Волновое уравнение в математике — линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах (акустика, преимущественно линейная: звук в газах, жидкостях и твёрдых телах) и электромагнетизме (электродинамике). Находит применение и в других областях теоретической физики, например при описании гравитационных волн. Является одним из основных уравнений математической физики
Вид уравнения
В многомерном случае однородное волновое уравнение записывается в виде
<math>\Delta u=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}</math>,
где <math>\Delta</math> — оператор Лапласа, <math>u=u(x,t)</math> — неизвестная функция, <math>t\in \mathbb R</math> — время, <math>x\in \mathbb R^n</math> — пространственная переменная, <math>v</math> — фазовая скорость.
Вывод для трёхмерного случая.
Приведённые выкладки, конечно же, можно обобщить и на многомерные случаи. Итак.
Пусть дано уравнение плоской волны:
- <math> A(\vec{r},t) = A_0 cos \left( \omega t - (\vec{k},\vec{r}) + \varphi_0 \right), </math>
- где
- где
- <math> \vec{r} \left( x,y,z \right) </math> — радиус-вектор точки с координатами <math>x,y</math> и <math>z</math>;
- <math> (\vec{k},\vec{r})</math> — скалярное произведение векторов <math>\vec{k}</math> и <math>\vec{r}</math>. Здесь и далее скалярное произведение будет обозначаться таким образом;
- <math> \varphi_0 </math> — начальная фаза колебаний.
Продифференцируем его по <math> x</math> по <math> y</math> по <math> z </math> и по <math> t . </math> Получим четыре уравнения:
- <math> \left \{ \begin{matrix} \cfrac {\partial^2 A(\vec{r},t)} {\partial t^2} = -\omega^2 A_0 cos \left( \omega t - (\vec{k},\vec{r}) + \varphi_0 \right) = - \omega^2 A(\vec{r},t) \qquad \left( 1 \right) \\ \cfrac {\partial^2 A(\vec{r},t)} {\partial x^2} = - k_x^2 A_0 cos \left( \omega t - (\vec{k},\vec{r}) + \varphi_0 \right) = - k_x^2 A(\vec{r},t) \qquad \left( 2 \right) \\\cfrac {\partial^2 A(\vec{r},t)} {\partial y^2} = -k_y^2 A_0 cos \left( \omega t - (\vec{k},\vec{r}) + \varphi_0 \right) = - k_y^2 A(\vec{r},t) \qquad \left( 3 \right) \\ \cfrac {\partial^2 A(\vec{r},t)} {\partial z^2} = - k_z^2 A_0 cos \left( \omega t - (\vec{k},\vec{r}) + \varphi_0 \right) = -k_z^2 A(\vec{r},t) \qquad \left( 4 \right) \end{matrix} \right. </math>
Сложим <math> \left( 2 \right), \left( 3 \right) </math> и <math> \left( 4 \right): </math>
- <math> \cfrac {\partial^2 A(\vec{r},t)} {\partial x^2} + \cfrac {\partial^2 A(\vec{r},t)} {\partial y^2} + \cfrac {\partial^2 A(\vec{r},t)} {\partial z^2} = -(k_x^2 + k_y^2 + k_z^2)A(\vec{r},t) = - \vec{k}^2 \cdot A(\vec{r},t) </math>
Из полученного уравнения и уравнения <math> \left( 1 \right) , </math> заменив <math> \cfrac {k^2} {\omega^2} = \cfrac {1} {v^2}, </math> получаем, что
- <math> \cfrac {\partial^2 A(\vec{r},t)} {\partial x^2} + \cfrac {\partial^2 A(\vec{r},t)} {\partial y^2} + \cfrac {\partial^2 A(\vec{r},t)} {\partial z^2} = \cfrac {1} {v^2} \cdot \cfrac {\partial^2 A(\vec{r},t)} {\partial t^2} \Leftrightarrow \Delta A(\vec{r},t) = \cfrac {1} {v^2} \cdot \cfrac {\partial^2 A(\vec{r},t)} {\partial t^2} </math>
В одномерном случае уравнение называется также уравнением колебания струны или уравнением продольных колебаний стержня и записывается в виде
<math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}</math>.
