если в начальный момент времени движение безвихревое, то оно таковым и останется в дальнейшем.

Уравнение вихря вязкой несжимаемой жидкости

Если в уравнении (1) учитывать также и силу внутреннего трения (вязкость), то вместо уравнения (2) мы будем иметь 

 <math>\begin{align}
\frac {\partial  \omega}{\partial t} + ( v \cdot  \nabla)  \omega -  (\omega \cdot \nabla)  v = \nu \Delta \omega      \end{align}</math>,      (3)

где <math>\nu</math> — кинематическая вязкость [4].

Уравнение вихря бароклинной невязкой жидкости

Условие отсутствия теплообмена (то есть адиабатичности) течения несжимаемой невязкой жидкости эквивалентно условию постоянства энтропии (то есть изоэнтропичности)[1]. Если отказаться от этого ограничения, то уравнение (2) заменится на более общее 

 <math>\begin{align}
\frac{\partial  \omega}{\partial t} + ( v \cdot  \nabla)  \omega \ -  (\omega \cdot \nabla) v + \omega (\nabla \cdot v) =  \frac{1}{\rho^2} \left[ \nabla \rho \times  \nabla p \right] \end{align}</math>,      (4)

учитывающее эффект бароклинности. Правая часть этого уравнения равна нулю, если <math>\ \nabla \rho \sim \nabla p </math>, то есть, если изопикническая поверхность параллельна изобарической. В противном случае векторное произведение градиента плотности и градиента давления отлично от нуля, что приводит к изменению завихренности из-за влияния бароклинности. Влияние бароклинности на эволюцию вихря установил Вильгельм Бьеркнес[5],[6]. Это уравнение вскрыло важную роль эффектов бароклинности при образовании и развитии вихрей в атмосфере и океане.

Уравнение Фридмана

(Уравнение Фридмана существует также в космологии. См. Уравнение Фридмана).

В общем случае движение ньютоновской жидкости подчиняется уравнениям Навье-Стокса. В отличие от рассмотренной выше формы уравнения Эйлера для несжимаемой жидкости, в нём учтены эффекты сжимаемости и внутреннего трения. Применяя к уравнению Навье-Стокса дифференциальный оператор <math>\ \operatorname{rot} </math>, мы получим уравнение А. А. Фридмана[7][8]. 

 <math>\ \operatorname{helm} \omega =  \frac{1}{\rho^2} \left[ \nabla \rho \times \nabla p \right] +  \left[ \nabla \times \left( \frac{f}{\rho} \right) \right] </math>,     (5)

где <math>\ \operatorname{helm} \omega \equiv \frac {\partial \omega}{\partial t} + ( v \cdot \nabla) \omega - ( \omega \cdot \nabla) v + \omega ( \nabla \cdot v)</math>

— дифференциальный оператор гельмгольциан, <math>\ f</math> — плотность силы молекулярной вязкости.

Гидродинамический смысл гельмгольциана заключается в том, что равенство <math>\ \operatorname{helm} \omega = 0 </math> означает «вмороженность» векторного поля <math>\ \omega </math> в движущуюся жидкость, понимаемую в том смысле, что каждая векторная линия этого поля (т.е. линия, касательная к которой в любой её точке имеет направление вектора <math>\ \omega </math> в этой точке) сохраняется, то есть всё время состоит из одних и тех же жидких частиц, а интенсивность вихревых трубок (стенки которых состоят из вихревых линий), то есть потоки <math>\ \int\limits_\sigma ( \omega \cdot d \sigma) </math> вектора <math>\ \omega </math> через любые сечения <math>\ \sigma </math> этих трубок, не меняются со временем[9].

Влияние силы тяжести не меняет вид уравнений (2) — (5) потому, что эта сила потенциальна.

Уравнение Фридмана — основное уравнение геофизической гидродинамики. На нём построена теория численного прогноза погоды.

