Уравнение Д’Аламбера

Поделись знанием:
(перенаправлено с «Уравнение д’Аламбера»)
Перейти к: навигация, поиск

Уравнение Д’Аламбера — дифференциальное уравнение вида

<math>y=x\varphi(y')+f(y'),</math>

где <math>\varphi</math> и <math>f</math> — функции. Впервые исследовалось Ж. Д’Аламбером (J. D’Alembert, 1748). Известно также под названием уравнения Лагранжа, частный случай при <math> \varphi(y') \equiv y'</math> называется уравнением Клеро[1].





Решение

Интегрирование дифференциальных уравнений такого типа производится в параметрическом виде, с помощью параметра

<math> y' = p.</math>

С учётом этой подстановки, исходное уравнение принимает вид

<math> y = x\varphi(p)+f(p).</math>

Дифференцирование по x даёт:

<math> p = \varphi(p)+\left(x \varphi'(p) + f'(p)\right) \frac{dp}{dx} </math>

или

<math> p - \varphi(p) = \left(x \varphi'(p) + f'(p)\right) \frac{dp}{dx}.</math>

Особые решения

Одним из решений последнего уравнения является любая функция, производная которой является постоянной <math> y' = p = p_0 </math>, удовлетворяющей алгебраическому уравнению

<math> p_0 - \varphi(p_0) = 0,</math>

так как для постоянного <math> p_0 </math>

<math> \frac{dp}{dx} \equiv 0.</math>

Если <math> y' = p_0 </math>, то <math> y = p_0 x + C_0</math>, постоянная C должна быть найдена подстановкой в исходное уравнение:

<math> p_0 x + C_0 = x \varphi(p_0) + f(p_0),</math>

так как в рассматриваемом случае <math> p_0 = \varphi(p_0)</math>, то

<math> C_0 = f(p_0)</math>.

Окончательно можем написать:

<math> y = x \varphi(p_0) + f(p_0) </math>.

Если такое решение нельзя получить из общего, то оно называется особым.

Общее решение

Будем рассматривать обратную функцию к <math> p = y' </math>, тогда, воспользовавшись теоремой о производной обратной функции можно написать:

<math> \frac{dx}{dp} - x \frac{\varphi(p)}{p-\varphi(p)} = \frac{f(p)}{p-\varphi(p)} </math>.

Это уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка, решая которое, получим выражение для x как функцию от p:

<math> x = w(p, C).</math>

Таким образом получается решение исходного дифференциального уравнения в параметрическом виде:

<math> \begin{cases}
 y = x\varphi(p)+f(p)  \\
 x = w(p, C)

\end{cases} </math>.

Исключая из этой системы переменную p, получим общие решение в виде

<math> \Phi(x, y, C) = 0 </math>.


Напишите отзыв о статье "Уравнение Д’Аламбера"

Примечания

  1. Пискунов H. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т. 2.: Учебное пособие для втузов.. — 13-е изд.. — М: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — С. 46-48. — 560 с.
К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)


Отрывок, характеризующий Уравнение Д’Аламбера

– Ils sont arrives, Marieie, [Они приехали, Мари,] вы знаете? – сказала маленькая княгиня, переваливаясь своим животом и тяжело опускаясь на кресло.
Она уже не была в той блузе, в которой сидела поутру, а на ней было одно из лучших ее платьев; голова ее была тщательно убрана, и на лице ее было оживление, не скрывавшее, однако, опустившихся и помертвевших очертаний лица. В том наряде, в котором она бывала обыкновенно в обществах в Петербурге, еще заметнее было, как много она подурнела. На m lle Bourienne тоже появилось уже незаметно какое то усовершенствование наряда, которое придавало ее хорошенькому, свеженькому лицу еще более привлекательности.
– Eh bien, et vous restez comme vous etes, chere princesse? – заговорила она. – On va venir annoncer, que ces messieurs sont au salon; il faudra descendre, et vous ne faites pas un petit brin de toilette! [Ну, а вы остаетесь, в чем были, княжна? Сейчас придут сказать, что они вышли. Надо будет итти вниз, а вы хоть бы чуть чуть принарядились!]
Маленькая княгиня поднялась с кресла, позвонила горничную и поспешно и весело принялась придумывать наряд для княжны Марьи и приводить его в исполнение. Княжна Марья чувствовала себя оскорбленной в чувстве собственного достоинства тем, что приезд обещанного ей жениха волновал ее, и еще более она была оскорблена тем, что обе ее подруги и не предполагали, чтобы это могло быть иначе. Сказать им, как ей совестно было за себя и за них, это значило выдать свое волнение; кроме того отказаться от наряжения, которое предлагали ей, повело бы к продолжительным шуткам и настаиваниям. Она вспыхнула, прекрасные глаза ее потухли, лицо ее покрылось пятнами и с тем некрасивым выражением жертвы, чаще всего останавливающемся на ее лице, она отдалась во власть m lle Bourienne и Лизы. Обе женщины заботились совершенно искренно о том, чтобы сделать ее красивой. Она была так дурна, что ни одной из них не могла притти мысль о соперничестве с нею; поэтому они совершенно искренно, с тем наивным и твердым убеждением женщин, что наряд может сделать лицо красивым, принялись за ее одеванье.
– Нет, право, ma bonne amie, [мой добрый друг,] это платье нехорошо, – говорила Лиза, издалека боком взглядывая на княжну. – Вели подать, у тебя там есть масака. Право! Что ж, ведь это, может быть, судьба жизни решается. А это слишком светло, нехорошо, нет, нехорошо!