Оператор Д’Аламбера
Разность <math>\Delta - \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}</math> называется оператором Д’Аламбера и обозначается как <math>\square</math> (разные источники используют разный знак).
Таким образом, с использованием оператора Д’Аламбера (даламбертиана) однородное волновое уравнение записывается как:
- <math>\square u = 0</math>
Неоднородное уравнение
Допустимо также рассматривать неоднородное волновое уравнение
<math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=v^2\Delta u + f</math>,
где <math>f = f(x,t)</math> — некая заданная функция внешнего воздействия (внешней силы).
Стационарным вариантом волнового уравнения является уравнение Лапласа (уравнение Пуассона в неоднородном случае).
Задача нахождения нормальных колебаний системы, описываемой волновым уравнением, приводит к задаче на собственные значения для уравнения Лапласа, то есть к нахождению решений уравнения Гельмгольца, получающегося подстановкой
<math> u(x,t) = v(x) e^{i\omega t}\ </math> или <math> u(x,t) = v(x)\, \mathop{\rm cos}\,(\omega t)\ </math>.
Решение волнового уравнения
Существует аналитическое решение гиперболического уравнения в частных производных. В евклидовом пространстве произвольной размерности оно называется формулой Кирхгофа. Частные случаи: для колебания струны (<math>\mathbb{R}^1</math>) — формула Д’Аламбера, для колебания мембраны (<math>\mathbb{R}^2</math>) — формула Пуассона.
Решение одномерного волнового уравнения (здесь <math> v = a </math> — фазовая скорость)
- <math>u_{tt}=a^2 u_{xx} + f(x,t)\quad</math> (функция <math>f(x,t)</math> соответствует вынуждающей внешней силе)
с начальными условиями
- <math>u(x,0)=\varphi(x),\quad u_t(x,0)=\psi(x)</math>
имеет вид
- <math>u(x,t)=\frac{\varphi(x+at)+\varphi(x-at)}{2}+\frac{1}{2a}\int\limits^{x+at}_{x-at}{\psi(\alpha)d \alpha}+\frac{1}{2a}\int\limits^t_0\int\limits^{x+a(t-\tau)}_{x-a(t-\tau)} f(s, \tau)ds d\tau</math>
Интересно заметить, что решение однородной задачи
- <math>u_{tt}=a^2 u_{xx}</math>,
имеющее следующий вид
- <math>u(x,t)=\frac{\varphi(x+at)+\varphi(x-at)}{2}+\frac{1}{2a}\int\limits^{x+at}_{x-at}{\psi(\alpha)d \alpha}</math>
может быть представлено в виде
- <math>u(x,t)= f_1(x+at) + f_2(x-at)</math>
где
- <math> f_1(x)= \frac{\varphi(x)}{2} + \frac{1}{2a}\int\limits^{x}_{0}{\psi(\alpha)d \alpha} </math>
- <math> f_2(x)= \frac{\varphi(x)}{2} + \frac{1}{2a}\int\limits^{0}_{x}{\psi(\alpha)d \alpha} </math>
В таком случае говорят, что решение представлено в виде суммы бегущих волн, а функции <math>f_1(x)</math> и <math>f_2(x)</math> — это профили волн, бегущих, соответственно, влево и вправо. В рассматриваемом случае профили волн со временем не изменяются.