Уравнение вихря турбулентной жидкости

Уравнение Фридмана применяется и к турбулентным течениям. Но в таком случае, все входящие в него величины должны пониматься как осреднённые (в смысле О. Рейнольдса). Однако, следует иметь в виду, что такое обобщение здесь недостаточно точно. Дело в том, что при выводе уравнения (5) не принимался во внимание (из-за относительной малости) вектор плотности турбулентного импульса <math>\ S= \overline{\rho^'v^'}</math>, где черта сверху — знак осреднения, штрих — отклонения от среднего. Это обстоятельство проявилось в том, что уравнение Фридмана оказалось неспособным в объяснении явления цикла индекса (васцилляции), в котором наблюдается обратимый баротропный обмен энергией и угловым моментом между упорядоченным и турбулентным движениями.

Обозначим через <math>\ c= S / \rho </math> — «вектор скорости турбулентного переноса». Конечно, <math>\ \left | c \right | \ll \left | v \right | </math>, тем не менее, пренебрежение турбулентным переносом в задачах геофизической и астрофизической гидродинамики приводит к потере эффектов, проявляющих себя в медленных но мощных процессах. Уравнение эволюции вихря, свободное от такого ограничения предложил А. М. Кригель[10][11] 

 <math>\ \operatorname{helm} \psi =   \nabla \times \left[ c \times \omega  +  c \left( \nabla \cdot c \right) + F \right] +  \frac{1}{\rho^2} \left[ \nabla \rho \times \left(  \nabla  p - \rho \nabla c^2  \right) \right]  </math>,      (6)

где <math>\ \psi \equiv \nabla \times \left ( v + c \right ) </math> — «псевдовектор полного вихря скорости», <math>\ \rho F </math> — плотность полной силы трения (молекулярного и турбулентного). Если опустить в этом уравнении эффекты бароклинности и вязкости, то правая часть остается, вообще говоря, отличной от нуля. В таком случае, как легко показать, теорема о сохранении циркуляции скорости Гельмгольца—Кельвина не выполняется, несмотря на то, что течение баротропно. Этот вывод является следствием непотенциальности «плотности турбулентной силы Кориолиса» <math>\ 2\rho \left[ c \times \omega \right] </math>. В уравнении (6) появился дополнительный механизм, влияющий на эволюцию вихря, открывающий путь к пониманию природы цикла индекса.

Напишите отзыв о статье "Уравнение вихря"

Литература

  1. ↑ 1 2 Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика (Теоретическая физика. Т.VI).—М.: Наука.—1988.—736 с.— ISBN 5-02-013850-9.
  2. ↑ Helmholtz H. Uber integralle der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbewegungen entsprechen // Crelle J.—1858.—55.
  3. ↑ Thomson W. On vortex motion // Trans. Roy. Soc. Edinburgh.—1869.—25.—Pt.1.—pp.217—260.
  4. ↑ Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.:Мир.—1973.—760 с.
  5. ↑ Bjerknes V. On the dynamics of the circular vortex: with applications to the atmosphere and atmospheric vortex and wave motion // Geofysiske publikationer.—1921.—2.—No 4.—88p.
  6. ↑ Bjerknes V., Bjerknes J., Solberg H., Bergeron T. Physicalische hydrodynamik.—Berlin.—1933.
  7. ↑ Фридман А. А. Теория движения сжимаемой жидкости и её приложение к движению атмосферы // Геофизический сборник.—1927.—5.—С.16—56 (Фридман А. А. Избранные труды. М.: Наука.—1966.—С.178—226).
  8. ↑ Фридман А. А. [books.e-heritage.ru/book/10073889 Опыт гидромеханики сжимаемой жидкости]. Л.—М.: ОНТИ.—1934.—370 с.
  9. ↑ Монин А. С. Теоретические основы геофизической гидродинамики.— Л.: Гидрометеоиздат.—1988.— С.17.
  10. ↑ Кригель А. М. О несохранении циркуляции скорости в турбулентной вращающейся жидкости // Письма в Журнал Технической Физики .—1981.—7.—вып.21.—С.1300—1303.
  11. ↑ Krigel A. M. Vortex evolution // Geophys. Astrophys. Fluid Dynamics.—1983.—24.—pp.213—223.