В многомерном случае также решение задачи Коши может быть разложено в бегущие волны, однако уже не в сумму, а в интеграл, поскольку направлений становится бесконечно много. Это делается элементарно при помощи преобразования Фурье
Задача на полупрямой
Рассмотрим однородное уравнение колебаний на полупрямой <math>[0; +\infty)</math>
- <math>u_{tt} = a^2 u_{xx} </math>
с закрепленным концом:
- <math>u(0,t) = 0 </math>
и начальными условиями
- <math>u(x,0)=\varphi(x),\qquad u_t(x,0)=\psi(x)</math>
для того, чтобы задача имела решение, необходима согласованность начальных условий и граничного условия, а именно:
- <math>\varphi(0) = 0,\qquad \psi(0) = 0</math>
Задача на полупрямой легко сводится к задаче на прямой после того, как мы антисимметрично продолжим начальные условия:
- <math>\varphi(-x)=-\varphi(x),\qquad \psi(-x)=-\psi(x) \qquad \forall x \in [0, +\infty)</math>
В силу того, что начальные условия <math>\varphi(x), \psi(x)</math> — нечетные функции, логично ожидать, что и решение <math>u(x,t)</math> будет нечетной функцией. В этом можно непосредственно убедиться, рассмотрев решение в виде формулы Д’Аламбера. Поэтому полученное решение u(x, t) будет удовлетворять начальным условиям и граничному условию <math>u(0,t) = 0 </math> (последнее следует из нечетности функции).
Показанный прием широко используется (не только для волнового уравнения) и называется метод отражения. Например, можно рассмотреть волновое уравнение на полупрямой, но с граничным условием второго рода на конце <math>x = 0</math>:
- <math>u_x(0,t)=0</math>.
Физически условие означает, что левый конец стержня (если рассматривать систему как продольные колебания стержня) свободен, то есть на него не действует никакая сила.
Методы решения в ограниченной одномерной области
Метод отражений
Рассмотрим одномерное однородное волновое уравнение на отрезке <math>[0,a]</math>
- <math>u_{tt}=a^2 u_{xx} </math>
с однородными граничными условиями первого рода (то есть при закрепленных концах)
- <math>u(0,t)=0 \qquad u(a,t)=0</math>
и начальными условиями
- <math>u(x,0)=\varphi(x),\quad u_t(x,0)=\psi(x) \qquad \forall x \in [0, a]</math>
При помощи метода отражения задача может быть снова сведена к задаче на прямой. В данном случае потребуется бесконечное число отражений, в итоге продолженные начальные условия будут определяться таким образом:
- <math>\varphi(2na + x) = \varphi(x) \qquad \psi(2na + x) = \psi(x) \qquad \forall x \in [0,a] \quad \forall n \in Z</math>
- <math>\varphi(2na - x) = - \varphi(x) \qquad \psi(2na - x) = -\psi(x) \qquad \forall x \in [0,a] \quad \forall n \in Z</math>
При рассмотрении неоднородного волнового уравнения:
- <math>u_{tt}=a^2 u_{xx} + f(x,t)</math>
используются ровно те же соображения, и функция <math>f(x,t)</math> продолжается таким же образом.
Метод Фурье
Снова рассмотрим одномерное однородное волновое уравнение на отрезке <math>[0,l]</math>
- <math>u_{tt}=a^2 u_{xx} </math>
с однородными граничными условиями первого рода
- <math>u(0,t)=0 \qquad u(l,t)=0</math>
и начальными условиями
- <math>u(x,0)=\varphi(x),\quad u_t(x,0)=\psi(x) \qquad \forall x \in [0, l]</math>
Метод Фурье основывается на представлении решения в виде (бесконечной) линейной комбинации простых решений задачи вида
- <math>X(x)T(t)</math>, где обе функции зависит только от одной переменной.
Отсюда другое название метода — метод разделения переменных.
Нетрудно показать, что для того, чтобы функция <math>u(x,t)=X(x)T(t)</math> была решением уравнения колебаний и удовлетворяла граничным условиям, необходимо,
чтобы выполнялись условия
- <math>X(0) = 0 \qquad X(l) = 0</math>
- <math> a^2 X(x) = - \lambda X(x) </math>
- <math> T(t) = - \lambda T(t) </math>
Решение задачи Штурма-Лиувилля на <math>X(x)</math> приводит к ответу:
- <math>X_n(x) = \sin \left( \frac{\pi n x}{l} \right) \qquad n \in \mathbf{N}</math>
и их собственным значениям <math>\lambda_n = \left(\frac {\pi n a}{l}\right)^2</math>
Соответствующие им функции <math>T</math> выглядят как
- <math>T_n(t) = \alpha_n \sin ( \sqrt \lambda_n t ) + \beta \cos ( \sqrt \lambda_n t ). </math>
Таким образом, их линейная комбинация (при условии, что ряд сходится) является решением смешанной задачи
- <math>u(x,t) = \sum_{n=1}^{+\infty} X_n(x)T_n(t)
= \sum_{n=1}^{+\infty} \left( \alpha_n \sin ( \sqrt \lambda_n t ) + \beta_n \cos ( \sqrt \lambda_n t ) \right) \sin \frac{\pi n x}{l}. </math>
Разложив функции <math>\varphi(x), \psi(x)</math> в ряд Фурье, можно получить коэффициенты <math>\alpha_n, \beta_n </math>, при которых решение будет обладать такими начальными условиями.
Метод учета волн
Снова рассмотрим одномерное однородное волновое уравнение на отрезке <math>[0,a]</math>
- <math>u_{tt}= u_{xx}, </math>
однако на сей раз положим однородные начальные условия
- <math>u(x,0) \equiv 0,\quad u_t(x,0) \equiv 0 \qquad \forall x \in [0, a]</math>
и неоднородные граничные. Например, будем считать, что задана зависимость положения концов стержня от времени
(граничное условие первого рода)
- <math>u(0,t)=\mu(t) \qquad u(a,t)=\nu(t)</math>
Решение записывается в виде
- <math>u(x,t)= \sum_{k=0}^{+\infty} \biggl[ \mu(t - x - 2ka) - \mu(t + x - (2k+2)a) \biggr] + \sum_{k=0}^{+\infty} \biggl[ \nu(t + x - (2k+1)a) - \nu(t - x - (2k+1)a) \biggr]</math>
В том, что оно удовлетворяет уравнению и начально-краевым условиям, можно убедиться непосредственно. Интересна интерпретация: каждое слагаемое в решении соответствует некоторому отражению одной из граничных волн. Например, левое граничное условие порождает волну вида
- <math> \mu(t-x), </math>
которая, добегая за время а до правого конца, отражается и дает вклад
- <math> \mu(t+x-2a), </math>
через время а снова отражается и дает вклад
- <math> \mu(t-x-2a), </math>
Этот процесс продолжается бесконечно долго, суммируя вклады всех волн и получаем указанное решение. Если нас интересует решение на промежутке <math>[0,T]</math>, то мы можем ограничиться лишь первыми <math> \lceil T / a \rceil</math> слагаемыми.
См. также
Напишите отзыв о статье "Волновое уравнение"
Ссылки
|
---|
| Виды уравнений | |
---|
</td></tr> | Типы уравнений | |
---|
</td></tr> | Краевые условия | |
---|
</td></tr> | Уравнения математической физики |
| |
---|
</td></tr> | | |
---|
</td></tr> | | |
---|
</td></tr> | | |
---|
</td></tr> | Общие модели | |
---|
</td></tr> | Методы решения |
|
---|
| Сеточные методы |
Конечноэлементные методы | |
---|
| Другие методы | |
---|
|
---|
| Не сеточные методы | </div> | </table></td></tr></table></div></td></tr><tr style="height:2px"><td colspan="2"></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group">Исследование уравнений</th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px">
Отрывок, характеризующий Волновое уравнениеОн 1 сентября приехал из армии в Москву.
Ему в Москве нечего было делать; но он заметил, что все из армии просились в Москву и что то там делали. Он счел тоже нужным отпроситься для домашних и семейных дел.
Берг, в своих аккуратных дрожечках на паре сытых саврасеньких, точно таких, какие были у одного князя, подъехал к дому своего тестя. Он внимательно посмотрел во двор на подводы и, входя на крыльцо, вынул чистый носовой платок и завязал узел.
Из передней Берг плывущим, нетерпеливым шагом вбежал в гостиную и обнял графа, поцеловал ручки у Наташи и Сони и поспешно спросил о здоровье мамаши.
– Какое теперь здоровье? Ну, рассказывай же, – сказал граф, – что войска? Отступают или будет еще сраженье?
– Один предвечный бог, папаша, – сказал Берг, – может решить судьбы отечества. Армия горит духом геройства, и теперь вожди, так сказать, собрались на совещание. Что будет, неизвестно. Но я вам скажу вообще, папаша, такого геройского духа, истинно древнего мужества российских войск, которое они – оно, – поправился он, – показали или выказали в этой битве 26 числа, нет никаких слов достойных, чтоб их описать… Я вам скажу, папаша (он ударил себя в грудь так же, как ударял себя один рассказывавший при нем генерал, хотя несколько поздно, потому что ударить себя в грудь надо было при слове «российское войско»), – я вам скажу откровенно, что мы, начальники, не только не должны были подгонять солдат или что нибудь такое, но мы насилу могли удерживать эти, эти… да, мужественные и древние подвиги, – сказал он скороговоркой. – Генерал Барклай до Толли жертвовал жизнью своей везде впереди войска, я вам скажу. Наш же корпус был поставлен на скате горы. Можете себе представить! – И тут Берг рассказал все, что он запомнил, из разных слышанных за это время рассказов. Наташа, не спуская взгляда, который смущал Берга, как будто отыскивая на его лице решения какого то вопроса, смотрела на него.
– Такое геройство вообще, каковое выказали российские воины, нельзя представить и достойно восхвалить! – сказал Берг, оглядываясь на Наташу и как бы желая ее задобрить, улыбаясь ей в ответ на ее упорный взгляд… – «Россия не в Москве, она в сердцах се сынов!» Так, папаша? – сказал Берг.
В это время из диванной, с усталым и недовольным видом, вышла графиня. Берг поспешно вскочил, поцеловал ручку графини, осведомился о ее здоровье и, выражая свое сочувствие покачиваньем головы, остановился подле нее.
– Да, мамаша, я вам истинно скажу, тяжелые и грустные времена для всякого русского. Но зачем же так беспокоиться? Вы еще успеете уехать…
– Я не понимаю, что делают люди, – сказала графиня, обращаясь к мужу, – мне сейчас сказали, что еще ничего не готово. Ведь надо же кому нибудь распорядиться. Вот и пожалеешь о Митеньке. Это конца не будет?
Граф хотел что то сказать, но, видимо, воздержался. Он встал с своего стула и пошел к двери.
Берг в это время, как бы для того, чтобы высморкаться, достал платок и, глядя на узелок, задумался, грустно и значительно покачивая головой.
– А у меня к вам, папаша, большая просьба, – сказал он.
– Гм?.. – сказал граф, останавливаясь.
– Еду я сейчас мимо Юсупова дома, – смеясь, сказал Берг. – Управляющий мне знакомый, выбежал и просит, не купите ли что нибудь. Я зашел, знаете, из любопытства, и там одна шифоньерочка и туалет. Вы знаете, как Верушка этого желала и как мы спорили об этом. (Берг невольно перешел в тон радости о своей благоустроенности, когда он начал говорить про шифоньерку и туалет.) И такая прелесть! выдвигается и с аглицким секретом, знаете? А Верочке давно хотелось. Так мне хочется ей сюрприз сделать. Я видел у вас так много этих мужиков на дворе. Дайте мне одного, пожалуйста, я ему хорошенько заплачу и…
Граф сморщился и заперхал.
– У графини просите, а я не распоряжаюсь.
– Ежели затруднительно, пожалуйста, не надо, – сказал Берг. – Мне для Верушки только очень бы хотелось.
– Ах, убирайтесь вы все к черту, к черту, к черту и к черту!.. – закричал старый граф. – Голова кругом идет. – И он вышел из комнаты.
Графиня заплакала.
– Да, да, маменька, очень тяжелые времена! – сказал Берг.
Наташа вышла вместе с отцом и, как будто с трудом соображая что то, сначала пошла за ним, а потом побежала вниз.
На крыльце стоял Петя, занимавшийся вооружением людей, которые ехали из Москвы. На дворе все так же стояли заложенные подводы. Две из них были развязаны, и на одну из них влезал офицер, поддерживаемый денщиком.
– Ты знаешь за что? – спросил Петя Наташу (Наташа поняла, что Петя разумел: за что поссорились отец с матерью). Она не отвечала.
– За то, что папенька хотел отдать все подводы под ранепых, – сказал Петя. – Мне Васильич сказал. По моему…
– По моему, – вдруг закричала почти Наташа, обращая свое озлобленное лицо к Пете, – по моему, это такая гадость, такая мерзость, такая… я не знаю! Разве мы немцы какие нибудь?.. – Горло ее задрожало от судорожных рыданий, и она, боясь ослабеть и выпустить даром заряд своей злобы, повернулась и стремительно бросилась по лестнице. Берг сидел подле графини и родственно почтительно утешал ее. Граф с трубкой в руках ходил по комнате, когда Наташа, с изуродованным злобой лицом, как буря ворвалась в комнату и быстрыми шагами подошла к матери.
– Это гадость! Это мерзость! – закричала она. – Это не может быть, чтобы вы приказали.
Берг и графиня недоумевающе и испуганно смотрели на нее. Граф остановился у окна, прислушиваясь.
– Маменька, это нельзя; посмотрите, что на дворе! – закричала она. – Они остаются!..
– Что с тобой? Кто они? Что тебе надо?
– Раненые, вот кто! Это нельзя, маменька; это ни на что не похоже… Нет, маменька, голубушка, это не то, простите, пожалуйста, голубушка… Маменька, ну что нам то, что мы увезем, вы посмотрите только, что на дворе… Маменька!.. Это не может быть!..
Граф стоял у окна и, не поворачивая лица, слушал слова Наташи. Вдруг он засопел носом и приблизил свое лицо к окну.
Графиня взглянула на дочь, увидала ее пристыженное за мать лицо, увидала ее волнение, поняла, отчего муж теперь не оглядывался на нее, и с растерянным видом оглянулась вокруг себя.
– Ах, да делайте, как хотите! Разве я мешаю кому нибудь! – сказала она, еще не вдруг сдаваясь.
– Маменька, голубушка, простите меня!
Но графиня оттолкнула дочь и подошла к графу.
– Mon cher, ты распорядись, как надо… Я ведь не знаю этого, – сказала она, виновато опуская глаза.
– Яйца… яйца курицу учат… – сквозь счастливые слезы проговорил граф и обнял жену, которая рада была скрыть на его груди свое пристыженное лицо.
– Папенька, маменька! Можно распорядиться? Можно?.. – спрашивала Наташа. – Мы все таки возьмем все самое нужное… – говорила Наташа.
Граф утвердительно кивнул ей головой, и Наташа тем быстрым бегом, которым она бегивала в горелки, побежала по зале в переднюю и по лестнице на двор.
Люди собрались около Наташи и до тех пор не могли поверить тому странному приказанию, которое она передавала, пока сам граф именем своей жены не подтвердил приказания о том, чтобы отдавать все подводы под раненых, а сундуки сносить в кладовые. Поняв приказание, люди с радостью и хлопотливостью принялись за новое дело. Прислуге теперь это не только не казалось странным, но, напротив, казалось, что это не могло быть иначе, точно так же, как за четверть часа перед этим никому не только не казалось странным, что оставляют раненых, а берут вещи, но казалось, что не могло быть иначе.
Все домашние, как бы выплачивая за то, что они раньше не взялись за это, принялись с хлопотливостью за новое дело размещения раненых. Раненые повыползли из своих комнат и с радостными бледными лицами окружили подводы. В соседних домах тоже разнесся слух, что есть подводы, и на двор к Ростовым стали приходить раненые из других домов. Многие из раненых просили не снимать вещей и только посадить их сверху. Но раз начавшееся дело свалки вещей уже не могло остановиться. Было все равно, оставлять все или половину. На дворе лежали неубранные сундуки с посудой, с бронзой, с картинами, зеркалами, которые так старательно укладывали в прошлую ночь, и всё искали и находили возможность сложить то и то и отдать еще и еще подводы.
– Четверых еще можно взять, – говорил управляющий, – я свою повозку отдаю, а то куда же их?
– Да отдайте мою гардеробную, – говорила графиня. – Дуняша со мной сядет в карету.
Отдали еще и гардеробную повозку и отправили ее за ранеными через два дома. Все домашние и прислуга были весело оживлены. Наташа находилась в восторженно счастливом оживлении, которого она давно не испытывала.
– Куда же его привязать? – говорили люди, прилаживая сундук к узкой запятке кареты, – надо хоть одну подводу оставить.
– Да с чем он? – спрашивала Наташа.
– С книгами графскими.
– Оставьте. Васильич уберет. Это не нужно.
В бричке все было полно людей; сомневались о том, куда сядет Петр Ильич.
– Он на козлы. Ведь ты на козлы, Петя? – кричала Наташа.
Соня не переставая хлопотала тоже; но цель хлопот ее была противоположна цели Наташи. Она убирала те вещи, которые должны были остаться; записывала их, по желанию графини, и старалась захватить с собой как можно больше.
Во втором часу заложенные и уложенные четыре экипажа Ростовых стояли у подъезда. Подводы с ранеными одна за другой съезжали со двора.
Коляска, в которой везли князя Андрея, проезжая мимо крыльца, обратила на себя внимание Сони, устраивавшей вместе с девушкой сиденья для графини в ее огромной высокой карете, стоявшей у подъезда.
– Это чья же коляска? – спросила Соня, высунувшись в окно кареты.
– А вы разве не знали, барышня? – отвечала горничная. – Князь раненый: он у нас ночевал и тоже с нами едут.
– Да кто это? Как фамилия?
– Самый наш жених бывший, князь Болконский! – вздыхая, отвечала горничная. – Говорят, при смерти.
Соня выскочила из кареты и побежала к графине. Графиня, уже одетая по дорожному, в шали и шляпе, усталая, ходила по гостиной, ожидая домашних, с тем чтобы посидеть с закрытыми дверями и помолиться перед отъездом. Наташи не было в комнате.
– Maman, – сказала Соня, – князь Андрей здесь, раненый, при смерти. Он едет с нами.
Графиня испуганно открыла глаза и, схватив за руку Соню, оглянулась.
– Наташа? – проговорила она.
И для Сони и для графини известие это имело в первую минуту только одно значение. Они знали свою Наташу, и ужас о том, что будет с нею при этом известии, заглушал для них всякое сочувствие к человеку, которого они обе любили.
– Наташа не знает еще; но он едет с нами, – сказала Соня.
– Ты говоришь, при смерти?
Соня кивнула головой.
Графиня обняла Соню и заплакала.
«Пути господни неисповедимы!» – думала она, чувствуя, что во всем, что делалось теперь, начинала выступать скрывавшаяся прежде от взгляда людей всемогущая рука.
|
|
---|
|
---|
|